Triangle isocèle

triangle ayant au moins deux côtés de même longueur

En géométrie, un triangle isocèle est un triangle ayant au moins[1] deux côtés de même longueur. Plus précisément, un triangle ABC est dit isocèle en A lorsque les longueurs AB et AC sont égales. A est alors le sommet principal du triangle et [BC] sa base.

Un triangle isocèle.

Dans un triangle isocèle, les angles adjacents à la base sont égaux.

Un triangle équilatéral est un cas particulier de triangle isocèle, ayant ses trois côtés de même longueur.

Étymologie

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Le mot « isocèle » vient du grec iso qui signifie « mêmes » et skelos, « jambes » (le dessin d'un triangle isocèle peut faire penser aux deux jambes d'un dessin de « bonhomme »).

Le Littré qualifie cette orthographe de « barbare », a contrario de « l’orthographe étymologique et correcte isoscèle ».

Propriétés

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Formules

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Dans un triangle isocèle, si l'on note   la longueur des deux côtés égaux et   la longueur de la base, alors :

  • la longueur de la hauteur est donnée par la formule :  .
  • l'aire du triangle est  .
  • le périmètre du triangle est  .

Cas particuliers

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Caractérisation par les longueurs de deux médianes, de deux hauteurs ou deux bissectrices

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Un triangle est isocèle si et seulement s'il possède deux médianes (segments), ou deux hauteurs (segments), ou deux bissectrices (segments) de même longueur.

Les sens directs sont évidents, et les réciproques peuvent se démontrer par les expressions des longueurs des céviennes données par le théorème de Stewart.

Pour l'égalité des segments issus de A et B, on obtient, avec les notations classiques du triangle :

  •   pour l'égalité des médianes
  •   pour l'égalité des hauteurs
  •   pour l'égalité des bissectrices

qui donnent dans chaque cas   [2].

On trouvera également dans Ladegaillerie 2003, p. 330, une démonstration géométrique pour les bissectrices.

Notes et références

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  1. Un triangle équilatéral, dont les trois côtés ont la même longueur, est ainsi un cas particulier de triangle isocèle.
  2. Yves Ladegaillerie, Géométrie affine, projective, euclidienne et anallagmatique, Ellipses, (ISBN 9782729814168), p. 330.

Annexes

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Bibliographie

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Articles connexes

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Liens externes

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