Sinus hyperbolique

fonction hyperbolique

Le sinus hyperbolique est, en mathématiques, une fonction hyperbolique.

Fonction sinus hyperbolique
Graphe de la fonction sinus hyperbolique sur une partie de ℝ.
Notation
Réciproque
sur
Dérivée
Primitives
Principales caractéristiques
Ensemble de définition
Ensemble image
Parité
impaire
Valeurs particulières
Valeur en zéro
0
Limite en +∞
Limite en −∞

Définition

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Sinus hyperbolique dans le plan complexe

La fonction sinus hyperbolique, notée   (ou  )[1] est la fonction complexe suivante :

 

  est l'exponentielle complexe.

La fonction sinus hyperbolique est la partie impaire de l'exponentielle complexe.

Dans la géométrie hyperbolique, la fonction sinus hyperbolique est un analogue de la fonction sinus de la géométrie euclidienne.

Propriétés

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Propriétés générales

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  •   est continue et même holomorphe donc infiniment dérivable. Sa dérivée est la fonction cosinus hyperbolique notée  .
  •   est impaire.
  • Les primitives de   sont  , où   est une constante d'intégration.
  • La restriction de   à ℝ est strictement croissante, concave sur   et convexe sur  .

Propriétés trigonométriques

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Des définitions des fonctions sinus et cosinus hyperbolique, on peut déduire les égalités suivantes :

 
 

Ces égalités sont analogues aux formules d'Euler en trigonométrie classique.

De même que les coordonnées   définissent un cercle,   définissent la branche positive d'une hyperbole équilatère. On a en effet pour tout   :

 .

D'autre part, pour   :

  , d'où  ;
  , d'où  ;
  (obtenu en itérant la formule précédente) ;
 .

L'utilisation de formules trigonométriques telles que   permet aussi d'obtenir des relations plus anecdotiques, telle que (pour tout réel   non nul) :

  ;

voir également l'article Gudermannien.

Développement en série de Taylor

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La série de Taylor en 0 de la fonction   converge sur ℂ tout entier et est donnée par :

 .

Valeurs

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Quelques valeurs de   :

  •   ;
  •   ;
  •  .

Tous les zéros de   sont des imaginaires purs :  .

Fonction réciproque

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Graphe de la fonction argument sinus hyperbolique sur une partie de ℝ.

  admet une fonction réciproque, notée   (ou   ou   ou parfois  )[2], et nommée argument sinus hyperbolique. Il s'agit d'une fonction multiforme complexe. Sa branche principale est généralement[3] choisie en posant comme coupure les demi-droites   et   :

 ,

  et   sont les déterminations principales du logarithme complexe de la racine carrée complexe. En effet, si   alors  , or  .

La restriction-corestriction de sinh de ℝ dans ℝ admet donc pour réciproque :  .

Cette branche principale est holomorphe sur le disque unité   et y admet le développement en série entière :

 .

Voir aussi

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Références

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  1. La norme internationale ISO/CEI 80000-2:2009 recommande sinh.
  2. La norme internationale ISO/CEI 80000-2:2009 recommande arsinh.
  3. (en) W. Kahan, « Branch cuts for complex elementary functions or Much ado about nothing's sign bit », dans A. Iserles et M. J. D. Powell, The State of the Art in Numerical Analysis, Clarendon Press, (lire en ligne), p. 165-210.