En mathématiques, plus précisément en algèbre linéaire, certains espaces vectoriels possèdent une base qualifiée de canonique ; il s'agit d'une base qui se présente de manière naturelle d'après la manière dont l'espace vectoriel est présenté. C'est ainsi que l'on parle de la base canonique de n, de la base canonique de l'espace vectoriel des matrices ou de celui des polynômes. En revanche sur un espace vectoriel quelconque, la notion n'a pas de sens : il n'y a pas de choix de base privilégiée.

La propriété spécifique de ces bases canoniques est que pour tout vecteur v de l'espace, les coordonnées de v dans la base canonique sont données par les composantes mêmes (coefficients) qui constituent v.

Dans Kn

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Définition

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Soit K un corps commutatif et n un entier naturel.

La base canonique de Kn, également appelée base standard, est la base   où pour i compris entre 1 et n, le vecteur   est défini par :

 ,

  désigne le symbole de Kronecker :

 

Ici, 0 désigne le neutre de la première loi de K et 1 celui de la seconde.

Il est important de se rappeler qu'une base a autant de vecteurs que la dimension de l'espace vectoriel.

Exemples

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La base canonique du plan vectoriel2 est constituée des deux vecteurs :

 

La base canonique de l'espace ℝ3 à trois dimensions se compose des trois vecteurs :

 

Pour n entier, le produit scalaire canonique de Kn est celui pour lequel la base canonique est orthonormée.

Lorsque le corps est le corps des réels ℝ, l'orientation canonique de ℝn est celle pour laquelle cette base est directe.

Dans d'autres espaces vectoriels usuels

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Polynômes

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Dans l'anneau des polynômes sur un corps K, vu comme espace vectoriel sur K, la base canonique est la famille des monômes  .

Cette base est infinie. Comme pour toute base d'un espace vectoriel, tout vecteur (donc ici tout polynôme) s'écrit comme une combinaison linéaire faisant intervenir un nombre fini d'éléments de la base.

Matrices

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Dans l'espace des matrices à n lignes et p colonnes, la base canonique est l'ensemble des unités matricielles (en)[1] : ce sont les matrices   qui présentent un 1 à l'intersection de la ie ligne avec la je colonne, et des 0 partout ailleurs.

Pour toute matrice  , ses coordonnées dans la base canonique sont les coefficients.

 
Exemple :

 

Théorie des représentations

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La base canonique pour les représentations irréductibles d'un groupe quantique de type ADE et pour la partie positive de cette algèbre a été introduite par George Lusztig en 1990[2] par deux méthodes, l'une algébrique (grâce à une action du groupe de tresses et la base de Poincaré-Birkhoff-Witt), l'autre topologique (grâce à la cohomologie d'intersection). En spécialisant le paramètre   à  , on obtient une base canonique pour les représentations irréductibles de l'algèbre de Lie simple associée, base qui n'était pas connue auparavant. Cette trace (mais pas la base elle-même) dans le cas des représentations irréductibles a été considérée indépendamment par Masaki Kashiwara la même année[3] et elle est parfois appelée base cristalline. La définition de la base canonique a peu après été étendue aux algèbres de Kac-Moody par Kashiwara[4] (par une méthode algébrique) et par Lusztig[5] (par une méthode topologique).

Il y a un concept général sous-jacent pour toutes ces bases.

Considérons l'anneau des polynômes de Laurent à coefficients entiers   et ses deux sous-anneaux  , ainsi que l'automorphisme   défini par  .

Une structure précanonique sur un  -module libre   est la donnée de :

  • une base standard   de   ;
  • un ordre partiel   dont tous les intervalles sont finis, c'est-à-dire que   est fini pour tout   ;
  • une opération de dualisation, c'est-à-dire une bijection   d'ordre deux qui est semi-linéaire pour l'automorphisme   – on la notera   aussi.

Étant donné une structure précanonique, on peut définir le sous- -module   de  .

Une base canonique de la structure précanonique est alors une base   du  -module   telle que :

  •   et
  •  

pour tout  .

On peut montrer qu'il existe au plus une base canonique pour chaque structure précanonique[6]. Une condition suffisante pour l'existence est que les polynômes   définis par   satisfont à   et  .

Une base canonique induit un isomorphisme de   sur  .

Algèbres de Hecke

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Soit   un groupe de Coxeter. L'algèbre d'Iwahori-Hecke   associée possède par définition une base standard   et le groupe est partiellement ordonné par l'ordre de Bruhat, qui est à intervalles finis, et elle admet une opération de dualisation définie par  . Cela donne une structure précanonique sur   pour laquelle la condition suffisante ci-dessus est satisfaite. La base canonique correspondante de   est la base de Kazhdan-Lusztig

 ,

où les   sont les polynômes de Kazhdan-Lusztig.

Référence

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  1. Bourbaki, A.II.142.
  2. George Lusztig, « Canonical bases arising from quantized enveloping algebras », Journal of the American Mathematical Society, vol. 3, no 2,‎ , p. 447-498 (ISSN 0894-0347, DOI 10.2307/1990961  , JSTOR 1990961, MR 1035415).
  3. Masaki Kashiwara, « Crystalizing the q-analogue of universal enveloping algebras », Communications in Mathematical Physics, vol. 133, no 2,‎ , p. 249-260 (ISSN 0010-3616, DOI 10.1007/bf02097367, Bibcode 1990CMaPh.133..249K, MR 1090425, S2CID 121695684, lire en ligne).
  4. Masaki Kashiwara, « On crystal bases of the q-analogue of universal enveloping algebras », Duke Mathematical Journal, vol. 63, no 2,‎ , p. 465-516 (ISSN 0012-7094, DOI 10.1215/S0012-7094-91-06321-0, MR 1115118, lire en ligne).
  5. George Lusztig, « Quivers, perverse sheaves and quantized enveloping algebras », Journal of the American Mathematical Society, vol. 4, no 2,‎ , p. 365-421 (ISSN 0894-0347, DOI 10.2307/2939279  , JSTOR 2939279, MR 1088333).
  6. George Lusztig, « Quivers,perverse sheaves and quantized enveloping algebras », Journal of the American Mathematical Society, vol. 4, no 2,‎ , p. 365-421 (ISSN 0894-0347, DOI 10.2307/2939279  , JSTOR 2939279, MR 1088333).