Théorème de Girard

théorème de géométrie sphérique

En géométrie, et plus particulièrement en géométrie sphérique, le théorème de Girard est un théorème reliant la somme des angles d'un triangle sphérique et l'aire de ce dernier. Il porte le nom du mathématicien français Albert Girard qui la découvre en 1628.

Triangle sphérique

Énoncé

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Tandis qu'en géométrie euclidienne, la somme des angles d'un triangle fait toujours  ° (ou   radians), cette affirmation n'est plus vraie en géométrie sphérique. Cette somme est en effet supérieure à  °. Dès lors, le théorème de Girard est un raffinement de cette dernière affirmation :

Théorème de Girard —  Soit   un triangle sphérique sur la sphère unité et   et   les mesures en radians des angles de ce triangle. En notant   l'aire du triangle, on a  .

Dans le cas où la sphère a un rayon   quelconque, la formule devient  .

Généralisation

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Cette formule découverte au XVIIe siècle trouve une généralisation quelque deux cents ans plus tard, en 1848, grâce à la formule de Gauss-Bonnet (locale). En considérant   un espace simplement connexe délimité par une courbe lisse par morceaux, notés  , sur une surface  , et en notant   les angles entre les morceaux, on a

 

  désigne la courbure de Gauss.

Voir aussi

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Article connexe

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Bibliographie

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  • (en) Victor V. Prasolov, Differential Geometry, Springer, coll. « Moscow Lectures », , 271 p. (ISBN 978-3-030-92251-1)