La podaire d'une courbe C par rapport à un point P est le lieu géométrique des projetés orthogonaux de P sur les tangentes à la courbe C.

Construction géométrique de la podaire (en rouge) de la courbe C (ici le cercle noir) par rapport au point P (le point noir à gauche). En tout point de C, on trace la tangente et on projette P orthogonalement sur cette tangente.

Inversement, la courbe C dont une courbe est la podaire s'appelle l'antipodaire (ou podaire inverse).

L'orthotomique d'une courbe C par rapport à un point P est le lieu géométrique des symétriques de P par rapport aux tangentes à la courbe C. L'orthotomique est donc l'image de la podaire par une homothétie de centre P et de rapport 2.

Étymologie et histoire

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La podaire fut étudiée par Colin Maclaurin en 1718 puis par Olry Terquem. Étymologiquement, le terme podaire provient du mot grec podos pied (pied de la perpendiculaire).

Définition mathématique

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L'équation paramétrique de la podaire d'une courbe paramétrée c(t) par rapport à un point P est donnée par :

 

En partant de l'équation cartésienne de la courbe sous la forme F(x, y)=0, en fixant l'origine du repère au point P, si l'équation de la tangente en R=(x0, y0) s'écrit

 

alors le vecteur (cos α, sin α) est parallèle au segment PX, et la longueur de PX, soit la distance entre la tangente et l'origine, vaut p. Donc X a pour coordonnées polaires (p, α), ce qui permet d'écrire une équation polaire de la podaire.

Exemples

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La podaire d'une parabole par rapport à son foyer est la tangente au sommet.
courbe
donnée C
point
de référence P
courbe
podaire
droite quelconque point
cercle sur le cercle cardioïde
cercle quelconque limaçon de Pascal
parabole foyer droite
parabole sommet cissoïde de Dioclès
ellipse foyer cercle
hyperbole équilatère centre lemniscate de Bernoulli
hyperbole foyer cercle
spirale logarithmique pôle spirale logarithmique

Applications

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La notion de podaire peut être utilisée en mécanique du point pour l'étude des mouvements à force centrale.

Voir aussi

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Lien externe

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Notes et références

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(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Pedal curve » (voir la liste des auteurs).