Groupe hopfien

En mathématiques, un groupe hopfien ou groupe de Hopf est un groupe $G$ pour lequel tout épimorphisme $G\to G$ est un isomorphisme. Le groupe des nombres rationnels est hopfien, le groupe des nombres réels ne l’est pas. Les groupes de Hopf sont nommés d'après le mathématicien Heinz Hopf.

Formulations équivalentes

Un groupe est hopfien si et seulement s'il n'est pas isomorphe à l'un de ses sous-groupes quotients propres. Par ailleurs, un groupe $G$ est dit co-hopfien (en) si tout monomorphisme $G\to G$ est un isomorphisme.

Exemples de groupes hopfiens

Tout groupe fini , par un argument de comptage simple.
Plus généralement, un « polycyclic-by-finite group (en) », c'est-à-dire un groupe qui a un sous-groupe polycyclique d'indice fini.
Tout groupe libre finiment engendré.
Le groupe $\mathbb {Q}$ des nombres rationnels.
Tout groupe finiment engendré qui soit résiduellement fini.
Tout groupe hyperbolique.
Le groupe de Cremona^[1].

Exemples de groupes non hopfiens

Les groupes de Prüfer.
Le groupe $\mathbb {R}$ des nombres réels
Le groupe de Baumslag-Solitar B(2,3).

Indécidabilité

En 1969, Donald J. Collins^[2] a démontré qu'il est indécidable si un groupe, donné par une présentation finie, est hopfien. Contrairement à l'indécidabilité de beaucoup d'autres propriétés des groupes, ceci n’est pas une conséquence du théorème de Adian-Rabin (en); en effet, la propriété d'être hopfien n'est pas une propriété de Markov, comme démontré par Miller et Paul Schupp^[3]

Notes et références

Notes

↑ Julie Déserti, « Le groupe de Cremona est hopfien », Comptes Rendus Mathematique, vol. 344, n^o 3,‎ 2007, p. 153–156 (ISSN 1631-073X, DOI 10.1016/j.crma.2006.12.005).
↑ Collins 1969
↑ Miller et Schupp 1971

Références

D. L. Johnson, Presentations of groups, vol. 15, Cambridge University Press, coll. « London Mathematical Society Student Texts », 1990 (ISBN 0-521-37203-8), p. 35
Donald J. Collins, « On recognising Hopf groups », Archiv der Mathematik, vol. 20, n^o 3,‎ 1969, p. 235-240 (DOI 10.1007/BF01899291)
Charles F. Miller et Paul E. Schupp, « Embeddings into hopfian groups », Journal of Algebra, vol. 17, n^o 2,‎ 1971, p. 171 (DOI 10.1016/0021-8693(71)90028-7)
Christophe Moioli, Graphes de groupes et groupes co-hopfiens, Théorie des groupes, Université Paul Sabatier - Toulouse III, 2013.

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Hopfian group » (voir la liste des auteurs).

Liens externes

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[Déserti2007-1] Julie Déserti, « Le groupe de Cremona est hopfien », Comptes Rendus Mathematique, vol. 344, n^o 3,‎ 2007, p. 153–156 (ISSN 1631-073X, DOI 10.1016/j.crma.2006.12.005).

[2] Collins 1969

[3] Miller et Schupp 1971

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