Loi demi-logistique

En théorie des probabilités et en statistique, la loi demi-logistique est une loi de probabilité continue de la valeur absolue d'une variable aléatoire de loi logistique. Si Y est une variable aléatoire de loi logistique, alors

Loi demi-logistique
Densité de probabilité
Fonction de répartition
Paramètres	$\mu \in \mathbb {R}$ $\sigma >0$
Support	$x\in ]\mu ;\infty [$
Densité de probabilité	${\frac {2\exp({\frac {x-\mu }{\sigma }})}{\sigma \left(1+\exp({\frac {x-\mu }{\sigma }})\right)^{2}}}$
Fonction de répartition	${\frac {\exp({\frac {x-\mu }{\sigma }})-1}{\exp({\frac {x-\mu }{\sigma }})+1}}$
Espérance	$\ln(4)$ (cas centré réduit)
Médiane	$\ln(3)$ (cas centré réduit)
Mode	$\mu$
Variance	$\pi ^{2}/3-(\ln(4))^{2}$ (cas centré réduit)

$X=|Y|\!$

est de loi demi-logistique. Cette loi dépend alors des deux mêmes paramètres que la loi logistique : ${\textstyle \mu \in \mathbb {R} }$ et ${\textstyle \sigma >0}$, représentée par la notation : $X\sim {\frac {1}{2}}\log(\mu ,\sigma )$.

Caractéristique

Densité de probabiltié

La densité de probabilité de la loi demi-logistique est donnée par :

$f_{X}(x)={\begin{cases}{\frac {2\exp({\frac {x-\mu }{\sigma }})}{\sigma \left(1+\exp({\frac {x-\mu }{\sigma }})\right)^{2}}}&{\text{ si }}x>\mu \\0&{\text{ sinon.}}\end{cases}}$

Dans le cas centré réduit, c'est-à-dire $\mu =0$ et $\sigma =1$, la densité de probabilité s'écrit :

$f_{X}(x)={\begin{cases}{\frac {2\mathrm {e} ^{x}}{(1+\mathrm {e} ^{x})^{2}}}&{\text{ si }}x>0\\0&{\text{ sinon.}}\end{cases}}$

Fonction de répartition

La fonction de répartition de la loi demi-logistique est:

$F_{X}(x)={\begin{cases}{\frac {\exp({\frac {x-\mu }{\sigma }})-1}{\exp({\frac {x-\mu }{\sigma }})+1}}&{\text{ si }}x>\mu \\0&{\text{ sinon.}}\end{cases}}$

et pour le cas centré réduit :

$F_{X}(x)={\begin{cases}{\frac {\mathrm {e} ^{x}-1}{\mathrm {e} ^{x}+1}}&{\text{ si }}x>0\\0&{\text{ sinon.}}\end{cases}}$

En particulier, ${\textstyle F_{X}(x)=2f_{X}(x)-1}$.

Liens avec d'autres lois

• $\ln \left({\frac {\mathrm {e} ^{X}+1}{\mathrm {e} ^{X}-1}}\right)\sim {\frac {1}{2}}\log(0,1)$ si et seulement si $X\sim {\mathcal {E}}(1)$ (loi exponentielle).
• $\ln \left(X-1\right)\sim {\frac {1}{2}}\log(0,1)$ si et seulement si $X\sim \operatorname {Pareto} (1,2)$ (Distribution de Pareto).
• Si $X\sim U(0,1)$ (loi uniforme continue), alors $\ln \left({\frac {2-X}{X}}\right)\sim {\frac {1}{2}}\log(0,1)$.

Références

• (en) George Olusengun, Meenakshi Devidas, Handbook of the Logistic Distribution, New York, Marcel Dekker, Inc., 1992, 232–234 p. (ISBN 0-8247-8587-8), « Some Related Distributions »

• (en) A.K. Olapade, « On Characterizations of the Half-Logistic Distribution », InterStat, n^o 2,‎ février 2003 (lire en ligne)