Inégalité 4/3 de Littlewood

En analyse mathématique, l'inégalité 4/3 de Littlewood, portant le nom de John Edensor Littlewood, est une inégalité valable pour toute forme bilinéaire à valeurs complexes définie sur $c_{0}$, l'espace de Banach des suites réelles ou complexes qui convergent vers zéro.

Plus précisément, soit $B:c_{0}\times c_{0}\to \mathbb {C}$ ou $\mathbb {R}$ une forme bilinéaire. On a alors :

$\left(\sum _{i,j=1}^{\infty }|B(e_{i},e_{j})|^{4/3}\right)^{3/4}\leqslant {\sqrt {2}}\|B\|,$

où

$\|B\|=\sup\{|B(x_{1},x_{2})|:\|x_{i}\|_{\infty }\leqslant 1\}.$

L'exposant 4/3 est optimal, c'est-à-dire qu'il ne peut pas être remplacé par un exposant plus petit. Il est également connu que pour des suites réelles, la constante ${\sqrt {2}}$ est optimale aussi.

Généralisation

Inégalité de Bohnenblust-Hille

L'inégalité de Bohnenblust-Hille est une généralisation multilinéaire de l'inégalité de Littlewood. Elle exprime que pour toute application $m$-linéaire $M:c_{0}\times \cdots \times c_{0}\to \mathbb {C}$, on a :

$\left(\sum _{i_{1},\ldots ,i_{m}=1}^{\infty }|M(e_{i_{1}},\ldots ,e_{i_{m}})|^{2m/(m+1)}\right)^{(m+1)/(2m)}\leq 2^{(m-1)/2}\|M\|,$

Articles connexes

• Inégalité de Grothendieck (en)

Notes et références

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Littlewood's 4/3 inequality » (voir la liste des auteurs).