Espace extrêmement discontinu
En mathématiques, un espace extrêmement discontinu est un espace topologique dans lequel l'adhérence d'un ouvert est ouverte.
La mise en forme de cet article est à améliorer ().
La mise en forme du texte ne suit pas les recommandations de Wikipédia : il faut le « wikifier ».
Un espace extrêmement discontinu qui est de plus compact est parfois appelé un espace Stonéen. C'est un cas particulier d'espace Stone, qui est un espace compact totalement discontinu. Dans la dualité entre espaces de Stone et les algèbres de Boole, les espaces Stonéen correspondent aux algèbres booléennes complètes.
Exemples et contre-exemples
modifier- Tout espace discret est extrêmement discontinu.
- Le compactifié de Stone-Čech d’un espace discret est extrêmement discontinu.
- Le spectre d’une algèbre de von Neumann abélienne est extrêmement discontinu.
- Tout espace infini muni de la topologie cofinie est en même temps extrêmement discontinu et connexe. Plus généralement, tout espace irréductible est extrêmement discontinu.
- L'espace sur trois points dont la topologie est engendrée par fournit un exemple fini d’un espace à la fois extrêmement discontinu et connexe. Un autre exemple est donné par l' espace de Sierpinski, puisqu'il est fini, connexe et irréductible.
- L'ensemble de Cantor n'est pas extrêmement discontinu, bien qu'il soit totalement discontinu.
Caractérisations
modifierLes objets projectifs de la catégorie des espaces compacts sont exactement les espaces compacts extrêmement discontinus[1].
Un espace compact est extrêmement discontinu si et seulement si c'est un retract du compactifié de Stone-Čech d'un espace discret [2].
Voir aussi
modifierNotes et références
modifier- (en) Andrew Gleason, « Projective topological spaces », Illinois Journal of Mathematics, vol. 2, no 4A, , p. 482–489 (DOI 10.1215/ijm/1255454110
, MR 0121775).
- (en) Zbigniew Semadeni, Banach spaces of continuous functions. Vol. I, PWN---Polish Scientific Publishers, Warsaw, (MR 0296671) (Thm. 24.7.1).
- A. V. Arkhangelskii, "Extremally-disconnected space", Encyclopædia_of_Mathematics, EMS Press
- (en) Peter T. Johnstone, Stone spaces, Cambridge University Press, 1982, rééd. 1986
- John Rainwater, « A Note on Projective Resolutions », Proceedings of the American Mathematical Society, vol. 10, no 5, , p. 734–735 (DOI 10.2307/2033466 , JSTOR 2033466)
