Variété de Poisson

En géométrie, une structure de Poisson sur une variété différentielle $M$ est un crochet de Lie $\{\cdot ,\cdot \}$ (appelé crochet de Poisson dans ce cas) sur l'algèbre ${C^{\infty }}(M)$ des fonctions lisses de $M$ à valeurs réelles, vérifiant formule de Leibniz

$\{f,gh\}=\{f,g\}h+g\{f,h\}$.

En d'autres termes, une structure de Poisson est structure d'algèbre de Lie sur l'espace vectoriel des fonctions lisses sur $M$ de sorte que $X_{f}{\stackrel {\text{df}}{=}}\{f,\cdot \}:{C^{\infty }}(M)\to {C^{\infty }}(M)$ est un champ de vecteurs pour toute fonction lisse $f$, appelé champ de vecteurs hamiltonien associé à $f$.

Definition

Soit $M$ une variété différentielle. Soit ${C^{\infty }}(M)$ l'algèbre des fonctions de classe ${C^{\infty }}$ de $M$ à valeurs réelles, où la multiplication est définie point par point. Un crochet de Poisson sur $M$ est une application $\mathbb {R}$-bilinéaire

$\{\cdot ,\cdot \}:{C^{\infty }}(M)\times {C^{\infty }}(M)\to {C^{\infty }}(M)$

vérifiant les trois axiomes:

• Antisymétrie: $\{f,g\}=-\{g,f\}$.
• Relation de Jacobi: $\{f,\{g,h\}\}+\{g,\{h,f\}\}+\{h,\{f,g\}\}=0$.
• Formule de Leibniz: $\{fg,h\}=f\{g,h\}+g\{f,h\}$.

Les deux premiers axiomes assurent que $\{\cdot ,\cdot \}$ définit une structure d'algèbre de Lie sur ${C^{\infty }}(M)$, tandis que le troisième assure que pour tout fonction $f\in {C^{\infty }}(M)$, son adjoint $\{f,\cdot \}\colon {C^{\infty }}(M)\to {C^{\infty }}(M)$ est une dérivation de ${C^{\infty }}(M)$, c'est-à-dire qu'il constitue un champ de vecteurs $X_{f}$. Il s'ensuit que le crochet $\{f,g\}$ des fonctions $f$ et $g$ est de la forme

$\{f,g\}=\pi (df\wedge dg)$,

où $\pi \in \Gamma {\Big (}\bigwedge ^{2}TM{\Big )}$ est un champ de bivecteurs lisse, appelé tenseur de Poisson.

Réciproquement, étant donné un champ de bivecteurs lisse $\pi$ sur $M$, la formule $\{f,g\}=\pi (df\wedge dg)$ définit un crochet bilinéaire antisymétrique $\{\cdot ,\cdot \}$ qui vérifie automatiquement la règle de Leibniz.

Exemples

• Toute variété peut être munie d'une structure de Poisson triviale par la formule $\{f,g\}=0$.
• Toute variété symplectique $(M,\omega )$ dispose naturellement d'une structure de Poisson, dont le tenseur $\pi$ est défini comme l'inverse de la forme symplectique $\omega$. On peut noter qu'avec une telle définition, la fermeture de la forme symplectique est équivalente à l'identité de Jacobi pour le crochet de Poisson associé.
• Le dual ${\mathfrak {g}}^{*}$ d'une algèbre de Lie $({\mathfrak {g}},[\cdot ,\cdot ])$ est une variété de Poisson. Une description globale du crochet est la suivante: ${\mathfrak {g}}$ est en bijection naturelle avec les fonctions linéaires sur ${\mathfrak {g}}^{*}$, on définit alors $\{f,g\}(x){\stackrel {\text{def}}{=}}<x,[{\text{d}}_{x}f,{\text{d}}_{x}g]>$ pour tous $f,g\in {C^{\infty }}({\mathfrak {g^{*}}})$ et $x\in {\mathfrak {g}}^{*}$.

Morphisme de Poisson

Si $(M,\{\cdot ,\cdot \}_{M})$ et $(M',\{\cdot ,\cdot \}_{M'})$ sont deux variétés de Poisson, une application lisse $\varphi :M\to M'$ est un morphisme de Poisson s'il respecte la structure de Poisson, c'est-à-dire que pour tout $x\in M$ et toute fonction $f,g\in {C^{\infty }}(M')$, on a:

${\{f,g\}_{M'}}(\varphi (x))={\{f\circ \varphi ,g\circ \varphi \}_{M}}(x).$

En termes de tenseurs de Poisson, cette condition revient à dire que $\pi _{M}$ n'est autre que le tiré en arrière de $\pi _{M'}$ par $\varphi$.

Les variétés de Poisson forme les objets d'une catégorie ${\mathfrak {Poiss}}$, dont les morphismes de Poisson sont les flèches.

Références

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• J.-P. Dufour et N.T. Zung, Poisson Structures and Their Normal Forms, vol. 242, Birkhäuser Progress in Mathematics, 2005
• R.L. Fernandes et Ioan Marcut, Lectures on Poisson Geometry, Yet unpublished lecture notes, 2014[1]
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• Paulette Libermann et C.-M. Marle, Symplectic geometry and analytical mechanics, Dordrecht, Reidel, 1987 (ISBN 90-277-2438-5)
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• Izu Vaisman, Lectures on the Geometry of Poisson Manifolds, Birkhäuser, 1994 See also the review by Ping Xu in the Bulletin of the AMS.
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