Groupe de Baumslag-Solitar

En mathématiques et notamment en théorie des groupes, les groupes de Baumslag-Solitar sont des exemples de groupes à deux générateurs et un relateur qui jouent un rôle important dans la théorie combinatoire des groupes et en théorie géométrique des groupes comme exemples ou contre-exemples.

Définition

Les groupes de Baumslag-Solitar $BS(m, n)$ sont définis, pour toute paire $m,n$ d'entiers relatifs, par la présentation

{\text{BS}}(m,n)=\left\langle a,b\mid a^{-1}b^{m}a=b^{n}\right\rangle

.

où la notation signifie que le groupe est le quotient du groupe libre engendré par les générateurs a et b par le sous-groupe distingué engendré par $a^{-1}b^{m}ab^{-n}$ .

Divers groupes $BS(m, n)$ sont bien connus. Ainsi $BS(1, 1)$ est le groupe abélien libre sur deux generateurs, et $BS(1, -1)$ est le groupe fondamental de la bouteille de Klein.

Les groupes ont été définis par Gilbert Baumslag et Donald Solitar en 1962^[1] en vue de fournir des exemples de groupes non hopfiens. Ils comprennent des groupes résiduellement finis, des groupes hopfiens qui ne sont pas résiduellement finis, et des groupes non hopfiens.

Propriétés

${\text{BS}}(m,n)$ est résiduellement fini si et seulement si $|m|=|n|$ ou $|m|=1$ ou $|n|=1$ ^[2].

${\text{BS}}(m,n)$ est hopfien si et seulement s’il est résiduellement fini ou si $m$ et $n$ ont même ensemble de diviseurs premiers. Il est relativement simple de prouver qu’un groupe finiment engendré et résiduellement fini est hopfien.

Le plus connu des groupes est ${\text{BS}}(2,3)=\left\langle a,b\mid a^{-1}b^{2}a=b^{3}\right\rangle$ . Il n'est pas hopfien ; l’application $a\to a,b\to b^{2}$ est en effet un épimorphisme qui n’est pas un isomorphisme. Il est en effet facile de vérifier que $(b^{-1}a^{-1}ba)(b^{-1}a^{-1}ba)b^{-1}$ est dans le noyau du morphisme puisque son image est $(b^{-2}a^{-1}b^{2}a)^{2}b^{-2}=(b^{-2}b^{3})^{2}b^{-2}=1$ .

Les groupes de Baumslag-Solitar se répartissent en trois familles : ceux qui sont résiduellement finis, ceux qui sont hopfiens sans être résiduellement finis et ceux qui ne sont pas hopfiens. La différence est plus marquée en fonction des paramètres : ceux pour lesquels $|m|=1$ ou $|n|=1$ d'une part, et ceux pour lesquels $|m|,|n|\neq 1$ d'autre part.

Le cas $m = 1$

Pour un groupe

{\text{BS}}(1,n)=\left\langle a,b\mid a^{-1}ba=b^{n}\right\rangle

il y a un homomorphisme évident sur le groupe cyclique infini en posant $b=1$ , et on peut montrer que son noyau est isomorphe au groupe additif des nombres rationnels $n$ -adiques. Ainsi, ces groupes sont métabéliens et ont des propriétés de structure fortes ; en particulier, ils n’ont pas de sous-groupe libre de rang 2. De plus, les éléments de ces groupes possèdent des formes normales particulièrement simples : tout élément est représenté de manière unique sous la forme $a^{i}b^{k}a^{-j}$ , avec $i,j\geq 0$ et si de plus $i,j>0$ , alors $k$ n’est pas divisible par $n$ . Quand $|m|,|n|\neq 1$ , il existe toujours une forme normale parce que les groupes de Baumslag-Solitar sont des exemples, et de fait les exemples les plus simples, d’extensions HNN. Il en résulte la propriété suivante :

Soit

w

un mot librement réduit de

{\text{BS}}(m,n)

qui représente l’élément unité. Alors

w

a un facteur de la forme

a^{-1}b^{k}a

avec

m|k

, ou

ab^{k}a^{-1}

avec

n|k

.

Ceci démontre que, dans ${\text{BS}}(2,3)$ , le mot

b^{-1}a^{-1}bab^{-1}a^{-1}bab^{-1}

ne représente pas l’unité, et peut aussi servir à montrer que, lorsque $|m|,|n|\neq 1$ , alors ${\text{BS}}(m,n)$ contient un sous-groupe libre de rang deux.

Notes et références

↑ Gilbert Baumslag et Donald Solitar, « Some two-generator one-relator non-Hopfian groups », Bulletin of the American Mathematical Society, vol. 68,‎ 1962, p. 199-201 (MR 0142635, lire en ligne, consulté le 20 juillet 2018).
↑ Stephen Meskin, « Non-residually finite one-relator groups », Trans. Amer. Math. Soc., vol. 64,‎ 1972, p. 105–114 (MR 285589).

Bibliographie

Michaël Cadilhac, Dmitry Chistikov et Georg Zetzsche, « Rational Subsets of Baumslag-Solitar Groups », dans Artur Czumaj Anuj Dawar Emanuela Merelli (éditeurs), Actes de ICALP 2020, Schloss Dagstuhl - Leibniz-Zentrum für Informatik, coll. « LIPIcs » (n^o 168), 2020 (DOI 10.4230/LIPIcs.ICALP.2020.116, arXiv 2006.11898 (version détaillée), lire en ligne), p. 116:1-116:16
Margot Bouette, Sur la croissance des automorphismes des groupes de Baumslag-Soliltar, Thèse, université de Rennes I, 2016 (lire en ligne).
(en) Donald J. Collins, « Baumslag–Solitar group », dans Michiel Hazewinkel, Encyclopædia of Mathematics, Springer, 2002 (ISBN 978-1556080104, lire en ligne)

Articles liés

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[1] Gilbert Baumslag et Donald Solitar, « Some two-generator one-relator non-Hopfian groups », Bulletin of the American Mathematical Society, vol. 68,‎ 1962, p. 199-201 (MR 0142635, lire en ligne, consulté le 20 juillet 2018).

[2] Stephen Meskin, « Non-residually finite one-relator groups », Trans. Amer. Math. Soc., vol. 64,‎ 1972, p. 105–114 (MR 285589).

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