Espace de suites $ℓ$ ^p

En mathématiques, l'espace $ℓ$ ^p est un exemple d'espace vectoriel, constitué de suites à valeurs réelles ou complexes et qui possède, pour $1 \leq p \leq \infty$ , une structure d'espace de Banach.

Motivation

Considérons l'espace vectoriel réel ℝⁿ, c'est-à-dire l'espace des n-uplets de nombres réels.

La norme euclidienne d'un vecteur $x=(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})$ est donnée par :

\|x\|=\left(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\dots +x_{n}^{2}\right)^{1/2}

.

Mais pour tout nombre réel p ≥ 1, on peut définir une autre norme sur ℝⁿ, appelée la p-norme, en posant :

\|x\|_{p}=\left(|x_{1}|^{p}+|x_{2}|^{p}+\dots +|x_{n}|^{p}\right)^{1/p}

pour tout vecteur $x=(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})$ .

Pour tout p ≥ 1, ℝⁿ muni de la p-norme est donc un espace vectoriel normé. Comme il est de dimension finie, il est complet pour cette norme.

Espace ℓ^p

La p-norme peut être étendue aux vecteurs ayant une infinité dénombrable de composantes, ce qui permet de définir l'espace ℓ^p (noté aussi ℓ^p(ℕ) car on peut définir de même ℓ^p(X) pour n'importe quel ensemble X fini ou infini, le cas où X a n éléments correspondant au paragraphe précédent).

Plus précisément, ℓ^p sera un sous-espace vectoriel de l'espace des suites infinies de nombres réels ou complexes, sur lequel la somme est définie par :

(x_{0},x_{1},\dots ,x_{n},x_{n+1},\dots )+(y_{0},y_{1},\dots ,y_{n},y_{n+1},\dots )=(x_{0}+y_{0},x_{1}+y_{1},\dots ,x_{n}+y_{n},x_{n+1}+y_{n+1},\dots )

et la multiplication par un scalaire par :

\lambda (x_{0},x_{1},\dots ,x_{n},x_{n+1},\dots )=(\lambda x_{0},\lambda x_{1},\dots ,\lambda x_{n},\lambda x_{n+1},\dots ).

On définit la p-norme d'une suite $x=(x_{0},x_{1},\dots ,x_{n},x_{n+1},\dots )$ :

\|x\|_{p}=\left(|x_{0}|^{p}+|x_{1}|^{p}+\dots +|x_{n}|^{p}+|x_{n+1}|^{p}+\dots \right)^{1/p}\in [0,+\infty ].

La série de droite n'est pas toujours convergente : par exemple, la suite (1, 1, 1, …) a une p-norme infinie pour n'importe quel $p < \infty$ .

L'espace ℓ^p est défini comme l'ensemble des suites infinies de nombres réels ou complexes dont la p-norme est finie.

On définit aussi la « norme $\infty$ » comme :

\|x\|_{\infty }=\sup(|x_{0}|,|x_{1}|,\dots ,|x_{n}|,|x_{n+1}|,\dots )

et l'espace vectoriel correspondant ℓ^$\infty$ est l'espace des suites bornées.

Propriétés

Pour tout ensemble X, l'espace ℓ^∞(X) des fonctions bornées sur X (à valeurs réelles ou complexes) est de Banach, c'est-à-dire que toute suite uniformément de Cauchy de fonctions bornées sur X converge uniformément (vers une fonction bornée). De même, pour $1 \leq p \leq \infty$ , ℓ^p(ℕ) est de Banach. (Ce sont deux cas particuliers du théorème de Riesz-Fischer, qui concerne tous les espaces $L p$ .)
Dans ℓ^∞, un sous-espace remarquable est l'espace c des suites convergentes. Il est fermé (donc complet), puisque toute limite uniforme de suites convergentes est convergente ; ou encore : c est complet (donc fermé dans ℓ^∞), puisqu'isométriquement isomorphe à l'espace (complet) des applications continues (donc) bornées sur le compact $[0, ω] = ℕ\cup{+\infty}$ , compactifié d'Alexandrov de ℕ discret.
Pour 1 < p < $\infty$ , l'espace de suites ℓ^p est réflexif. Son dual^[1] est l'espace ℓ^q, avec ¹⁄_p+¹⁄_q = 1 ;
Dans ℓ^∞, le sous-espace c₀ des suites de limite nulle n'est pas réflexif : son dual est ℓ¹ et le dual de ℓ¹ est ℓ^∞^[1]. Par conséquent, ℓ¹ et ℓ^∞ ne sont pas non plus réflexifs.
Pour tout r < $\infty$ et tout $x$ ∈ ℓ^r, l'application $p \mapsto ║ x ║ p$ est décroissante sur $[r, +\infty[$ . En effet, si p ≥ q ≥ r on a | $x k$ | / $║ x ║ q$ ≤ 1 pour tout indice k, donc $|x_{k}|^{p}/\|x\|_{q}^{p}\leq |x_{k}|^{q}/\|x\|_{q}^{q}~;$ en sommant cette inégalité sur k on en déduit $║ x ║ p \leq ║ x ║ q$ . La fonction $p \mapsto ║ x ║ p$ est aussi continue sur $[r, +\infty]$ . En particulier^[2] : $\|x\|_{\infty }=\lim _{p\to +\infty }\|x\|_{p}.$