Système exhaustif

En théorie des probabilités, un système exhaustif (ou système complet) d'évènements est en langage probabiliste l'analogue d'une partition en langage ensembliste.

Système exhaustif

Des évènements forment un système exhaustif s'ils sont deux-à-deux incompatibles et si leur réunion est l'univers tout entier.

Plus formellement, si $(\Omega ,{\mathcal {E}})$ est un espace probabilisable, on dit qu'une famille $(B_{i})_{i\in I}$ d'éléments de ${\mathcal {E}}$ indexée par un ensemble $I$ est un système exhaustif ou un système complet si

• $\forall (i,j)\in I^{2},\quad i\neq j\ \Longrightarrow \ B_{i}\cap B_{j}=\emptyset$;
• $\bigcup _{i\in I}B_{i}=\Omega$.

En particulier, toute partition de l'univers $\Omega$ est un système exhaustif (une partition exige en plus que chaque évènement soit non vide).

Par exemple, si $A$ est un évènement, alors la famille $(A,{\overline {A}})$, où $A$ est l'évènement contraire de $A$, est un système exhaustif.

Système quasi-exhaustif

Des évènements forment un système quasi exhaustif (ou quasi complet) s'ils sont deux-à-deux incompatibles et si leur réunion est un événement quasi-certain, c'est-à-dire dont la probabilité vaut 1 (en lieu et place de la condition « leur réunion est l’univers tout entier »).

Plus formellement, si $(\Omega ,{\mathcal {E}},\mathbb {P} )$ est un espace de probabilité, on dit qu'une famille $(B_{i})_{i\in I}$ d'éléments de ${\mathcal {E}}$ indexée par un ensemble $I$ est un système quasi-exhaustif ou un système quasi complet si

• $\forall (i,j)\in I^{2},\quad i\neq j\ \Longrightarrow \ B_{i}\cap B_{j}=\emptyset$;
• $\mathbb {P} {\Big (}\bigcup _{i\in I}B_{i}{\Big )}=1$.

Un système exhaustif est en particulier un système quasi-exhaustif, puisque l'univers est un évènement quasi-certain (autrement dit $\mathbb {P} (\Omega )=1$).

Par exemple, si on s'intéresse à une série infinie de lancers de pièce de monnaie et si on définit, pour tout entier naturel $i$ non nul, l'évènement $B_{i}$ correspondant à « pile apparait pour la première fois au $i$-ième lancer », alors $(B_{i})_{i\in \mathbb {N} ^{*}}$ est un système quasi-exhaustif. Ce n'est pas un système exhaustif car la réunion n'est pas égale à l'univers tout entier (l'évènement « obtenir face à chaque lancer » n'appartient pas à cette famille).

À noter que certains auteurs utilisent la dénomination système exhaustif (ou système complet)) pour parler d'un système quasi-exhaustif (ou système quasi-complet).

Voir aussi

• Formule des probabilités totales
• Théorème de Bayes