En mathématiques , plus précisement en algèbre linéaire , une matrice identité ou matrice unité est une matrice carrée diagonale dont la diagonale principale est remplie de
1
{\displaystyle 1}
0
{\displaystyle 0}
diag
(
1
,
…
,
1
)
{\displaystyle \operatorname {diag} (1,\ldots ,1)}
La matrice identité de taille
n
{\displaystyle n}
I
n
{\displaystyle \mathrm {I} _{n}}
[ N 1]
I
1
=
(
1
)
,
I
2
=
(
1
0
0
1
)
,
I
3
=
(
1
0
0
0
1
0
0
0
1
)
,
⋯
,
I
n
=
(
1
0
⋯
0
0
⋱
⋱
⋮
⋮
⋱
⋱
0
0
⋯
0
1
)
{\displaystyle \mathrm {I} _{1}={\begin{pmatrix}1\end{pmatrix}},\ \mathrm {I} _{2}={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}},\ \mathrm {I} _{3}={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}},\ \cdots ,\ \mathrm {I} _{n}={\begin{pmatrix}1&0&\cdots &0\\0&\ddots &\ddots &\vdots \\\vdots &\ddots &\ddots &0\\0&\cdots &0&1\end{pmatrix}}}
Il est possible de noter les coefficients de la matrice identité d'ordre
n
{\displaystyle n}
delta de Kronecker :
I
=
(
δ
i
j
)
{\displaystyle \mathrm {I} =(\delta _{ij})\ }
δ
i
j
=
{
1
si
i
=
j
0
si
i
≠
j
{\displaystyle \ \delta _{ij}=\left\{{\begin{matrix}1&{\mbox{si }}i=j\\0&{\mbox{si }}i\neq j\end{matrix}}\right.\,}
Les matrices identité sont des matrices unitaires et sont donc inversibles et normales .
Pour toute matrice
A
{\displaystyle A}
n
{\displaystyle n}
p
{\displaystyle p}
I
n
A
=
A
I
p
=
A
{\displaystyle \mathrm {I} _{n}\mathrm {A} =\mathrm {A} \mathrm {I} _{p}=\mathrm {A} }
La matrice identité représente l'application identité dans n'importe quelle base. Tout comme cette dernière n'a aucun effet par composition avec une application linéaire donnée, la matrice identité n'a aucun effet par produit avec une matrice. En particulier,
I
n
{\displaystyle \mathrm {I} _{n}}
élément neutre pour la multiplication des matrices carrées d'ordre
n
{\displaystyle n}
Une matrice identité de taille
n
{\displaystyle n}
Son rang vaut
r
g
(
I
n
)
=
n
{\displaystyle \mathrm {rg} (\mathrm {I} _{n})=n}
Son inverse est elle-même :
I
n
−
1
=
I
n
{\displaystyle \mathrm {I} _{n}^{-1}=\mathrm {I} _{n}}
Son conditionnement vaut
c
o
n
d
(
I
n
)
=
1
{\displaystyle \mathrm {cond} (\mathrm {I} _{n})=1}
Son déterminant vaut
d
e
t
(
I
n
)
=
1
{\displaystyle \mathrm {det} (\mathrm {I} _{n})=1}
Son polynôme caractéristique est
χ
=
(
X
−
1
)
n
{\displaystyle \chi =(X-1)^{n}}
Son unique valeur propre est
1
{\displaystyle 1}
n
{\displaystyle n}
Sa trace vaut
t
r
(
I
n
)
=
n
{\displaystyle \mathrm {tr} (\mathrm {I} _{n})=n}
En normes :
Sa norme
1
{\displaystyle 1}
|
|
I
n
|
|
1
=
∑
i
,
j
=
1
n
|
δ
i
,
j
|
=
n
{\displaystyle ||\mathrm {I} _{n}||_{1}=\sum _{i,j=1}^{n}|\delta _{i,j}|=n}
Sa norme
2
{\displaystyle 2}
|
|
I
n
|
|
2
=
∑
i
,
j
=
1
n
|
δ
i
,
j
|
2
=
n
{\displaystyle ||\mathrm {I} _{n}||_{2}={\sqrt {\sum _{i,j=1}^{n}|\delta _{i,j}|^{2}}}={\sqrt {n}}}
Sa norme
p
{\displaystyle p}
|
|
I
n
|
|
p
=
∑
i
,
j
=
1
n
|
δ
i
,
j
|
p
p
=
n
p
{\displaystyle ||\mathrm {I} _{n}||_{p}={\sqrt[{p}]{\sum _{i,j=1}^{n}|\delta _{i,j}|^{p}}}={\sqrt[{p}]{n}}}
↑ Si l'ordre n'est pas précisé, ou qu'il est implicitement déterminé par le contexte, elle est simplement notée
I
{\displaystyle \mathrm {I} }
![{\displaystyle ||\mathrm {I} _{n}||_{p}={\sqrt[{p}]{\sum _{i,j=1}^{n}|\delta _{i,j}|^{p}}}={\sqrt[{p}]{n}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f7b2aafe771bd56b7f1fdfe10ce46e8ed25305ce)
