Grassmannienne

En mathématiques, les grassmanniennes sont des variétés dont les points correspondent aux sous-espaces vectoriels d'un espace vectoriel fixé. On note G(k, n) ou G_k,n(K) la grassmannienne des sous-espaces de dimension k dans un espace de dimension n sur le corps K. Ces espaces portent le nom de Hermann Grassmann qui en donna une paramétrisation et sont encore appelés grassmanniennes des « k-plans ».

Généralités

Exemples

• Pour k = 1, la grassmannienne est l'espace projectif associé à l'espace vectoriel.
• Pour k = n – 1, la grassmannienne correspond à l'espace projectif associé à l'espace dual de l'espace vectoriel de départ, car chaque point correspond à un hyperplan.
• Pour k = 2 et n = 4, on obtient la plus simple des grassmanniennes qui ne soit pas un espace projectif. Celle-ci a été étudiée par Julius Plücker, comme ensemble de droites de l'espace projectif de dimension 3. Elle est décrite par les coordonnées plückeriennes.

Grassmannienne comme quotient

Pour le voir, on note $GL_{p,n}$ l'ensemble des matrices de taille (n, p) et de rang p et $SL_{p,n}$ la variété de Stiefel des matrices de taille (n, p) dont les colonnes sont orthogonales et unitaires.

On remarque que $G_{p,n}$ est en bijection avec l'espace des orbites de l'action (par multiplication à droite) de $GL_{p}$ sur $GL_{p,n}$, ainsi qu'à celui de l'action de $U_{p}$ (le groupe des matrices unitaires de taille p) sur $SL_{p,n}$.

On montre que les topologies induites par ces représentations sont identiques en utilisant la factorisation de Cholesky.

Plongement de Plücker

Un autre façon de réaliser la grassmannienne est de définir ses coordonnées plückeriennes ou grassmanniennes. Ce plongement de $G_{p,n}(\mathbb {R} )$ dans l'espace projectif $\mathbb {P} (\Lambda ^{p}(\mathbb {R} ^{n}))$ des produits extérieurs de degré k dans l'espace ℝⁿ prolonge les travaux de Plücker pour le cas des plans de ℝ⁴.

Recouvrement par des cartes affines

On introduit la base canonique $(e_{i})_{i\in [[1,n]]}$ de E = ℝⁿ et l'on note S une k-partie de {1, … , n}, $E_{1}=E_{S}$ le sous-espace engendré par les vecteurs $(e_{i})_{i\in S}$.

On note $V_{S}=G_{k,n,S}$ l'ensemble des supplémentaires de $E_{2}=E_{S^{c}}$.

Première étape

Soit V un élément de V_S.

Tout vecteur $x\in V$ s'écrit de façon unique $x=u+v=p(x)+q(x)$ avec $u\in E_{1}$ et $v\in E_{2}$. L'application $V\to E_{1},x\mapsto u$ est linéaire et injective. Comme V et $E_{1}$ ont même dimension, c'est un isomorphisme. On note $\phi \in L(E_{1},V)$ l'isomorphisme réciproque. On a alors $x=u+q\circ \phi (u)$ avec $\psi =q\circ \phi \in L(E_{1},E_{2}).$

Seconde étape

L'argument précédent montre que l'on peut associer de façon bijective, à tout élément V de $V_{S}$, une application $\psi \in L(E_{1},E_{2})$, ou encore sa matrice (dans les bases canoniques de E₁ et E₂), $\psi _{S}(V)\in M_{n-k,k}$ (l'ensemble des matrices réelles de taille n – k, k).

Cette bijection $\psi _{S}:G_{k,n,S}=V_{S}\to M_{n-k,k}$ est une description affine de $G_{k,n,S}$, qui est une partie ouverte (pour la topologie de Zariski qu'on est en train de construire) de la grassmannienne $G_{k,n}$.

Troisième étape

On montre que tout élément de $G_{k,n}$ appartient à $G_{k,n,S}$ pour au moins une k-partie S, et que pour deux parties différentes S et T, le changement de cartes $\psi _{T}\circ (\psi _{S})^{-1}$ induit par les descriptions de $G_{k,n,S}$ et $G_{k,n,T}$ est un morphisme (application rationnelle partout définie), bijective ainsi que sa réciproque (ou isomorphisme birégulier) entre $\psi _{S}(G_{k,n,S}\cap G_{k,n,T})$ et $\psi _{T}(G_{k,n,S}\cap G_{k,n,T})$.

Interprétation comme variété algébrique

On en déduit par recollement que cette grassmannienne est une variété algébrique.

La représentation précédente permet alors de montrer que $G_{p,n}(\mathbb {R} )$ est une variété non singulière, affine, fermée et bornée, birégulièrement isomorphe à $G(n-p,n)(\mathbb {R} )$.

Grassmanniennes euclidiennes

Soit $G_{p,n}(\mathbb {R} )$ la grassmannienne des sous-espaces de dimension p de ℝⁿ. Dans l'espace $M_{n}(\mathbb {R} )$ des matrices carrées de taille n à coefficients réels, considérons le sous-ensemble des matrices de projecteurs orthogonaux de rang p, c'est-à-dire des matrices A vérifiant les trois conditions :

• $A^{2}=A$ (c'est la matrice d'un projecteur) ;
• $^{\rm {t}}A=A$ (elle est symétrique) ;
• ${\rm {Tr}}(A)=p$ (sa trace est p).

On obtient par ce biais une représentation de $G_{p,n}(\mathbb {R} )$ comme un sous-ensemble affine des matrices carrées de taille n à coefficients réels.

Voir aussi

Articles connexes

• Fibré tautologique (en)
• Espace classifiant

Bibliographie

• Laurent Lafforgue, Chirurgie des grassmanniennes (lire en ligne)
• Lilian Aveneau, « Les coordonnées de Plücker revisitées », REFIG, vol. 3, n^o 2, 2009, p. 59-68
• Andreas Höring (université Pierre-et-Marie-Curie), feuilles d'exercices sur le plongement de Plücker : Géométrie algébrique et espaces de modules, feuille 3 et Géométrie kählerienne et théorie de Hodge, feuille 1
• Michèle Audin, Géométrie, EDP Sciences, 2006, 3^e éd., 428 p. (ISBN 978-2-7598-0180-0, lire en ligne), p. 215