Groupe libre

En théorie des groupes, le groupe libre sur un ensemble S est le groupe F contenant S et caractérisé par la propriété universelle suivante : pour tout groupe G et toute application f : S → G, il existe un unique morphisme de groupes de F dans G prolongeant f.

Soit encore, un groupe G est dit libre sur un sous-ensemble S de G si chaque élément de G s'écrit de façon unique comme produit réduit d'éléments de S et d'inverses d'éléments de S (réduit signifiant : sans occurrence d'un sous-produit de la forme x.x⁻¹). Un tel groupe est unique à isomorphisme près ce qui justifie le qualificatif le dans la définition. En général, on le notera F_S ou L(S). Intuitivement, F_S est le groupe engendré par S, sans relations entre les éléments de S autres que celles imposées par la structure de groupe.

Histoire

Walther von Dyck étudie en 1882 le concept de groupe libre, sans y donner de nom, dans son article Gruppentheoretische Studien (Études en théorie des groupes) publié dans Mathematische Annalen. Le terme de groupe libre a été introduit en 1924 par Jakob Nielsen, qui a défini des transformations qui engendrent le groupe d'automorphismes de ce groupe (en).

Construction

Soit S' un ensemble équipotent à S et disjoint de S, muni d’une bijection de S vers S'. Pour chaque élément s de S, on note s' l'élément correspondant dans S'.

Notons M l'ensemble des mots sur la réunion de S et de S', c'est-à-dire les chaînes finies de caractères constituées d'éléments de S et de S'. Deux telles chaînes seront dites équivalentes si on peut passer de l'une à l'autre en enlevant ou en rajoutant, en n'importe quelle position, des chaînes de la forme ss' ou s's. Ceci définit une relation d'équivalence R sur M. On définit F_S comme l'ensemble des classes d'équivalence modulo R. On identifie chaque élément s de S avec sa classe dans F_S pour avoir l’inclusion S ⊂ F_S.

La concaténation de deux mots définit une loi sur M préservée par l'équivalence. Par passage au quotient, on obtient une loi de groupe sur F_S. L'élément neutre est la classe du mot vide, et l'inverse de la classe de s₁s₂…s_n est la classe de s'_n…s'₂s'₁, et toute classe contient un représentant canonique, de longueur minimale : un mot « réduit », c'est-à-dire ne contenant aucun sous-mot de la forme ss' ou s's.

Vérification de la propriété universelle : Si $G$ est un groupe, toute application ensembliste $f:S\to G$ se prolonge en un morphisme de monoïdes $\varphi :M\to G$ tel que $\varphi (s)=f(s)$ et $\varphi (s')=$ $f(s)^{-1}$. Ce morphisme est constant sur les classes d'équivalence, et induit donc un morphisme de groupes $\varphi :F_{S}\to G$ qui prolonge $f$. De plus, $\varphi$ est l'unique morphisme de groupes $F_{S}\to S$ qui prolonge $f$ car tout élément de $F_{S}$ peut s'écrire comme la classe d'un mot.

Premières propriétés

• Si S et T ont même cardinalité, alors F_S et F_T sont isomorphes (par fonctorialité de S ↦ F_S). Réciproquement, si F_S et F_T sont isomorphes, on peut montrer que S et T ont même cardinal (le cardinal de S est en fait le rang du groupe F_S). D’ailleurs si S est infini, F_S a le même cardinal que S, et que S soit fini ou pas, l'ensemble des morphismes de F_S dans ℤ/2ℤ a même cardinal que l'ensemble des parties de S.
• Tout groupe engendré par une partie S est un quotient du groupe libre F_S sur S. En particulier, n’importe quel groupe est le quotient d'un groupe libre, d’où la notion de présentation d'un groupe (par générateurs et relations).
• Le foncteur objet libre qui à tout ensemble S associe le groupe libre F_S est l'adjoint à gauche du foncteur d'oubli, de la catégorie des groupes dans celle des ensembles.
• Si S est de cardinal supérieur ou égal à deux alors F_S est non commutatif. En effet, pour tous x, y ∈ S distincts, xy ≠ yx par unicité de l'écriture.
• Dans la catégorie des groupes, les objets projectifs sont les groupes libres.

Exemples

• Le groupe libre sur l'ensemble vide est le groupe trivial, et le groupe libre sur un singleton est isomorphe à ℤ.
• Soit n un entier naturel. Le groupe fondamental du plan privé de n points est un groupe libre sur un ensemble de cardinal n.

Sous-groupes d'un groupe libre

• D'après le théorème de Nielsen-Schreier, tout sous-groupe d'un groupe libre F_S est un groupe libre F_T, mais le cardinal de T n'est pas nécessairement inférieur ou égal à celui de S. Par exemple, dans le groupe libre F_{{a, b}} à deux générateurs, le sous-groupe engendré par les aⁿba^–n (pour tous les entiers n) n’admet aucun système fini de générateurs : c'est un groupe libre sur une infinité dénombrable de générateurs.
• Le groupe dérivé de F_{{a, b}} est lui aussi un groupe libre sur une infinité dénombrable de générateurs : les commutateurs [a^m, bⁿ] pour tous les entiers m, n non nuls.

Ainsi, même pour les sous-groupes distingués, on n’a pas d’analogue non abélien du résultat suivant : tout sous-groupe d'un groupe abélien libre est un groupe abélien libre dont le rang est un cardinal inférieur ou égal au rang du groupe.

Références

• (en) Marshall Hall, Jr., The Theory of Groups [détail des éditions], chapitre 7
• (en) Wilhelm Magnus, Abraham Karrass et Donald Solitar, Combinatorial Group Theory, Dover, 1976, 2^e éd. (lire en ligne), « Definition and elementary properties of free groups », p. 33-48

Voir aussi

• Groupe virtuellement libre
• Théorème de Kurosh sur les sous-groupes
• Propriété de Howson (en)