Espace T1

En mathématiques, un espace accessible (ou espace T₁, ou de Fréchet) est un cas particulier d'espace topologique, obéissant à l'axiome T₁ des axiomes de séparation.

Définition

Un espace topologique X est dit T₁ si pour tout couple d'éléments distincts $(x,y)\in X^{2}$, il existe un voisinage de x qui ne contient pas y et il existe un voisinage de y qui ne contient pas x.

Notons que le « et » est seulement un « ou » pour les espaces T₀, montrant au passage que tout espace T₁ est T₀.

Propriétés

Soit X un espace topologique.

Caractérisations

Les propriétés suivantes sont équivalentes :

• X est T₁ ;
• X est T₀ et R₀ ;
• tout singleton est fermé ;
• toute partie finie de X est fermée ;
• tout singleton est l'intersection de ses voisinages ;
• toute partie de X est l'intersection de ses voisinages ;
• pour tout x de X, l'ultrafiltre principal en x converge seulement vers x ;
• tout point limite d'une partie de X est point d'accumulation de cette partie (voir infra pour le vocabulaire).

Points limites

On définit ici un point limite $a\in X$ d'une partie $Y\subset X$ comme étant tel que tout voisinage de $a$ admette au moins un élément de $Y$ différent de $a$.

On définit ici un point d'accumulation $a\in X$ d'une partie $Y\subset X$ comme étant tel que tout voisinage de $a$ admette une infinité d'éléments de $Y$.

Une propriété fondamentale est que dans un espace T₁, les notions de point limite et de point d'accumulation sont synonymes.

Démonstration

Soit $X$ un espace T₁. Soit $Y\subset E$. Soit $a\in X$.

• Supposons que $a$ est un point d'accumulation de $Y$. Soit $V\in {\mathcal {V}}(a)$. $V\cap Y$ est infini, donc contient a fortiori deux éléments distincts. Parmi ceux-ci, au moins un est différent de $a$ (sinon ils ne seraient pas distincts...).

• Supposons que $a$ est un point limite de $Y$. Soit $V\in {\mathcal {V}}(a)$. Supposons $V\cap Y$ fini.
  
  Alors $V\cap (Y\setminus \{a\})$ est également fini (par inclusion). On écrit alors $V\cap (Y\setminus \{a\})=\{x_{0},x_{1},\ldots ,x_{n}\}$.
  Comme chacun des $x_{i}$ est différent de $a$, et qu'on est dans un espace T₁, on construit pour chacun un $V_{i}\in {\mathcal {V}}(a)$ tel que $x_{i}\notin V_{i}$.
  
  Ceci étant, posons ${\tilde {V}}=V\cap V_{0}\cap V_{1}\cap \ldots \cap V_{n}$.
  ${\tilde {V}}\in {\mathcal {V}}(a)$ (par stabilité par intersections finies).
  Or, on a clairement ${\tilde {V}}\cap (Y\setminus \{a\})=\emptyset$. Absurde (par hypothèse).

Ainsi, dans un espace T₁, si une partie admet un point limite, alors cette partie et donc l'espace sont infinis.

Exemples et contre-exemples

Exemples

• Les espaces triviaux générés par l'ensemble vide ou un singleton sont trivialement T₁.
• Tout espace T₂ est T₁. Donc par exemple les espaces métriques (munis de leur topologie naturelle).
• La topologie cofinie sur un ensemble infini est T₁.

Contre-exemples

• Tout espace muni de la topologie du point particulier (en) n'est pas T₁ (mais est T₀).

Crédit d'auteurs

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « T1 space » (voir la liste des auteurs).