Somme télescopique

En analyse, l'expression somme télescopique désigne informellement une somme dont les termes s'annulent de proche en proche :

Animation d'une somme télescopique, qui se range comme un télescope lorsque les termes s'annulent.

La formulation vient de l'image d'un télescope que l'on replie.

Lorsqu'on effectue cette simplification, on emploie en général la phrase « l'expression se simplifie par télescopage ».

Formule de télescopage et série télescopique

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Si   est une suite numérique, la série télescopique correspondante est la série de terme général  . La formule de télescopage s'écrit alors

 

La convergence de la série télescopique   équivaut donc à la convergence de la suite   , et  

On peut voir cette formule comme une version discrète de la formule d'intégration :  .

Exemples d'applications

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  ou, plus formellement,  

  • Les formules   et   s'obtiennent par télescopage après avoir écrit  .
  • La formule concernant la suite de Fibonacci :   s'obtient en écrivant  .
  • La formule de la crosse de Hockey pour les coefficients binomiaux :   s'obtient par télescopage en utilisant la relation de Pascal :  .
  • La relation remarquable   peut s'obtenir par télescopage.

En effet, si  , alors

 

On en déduit

 
  • Plus généralement, les sommes des   premières puissances p-ièmes des entiers   peuvent se calculer de proche en proche grâce à la formule de récurrence (Pascal 1655)  :  , formule se démontrant par télescopage et à l'aide de la formule du binôme.
    En effet, par télescopage :  .
    Et par la formule du binôme,   d'où la formule annoncée.
  • La décomposition en éléments simples permet parfois une réécriture sous forme télescopique ; par exemple, puisque

  on a (si  ) :  

 

  • Plus généralement, les expressions closes suivantes des sommes   et   pour   :
     
    peuvent s'obtenir en multipliant par   , en linéarisant, puis en télescopant.
  • Il convient cependant, dans le cas des séries, de ne pas négliger les questions de convergence ; on pourrait sinon en déduire, par exemple, que

  (mais les résultats ainsi obtenus ne sont pas toujours dénués de sens ; on pourra à ce sujet consulter l'article série divergente).

Application à la sommation par parties

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Énoncé et démonstration

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Si   et   sont des suites, la formule de sommation par parties s'écrit :

 

En effet, d'une part par télescopage,

 

et d'autre part :

 

Exemple d’application

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 , dont on tire :

 

Produit télescopique

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Formule

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La version multiplicative de la formule de télescopage s'écrit, pour une suite   jamais nulle :

 .

La convergence du produit infini télescopique   équivaut donc à la convergence de la suite   vers une limite  , et  

Exemples

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  • En remarquant que  , on a :
      (généralisation de la loi de Morrie), ce qui équivaut à   et donne   ;
  •  , d'où   ;
  •  , d'où  .

Références

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(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Telescoping series » (voir la liste des auteurs).

(en) Eric W. Weisstein, « Telescoping Sum », sur MathWorld