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merci de ne pas supprimer

les corps finis

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Le corps fini $K=\mathbb {F} _{p}$ avec $p$ premier est un corps commutatif cyclique.

$q=p^{d}$

$p-1$ divise $q-1=(p-1)\left(1+p+\cdots p^{d-1}\right)$

Soit le polynôme $X^{q-1}-1=0$ de $K[X]$

Supposons qu'il existe un corps $L\supset K$ tel que $X^{q-1}-1=\prod _{i=1}^{N}X-\rho _{i}$ avec $\rho _{i}\in L[X]$

soit $G=\left\{\rho _{1},\cdots \rho _{N}\right\}$ l'ensemble des racines de $X^{q-1}-1$

alors $N=q-1$ et $(G,\times )$ est un groupe commutatif

en effet $\rho _{a}\times \rho _{b}$ est racine de $X^{q-1}-1$ et $(\rho _{i})^{-1}=(\rho _{i})^{q-2}$

de plus ce groupe est cyclique : $G=\left\{g^{0},g^{1},\cdots ,g^{q-2}\right\}$ (pourquoi ?)

le problème est donc de savoir si $(G\cup \{0\},+)$ est un groupe et donc si $\left(G\cup \{0\},+,\times \right)$ est un corps et donc $L=\left(G\cup \{0\},+,\times \right)$.

$\left\{1,\cdots ,p-1\right\}\subset G$ puisque $(G,\times )$

On va créer de toute pièce un corps fini commutatif à q=p^d éléments, où p est un nombre premier. On note ce corpsK_q.

D'abord on fabrique le groupe multiplicatif $(K_{q},\times )$ : c'est un groupe cyclique à q-1 éléments. Il a donc un générateur g, et les éléments sont

$\{1=g^{0},g^{1},g^{2}\cdots g^{q-2}\}$

La multiplication est donc définie comme ceci : $g^{a}\times g^{b}=g^{a+b}$

Ensuite, on fabrique le groupe additif :

$x+0=0$

$x+y=z$

$g^{a}+g^{b}=g^{c}$

L'addition est donc définie par une table d'addition à $q\times (q-1)$ entrées.

Mais pour que la multiplication soit distributive sur l'addition, il faut que :

$x(y+z)=xy+xz$

$g^{a}(g^{b}+g^{c})=g^{a+b}+g^{a+c}$

ou encore :

$g^{a}+g^{b}=g^{a}(1+g^{b-a})$

ainsi, il suffit de connaitre le résultat de

$g^{k}+1$

soit q-1 valeurs pour connaitre toute la table d'addition.

Quelle est la structure du groupe additif ? L'approche polynomiale nous dit que c'est un groupe commutatif produit de $d$ groupes cycliques à $p$ éléments.

$g^{k}+\underbrace {1+\cdots +1} _{p}=g^{k}+p=g^{k}$

puisque $p=0$

de la même manière,

$\forall x,px=0$

$\underbrace {x+\cdots +x} _{p}=0$