Triangle d'or (géométrie)
Un triangle d'or (aigu) ou triangle sublime[1] est un triangle isocèle dans lequel le rapport de la longueur du côté double à la longueur du côté-base est le nombre d'or :
![](http://up.wiki.x.io/wikipedia/commons/thumb/8/81/Golden_Triangle.svg/220px-Golden_Triangle.svg.png)
- (voir 1ère figure).
Certains auteurs[2] nomment également « triangles d'or » les triangles où ce rapport vaut (voir § "Tableau récapitulatif" pour les différentes appellations).
![](http://up.wiki.x.io/wikipedia/commons/thumb/a/a5/Golden_triangle_%28math%29.svg/220px-Golden_triangle_%28math%29.svg.png)
Angles du triangle d'or
modifierDans la 2e figure, BXC est un triangle d'or puisque le rapport de la longueur du côté BC à la longueur du côté BX est le nombre d'or :
- L'angle BCX au sommet C a pour mesure[3] :
- Comme la somme des mesures des angles du triangle BXC fait , les angles de base CBX et CXB valent chacun :
- [1] (ou encore ).
- Le triangle d'or est un triangle aigu puisque tous ses angles sont inférieurs à l'angle droit.
- Le triangle d'or est le seul triangle dont les mesures des angles sont dans des rapports 2, 2, 1 (72°, 72°, 36°)[4].
Occurrences
modifier- Les branches du pentagramme régulier sont des triangles d'or (voir 3ème figure).
- Dans le décagone régulier, lorsque l'on relie les sommets adjacents au centre, on obtient des triangles d'or[1].
- Les pavages de Penrose font intervenir des triangles d'or.
Gnomon d'or
modifierUn gnomon d'or ou triangle d'argent ou, pour certains auteurs, triangle d'or obtus[2] est un triangle isocèle obtus dans lequel le rapport de la longueur du côté double à la longueur du côté-base est l'inverse du nombre d'or, soit :
Angles du gnomon d'or
modifierDans la 2e figure, les longueurs AX et CX valant et la longueur AC valant , AXC est un gnomon d'or[5].
- L'angle AXC au sommet X a pour mesure :
- (ou encore ).
- Comme la somme des mesures des angles du triangle AXC fait , les angles de base CAX et ACX valent chacun :
- (ou encore ).
- Le gnomon d'or est un triangle obtus puisqu'il possède un angle obtus et deux angles aigus.
- Le gnomon d'or est le seul triangle dont les mesures des angles sont dans des rapports 1, 1, 3 (36°, 36°, 108°).
Construction en cure-dents ou à l'aide d'un pentagone articulé
modifierSi on dispose cinq cure-dents identiques de sorte que, comme dans la figure ci-contre, A, I, B soient alignés ainsi que A, J, C, l'angle en A vaut et on obtient trois triangle d'or ABC, BCJ, CBI, et quatre triangles d'argent JAB, IAC, KBC, KIJ. Cette construction peut aussi être obtenue par un pentagone articulé à barres de même longueur AICBJ.
Tableau récapitulatif
modifierDéfinitions de cet article |
Définitions alternatives |
Angle au sommet | Angles égaux de base | |
---|---|---|---|---|
Triangle d'or Triangle sublime |
Triangle d'or aigu | 36° | 72° | |
Gnomon d'or Triangle d'argent |
Triangle d'or obtus | 108° | 36° |
Triangle d'or et gnomon d'or associés
modifierDécoupages
modifierLa figure ci-contre montre que :
- En coupant un de ses angles de base en 2 angles égaux, on peut découper un triangle d'or en un triangle d'or et un gnomon d'or.
- En coupant son angle au sommet en 2 angles du simple au double, on peut découper un gnomon d'or en un gnomon d'or et un triangle d'or.
Pavages
modifier- On peut paver un pentagone régulier avec deux gnomons d'or et un triangle d'or[6] (voir figure ci-contre).
- Ces triangles isocèles peuvent être utilisés pour produire les pavages de Penrose.
Spirale logarithmique
modifierLe triangle d'or peut être utilisé pour placer certains points d'une spirale logarithmique. En procédant à la bissection d'un angle à la base d'un triangle d'or, on obtient un nouveau point, qui à son tour forme un nouveau triangle d'or[7]. En répétant ce procédé, on obtient des points qui permettent de tracer à main levée une spirale logarithmique (voir dernière figure).
Notes et références
modifier- (en) Kimberly Elam, Geometry of Design : Studies in Proportion and Composition, New York, Princeton Architectural Press, , 107 p. (ISBN 1-56898-249-6, lire en ligne)
- Par exemple Jean-Claude Thiénard, Maryse Cheymol, Maryse Combrade et Louis-Marie Bonneval, Mathématiques seconde (lire en ligne), p. 100
- (en) Eric W. Weisstein, « Golden Triangle », sur mathworld.wolfram.com (consulté le )
- (en) « Tilings Encyclopedia »
- (en) Arthur Livio, Concepts and Images : Visual Mathematics, Boston, Birkhäuser Boston, (ISBN 0-8176-3620-X)
- (en) Eric W. Weisstein, « Golden Gnomon », sur mathworld.wolfram.com (consulté le )
- (en) H. E. Huntley, The Divine Proportion : A Study In Mathematical Beauty, New York, Dover Publications Inc, , 186 p. (ISBN 0-486-22254-3, lire en ligne)
Voir aussi
modifierCrédits de traduction
modifier- (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Golden triangle (mathematics) » (voir la liste des auteurs).
Articles connexes
modifier- Triangle de Kepler
- Triangle heptagonal
- Rectangle d'or
- Angle d'or
- Losange d'or
- Construction du pentagone régulier à la règle et au compas
- Luth de Pythagore (en)
- Pavage de Penrose
- Pentagramme
Liens externes
modifier- (en) Eric W. Weisstein, « Golden Triangle », sur MathWorld
- (en) Eric W. Weisstein, « Golden Gnomon », sur MathWorld
- (en) Triangles de Robinson sur l'encyclopédie des pavages de l'Université de Bielefeld.