Espace R0

En topologie, un espace symétrique (ou espace R₀) est un cas particulier d'espace topologique. Il s'agit d'un exemple d'axiome de séparation, plus faible que la propriété usuelle d'espace séparé.

Définition

Un espace topologique E est R₀ si pour toute paire d'éléments topologiquement discernables x et y de E (c’est-à-dire qu'il existe un voisinage de l'un qui ne contient pas l'autre), il existe un ouvert contenant x et pas y et un ouvert contenant y et pas x.

Propriétés

Soit E un espace topologique. Les propriétés suivantes sont équivalentes :

• E est un espace R₀ ;
• Pour tout x de E, l'adhérence de {x} ne contient que les points dont x n'est pas topologiquement distinct ;
• L'ultrafiltre principal en x converge seulement vers les points dont x n'est pas topologiquement distinct ;
• Le quotient de Kolmogorov de E est T₁ ;
• Tout ouvert est une réunion de fermés.

Un espace est T₁ si et seulement s'il est à la fois R₀ et T₀.

Exemple

Soit ℤ l'ensemble des entiers relatifs. Pour tout n ∈ ℤ, on pose G_n = ℤ\{n, n + 1} si n est pair et G_n = ℤ\{n – 1, n} si n est impair. L'ensemble des G_n est une prébase sur ℤ : les réunions quelconques d'intersections finies de parties de ℤ de la forme G_n constituent une topologie sur ℤ. L'espace topologique ainsi créé est R₀ ; il n'est en revanche pas T₀ (et donc pas T₁) : en effet, pour tout entier pair n, les points n et n+1 sont indiscernables.

Notes et références

(de) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en allemand intitulé « R0-Raum » (voir la liste des auteurs).