Polynôme de Bernoulli
En mathématiques, les polynômes de Bernoulli apparaissent dans l'étude de beaucoup de fonctions spéciales et en particulier, la fonction zêta de Riemann ; des polynômes analogues, correspondant à une fonction génératrice voisine, sont connus sous le nom de polynômes d'Euler.
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Définition
modifierLes polynômes de Bernoulli sont l'unique suite de polynômes telle que :
Fonctions génératrices
modifierLa fonction génératrice pour les polynômes de Bernoulli est
- .
La fonction génératrice pour les polynômes d'Euler est
- .
Les nombres d'Euler et de Bernoulli
modifierLes nombres de Bernoulli sont donnés par .
Les nombres d'Euler sont donnés par .
Expressions explicites pour les petits ordres
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Les premiers polynômes de Bernoulli sont : |
Les quelques premiers polynômes d'Euler sont : |
Propriétés des polynômes de Bernoulli
modifierDifférences
modifierLes polynômes de Bernoulli et d'Euler obéissent à beaucoup de relations du calcul ombral utilisé par Édouard Lucas, par exemple.
Dérivées
modifierTranslations
modifierSymétries
modifierAutres propriétés
modifierCette dernière égalité, déduite de la formule de Faulhaber, vient de l'égalité : ou, plus simplement, de la somme télescopique
.
Valeurs particulières
modifierLes nombres sont les nombres de Bernoulli.
Les nombres de Bernoulli de rang impair différent de 1 sont nuls :
Série de Fourier
modifierLa série de Fourier des polynômes de Bernoulli est aussi une série de Dirichlet, donnée par le développement[1] :
- ,
valide seulement pour 0 ≤ x ≤ 1 lorsque n ≥ 2 et pour 0 < x < 1 lorsque n = 1.
C'est un cas particulier de la formule de Hurwitz.
Notes et références
modifier- (en) Tsuneo Arakawa, Tomoyoshi Ibukiyama et Masanobu Kaneko, Bernoulli Numbers and Zeta Functions, Springer, (lire en ligne), p. 61.
Voir aussi
modifierBibliographie
modifier- (en) Milton Abramowitz et Irene Stegun, Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables [détail de l’édition] (lire en ligne), chap. 23
- (en) Tom M. Apostol, Introduction to Analytic Number Theory, 1976, Springer-Verlag, New York, chap. 12.11