Théorème de Baire

théorème de topologie

Le théorème de Baire, dit aussi lemme de Baire, est un théorème de topologie dû au mathématicien René Baire.

Espaces de Baire

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On dit qu'un espace topologique est un espace de Baire si toute intersection dénombrable d'ouverts denses est dense. De façon équivalente, un espace topologique est de Baire si toute union dénombrable de fermés d'intérieurs vides est d'intérieur vide, ou encore, si le seul ouvert maigre est le vide. Le lemme (ou théorème) de Baire donne des conditions suffisantes pour que certains espaces soient de Baire.

Énoncé du théorème de Baire

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Le théorème de Baire est constitué de trois affirmations[Preuve 1] :

  1. Tout espace localement compact est de Baire. Par conséquent : un espace localement compact non vide n'est pas la réunion dénombrable de fermés d'intérieur vide ;
  2. Tout espace complètement métrisable est de Baire ;
  3. Tout ouvert d'un espace de Baire est de Baire (pour la topologie induite).

Un espace E est dit « complètement de Baire » si tout fermé de E est de Baire[1]. Pour les espaces localement compacts et les espaces complètement métrisables, cette propriété supplémentaire est automatique.

Quelques applications

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Analyse

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Topologie

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  1. Toutes trois démontrées par exemple dans le chapitre « Propriété de Baire » de la leçon « Topologie générale » sur Wikiversité. Pour le second point (également démontré dans Jacques Dixmier, Topologie générale, Paris, PUF, , p. 66, 74 et Georges Skandalis, Topologie et Analyse, 3e année, Paris, Dunod, , p. 115), on utilise le théorème des fermés emboîtés.

Notes et références

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  1. (en) Vincent Kieftenbeld, Three Topics in Descriptive Set Theory, Denton, Texas, UNT, (lire en ligne), p. 24.
  2. (es) F. Sunyer i Balaguer et E. Corominas, « Condiciones para que una función infinitamente derivable sea un polinomio », Rev. Mat. Hisp.-Amer., vol. 4, no 14,‎ , p. 26-43.
  3. (en) H. D. Brunk et R. P. Boas, « Necessary and Sufficient Condition for a Polynomial », Amer. Math. Monthly, vol. 66, no 7,‎ , p. 599 (lire en ligne).
  4. (en) William F. Donoghue, Distributions and Fourier transforms, Academic Press, , 2e éd., 312 p. (ISBN 978-0-08-087344-2, lire en ligne), p. 53.
  5. (en) Ralph P. Boas, Jr., A Primer of Real Functions, CUP, (lire en ligne), p. 67-68.
  6. (en) « If […] then f coincides with a polynomial », sur MathOverflow.
  7. Démontrée par exemple dans cet exercice corrigé de la leçon « Topologie générale » sur Wikiversité.
  8. Hervé Queffélec et Claude Zuily, Analyse pour l'agrégation, Dunod, , 4e éd. (lire en ligne), p. 225 et 238.
  9. (en) Boris Tsirelson (en), « Measure and category — 9a1 Theorem », sur Université de Tel Aviv, .
  10. Un tel espace contient même un sous-espace homéomorphe à l'espace de Baire ℕω : voir « Ensemble parfait ».
  11. Pierre Colmez, Éléments d’analyse et d’algèbre (et de théorie des nombres), Les Éditions de l’École Polytechnique, , 2e éd., corrigé de l'exercice 14.3 page 223.
  12. La dimension d'un tel espace est égale à son cardinal en supposant l'hypothèse du continu, mais aussi sans cette hypothèse : (en) Lorenz Halbeisen et Norbert Hungerbühler (de), « The cardinality of Hamel bases of Banach spaces », East-West Journal of Mathematics, vol. 2,‎ , p. 153-159 (lire en ligne).

Voir aussi

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Liens externes

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Articles connexes

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Théorème d'Osgood (de)