Sylvain d'Altaïr

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Si tu as d'autres questions, tu peux voir cette page ou me contacter :  Slasher-fun 8 mai 2006 à 16:22 (CEST)

Le sens du mot axiome

Il est possible de construire les nombres réels à partir de la théorie des ensemble ou d'agir comme David Hilbert et de choisir une définition a priori et donc axiomatique des nombres. C'est la raison qui a poussé ce grand mathématicien à parler d'axiome de la borne supérieure. La terminologie est restée, car c'est une approche très puissante. Si tu regardes l'article Axiomes de Hilbert tu verras qu'il construit la géométrie sur la base d'un axiome équivalent, de mémoire le 19eme, dit axiome de Cantor.

Pour Hilbert les nombres réels sont l'unique corps qui satisfont les axiomes de la définition d'un corps, l'axiome archimédien et l'axiome de la borne supérieure. C'est la raison d'être des réels. Le théorème d'existence, ie la construction de Dédekind ou de Cantor apparaît à ses yeux uniquement comme une preuve de la compatibilité de cette axiomatique avec ce que l'on appellerait maintenant la théorie des ensembles. Cette compatibilité est pour lui secondaire, si elle n'existait pas, il aurait fallu choisir une autre axiomatique car cette propriété est trop importante. L'histoire lui a donné raison. Jean-Luc W 9 mai 2006 à 02:02 (CEST)

La tradition dans l'utilisation du mot axiome est de n'associer qu'une propriété à un axiome et non pas plusieurs, donc corps commutatif archimédien satisfaisant l'axiome de la borne supérieure sera considéré comme une liste de 12 axiomes: 4 pour la définition du groupe additif 4 pour le groupe multiplicatif, 2 pour la compatibilité de l'addition et de la multiplication, 1 pour archimédien, 1 pour borne supérieure. Sinon on parle traditionnellement de base axiomatique.

Ce qui est certain, c'est l'existence d'une ambiguité sur le sens du mot axiome, Les 9 axiomes de ZFC cf Théorie axiomatique des ensembles est le point minimal dont part la construction principale mathématique moderne (je ne parle pas ici des théories non standards). Ensuite, axiomes désigne aussi les propriétés servant à définir des structures, espace vectoriel, groupe etc...

La définition du mot axiome tel que considéré aujourd'hui est essentiellement fixé par Hilbert, Zermelo, Fraenkel et Skolem et pas nous. Cependant la communauté mathématique, à ma connaissance ne crée pas de polémique autour de ce mot. Voir par exemple: étude des réels page 4, Axiome pour un corps complet ou encore Relation d'ordre et nombre réel page 3.

Pour l'unicité, ce qui est unique aux réels c'est archimédien + borne supérieure. Borne supérieure pure n'est pas spécifique, on peut penser par exemple au corps des complexes avec comme relation d'ordre la comparaison des modules. En revanche cette relation d'ordre n'est que faiblement compatible avec les lois du corps. Une bonne relation d'ordre + borne supérieure est unique Jean-Luc W 9 mai 2006 à 10:07 (CEST)

PS Biensur les pages utilisateurs sont faites pour être copiées, l'emprunt est donc tout naturel. :=)

Métrique

Bonjour,

en aucun cas la donnée de la métrique ne détermine la topologie : cette dernière est une donnée globale alors que l'autre est purement locale (elle donne la distance entre deux points proches). Par exemple, si je dis que la métrique est ds² = dx² + dy², je peux parler d'un plan (si le domaine de variation de x et y est R), d'un cylindre (si y varie sur R mais que j'identifie x à x + 1, c'est à dire que x est périodique), d'un tore (si x et y sont périodiques) et ainsi de suite. Je ne vois pas bien ce qu'il en est de l'exemple que vous donnez (je ne le comprends pas bien), mais il existe plusieurs topologies possibles pour la métrique du demi-plan de Poincaré, celui-ci étant toujours leur espace de recouvrement universel.

En espérant vous avoir aidé... Alain Riazuelo 17 mai 2006 à 12:18 (CEST)

Droit d'auteur sur les théorèmes

Salut,

Je suis tombé par hasard sur ta question dans le guide des guides. Bien que je n'en soit pas sure, je ne pense pas qu'il y ait un droit d'auteur sur la façon dont est formulé un théorème. Ce qui compte, c'est la propriété établit par le théorème. Ce serait malheureux si on était obligé de changer la formulation chaque fois que l'on cite un théorème. Tu peus faire des articles sur les théorèmes sans problème. D'ailleur il en reste pas mal dans la liste des théorèmes. Cordialement. --Jaimie Ann Handson 22 mai 2006 à 15:30 (CEST)

Zen ?

Salut, je ne sais pas si tu as tellement la tête à regarder tes pages WP... J'espère que les 3-4 prochains jours ne t'amèneront que de bonnes nouvelles ! Peps 7 juin 2006 à 00:09 (CEST)

CPGE

J'avais pensé à créer une boîte utilisateur "taupins", histoire qu'on puisse se retrouver. Hum je suis en train de comprendre ce que signifie "rush des oraux", et pourquoi les 5/2 ne prenaient pratiquement pas de banques d'épreuves ! Léna 10 juin 2006 à 14:24 (CEST)

Bonne chance pour les oraux

Attention extension normale signifie que les morphismes de l'extension sont tous des automorphismes les polynômes scindés c'est associé à la notion de séparabilité. Je crois que Lang est équivalent à celui que j'ai choisi, je vérifie. Bonne chance encore. Jean-Luc W 26 juin 2006 à 16:41 (CEST)

Je ne suis pas très clair non plus. D'abord, dans mon enthousiasme j'ai mélangé scindé et pas de racine multiple. Ensuite sur la deuxième question, j'ai répondu encore trop rapidement, oui, scindé a vraiment à voire avec normal. Je crois même que j'ai exprimé cette condition nécessaire et suffisante dans Extension normale. Maintenant à la différence de Lang, je ne traite essentiellement que les cas d'extension finie séparable. En dimension finie, une extension normale est le corps de décomposition d'un unique polynôme, cela suffit (je devrais en parler dans les propriétés, ma contribution est encore parcellaire).

Lien entre le nom du théorème et le théorème. L'origine de la formulation que j'ai choisie est celle de Krauss cité dans les liens externes sur le cours de DEA Un cours de DEA sur la théorie de Galois. En version courte, si l'extension est finie et séparable, alors il existe un élément primitif séparable, en fait les propositions sont équivalentes. En revanche, pour élaborer la suite de la théorie, il va falloir analyser la normalité, on a besoin alors d'un peu plus. Ce plus s'exprime en général sous deux formes, soit: le nombre de morphismes de l'extension dans la clôture est égal à n la dimension de l'extension, soit le nombre de sous-corps de l'extension est fini. Il y a équivalence dans le cas fini entre (1) séparable, (2) élément primitif séparable et (3) exactement n morphismes. Suis-je plus clair? PS: merci pour les bonnes remarques et désolé pour une réponse trop rapide, et toujours bonne chance. Jean-Luc W 27 juin 2006 à 10:44 (CEST)

Sorry, désolé, et encore pardon. Je n'avais pas vu que j'avais dénommé ce théorème le théorème de l'extension fini et non pas le théorème de l'élément primitif. J'ai cru que c'était l'énoncé qui posait problème et non le nom du théorème. Pour le nom c'est une erreur patente. Merci, encore de l'avoir signalé. J'espère que les oraux se passent bien. Jean-Luc W 29 juin 2006 à 18:34 (CEST)

BU

Bonjour, j'ai changé tes boîtes "/Nocat" pour d'autres du même thème car les premières sont obsolètes. Si tu ne souhaite pas être catégorisé comme utilisateur de certaines boîtes (la seule différence entre les versions), ou si j'ai involontairement effectué d'autres modifications sur ta page, il n'y a qu'à m'écrire ;-) - Shaddam 5 19 octobre 2007 à 12:28 (CEST)