Forme différentielle fermée

En topologie différentielle, une forme différentielle est dite fermée lorsque sa dérivée extérieure est nulle.

D'après le théorème de Schwarz, toute forme exacte de classe C1 est fermée. Le lemme de Poincaré fournit une réciproque partielle.

Cas des 1-formes

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En dimension n, une 1-forme

 

est fermée si

 

Il y a donc n(n – 1)/2 conditions à satisfaire.

  • En dimension 1, une 1-forme dérivable est toujours fermée.
  • En dimension 2, une 1-forme est fermée si 
  • En dimension 3, une 1-forme est fermée si    ;       ;    ce qui correspond à
     
    avec
     

Références

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  • Jacques Lafontaine, Introduction aux variétés différentielles [détail des éditions]
  • Samuel Ferdinand Lubbe, Traité de calcul différentiel et de calcul intégral, Bachelier, 1832 [lire en ligne]