E=mc2

L'équation E = mc² (lire « E égale m c carré » ou « E égale m c deux ») est une formule d'équivalence entre la masse et l'énergie, rendue célèbre par Albert Einstein dans une publication en 1905 sur la relativité restreinte.

Sculpture de « E=mc² » exposée lors de la « Walk of Ideas » (« marche des idées ») à Berlin en 2006.

Cette relation signifie qu'une particule de masse m isolée et au repos dans un référentiel possède, du fait de cette masse, une énergie E appelée énergie de masse, dont la valeur est donnée par le produit de m par le carré de la vitesse de la lumière dans le vide (c).

Elle apparaît en 1900 de façon implicite chez le mathématicien et physicien français Henri Poincaré dans l'article intitulé « La théorie de Lorentz et le principe de l’action et de la réaction » où il développe certains principes de déformation de l'espace-temps qu'il appelle aussi « relativité », puis en 1903 dans la thèse peu médiatisée de l'Italien Olinto de Pretto.

En relativité restreinte, l'égalité E = mc² est connue comme la relation d'Einstein. Elle relie une masse m et une énergie E. L'énergie E est l'énergie de masse mc². La masse m est la masse inerte m_i qui apparaît dans la relation fondamentale de la dynamique et caractérise l'inertie d'un corps. Einstein, par cette équivalence de la masse inerte et de l'énergie, introduit le principe d'inertie de l'énergie.

Cette formule de transformation, qui explique l'énergie dégagée par la fission et la fusion nucléaire, en particulier dans les bombes atomiques, marque fortement les esprits car elle met en évidence que, du fait de l'énormité du facteur c², une perte de masse même petite à l'échelle humaine peut dégager une quantité d'énergie considérable. Par exemple, un gramme de matière que l'on annihilerait par collision avec de l'antimatière correspond à environ 10¹⁴ joules, soit approximativement l'énergie dégagée par les premières bombes nucléaires.

Histoire

Dès 1881, Joseph John Thomson (1856-1940) attribue à un conducteur une masse additionnelle de Δm = 3E / 4c² où E est l'énergie du champ électromagnétique.

En 1900, Henri Poincaré (1854-1912) observe que le rapport du flux d'énergie de Poynting au flux d'impulsion électromagnétique est de 1 / c². Il suggère que l'énergie électromagnétique doit avoir une masse apparente telle que E = mc². Il en conclut qu'un émetteur hertzien émettant de l'énergie sous forme d'ondes doit subir un effet de recul de la même manière qu'un canon expulsant un boulet. La même année, il présente les résultats de ses travaux dans un mémoire intitulé La théorie de Lorentz et le principe de l’action et de la réaction. Il ajoute en 1902 certaines notions liées à la relativité restreinte (déformation de l'espace et du temps eux-mêmes, et non simple déformation des solides comme le supposait Fitzgerald), dans son ouvrage La Science et l'Hypothèse.

Selon l'historien Umberto Bartocci (it), l'équation d'équivalence entre masse et énergie aurait été formulée dès 1903 par un physicien amateur italien, Olinto de Pretto. La formule est décrite le 29 novembre 1903 dans un article de 62 pages publié par la revue scientifique de l'Institut Royal des Sciences, Lettres et Arts de Venise.

En 1904, Friedrich Hasenöhrl (1874-1915) montre que, si l'on considère le mouvement d'une boîte aux murs réfléchissants, vide de toute matière mais contenant un rayonnement électromagnétique d'énergie totale E, celui-ci se comporte, du fait de l'énergie de radiation, comme s'il avait une masse m = 3E / 4c². Mais le calcul s’avérera erroné.

C'est un an plus tard, avec le dernier des articles publiés lors de son annus mirabilis, qu'Einstein exprime ce qui deviendra son équation célèbre : « Si un corps perd une énergie L sous forme de rayonnement, sa masse diminue de L/c² ».

Dans ce texte, il produit une première démonstration pour le cas général de cette égalité, qui jusque-là n'avait été démontrée que dans des cas particuliers. Il en proposera par la suite deux autres, en 1934 et en 1946.

L'équation E = mc² fait toutefois partie des apports que certains contestent à Einstein dans le cadre de la controverse sur la paternité de la relativité. Celle-ci ne concerne que la relativité restreinte. La relativité générale, qui demanda dix ans de travaux supplémentaires à Einstein, ne lui fut guère contestée.

Illustrations

En mécanique newtonienne, l'énergie d'une particule isolée provient de sa vitesse et se manifeste sous forme d'énergie cinétique. Au contraire, d'une façon inattendue à l'époque de sa découverte, E = mc² exprime qu'une particule de masse m possède intrinsèquement une énergie E, même si elle est au repos. Elle stipule que la masse fait partie de l’énergie totale d'un corps, comme l'est l’énergie cinétique. L’énergie totale d’un corps devient donc la somme de son énergie cinétique et de son énergie de masse.

Cette équivalence entre masse et énergie ouvre un éventail de possibilités inconnues de la physique pré-relativiste. En relativité restreinte, la masse peut être « convertie » en chaleur, énergie cinétique ou autre forme d’énergie, au cours d'une réaction. En effet lorsque les particules d'un système donné subissent une transformation, par exemple lors d'une collision, la relativité restreinte impose que l'énergie totale (évaluée dans un certain système de coordonnées) se conserve. Mais comme l'énergie comprend la masse, il est tout à fait possible que « de la masse » apparaisse lors de la réaction (par exemple sous forme de particules) au détriment d'énergie ou que, au contraire, de l'énergie soit libérée par « consommation » de masse.

Numériquement, dans l'équation $E=mc^{2}$ et dans le Système international d'unités :

• E est l'énergie exprimée en joules ;
• m est la masse au repos en kilogrammes ;
• c est la vitesse de la lumière dans le vide, soit 299 792 458 m/s = 2,997 924 58 × 10⁸ m/s (environ 300 000 km/s), ce qui correspond à un facteur c² d'environ 9 × 10¹⁶ m² s⁻².

On peut vérifier expérimentalement que la racine carrée du rapport E/m est égale à c dans l'exemple suivant. Dans la désintégration du positronium, il y a création et émission de deux rayons gamma d'énergie (mesurée par rayon) 0,511 MeV = 0,818 6 × 10⁻¹³ J, en compensation de la disparition de deux masses d'électron.

La masse d'un électron étant de 9,11 × 10⁻³¹ kg, on trouve bien :

${\frac {E}{m}}={\frac {0,82\cdot 10^{-13}{\mbox{ J}}}{9,11\cdot 10^{-31}{\mbox{ kg}}}}=9,0\cdot 10^{16}\,{\text{m}}^{2}{\text{/s}}^{2}$

et donc :

${\sqrt {\frac {E}{m}}}=3,0\cdot 10^{8}\,{\text{m/s}}=c.$

Bilan masse-énergie dans le domaine nucléaire

La fameuse équation sur le pont de l'USS Enterprise lors de l'Opération Sea Orbit, dont tous les navires présents étaient propulsés grâce à l'énergie nucléaire.

La transformation de masse en énergie est nettement visible dans le bilan des réactions nucléaires au sein des centrales, des piles et des bombes atomiques. L'énergie correspondant à une masse de 1 kg de matière qui serait intégralement transformée en énergie est énorme : 9 × 10¹⁶ joules. Une telle énergie équivaudrait à celle produite par un réacteur nucléaire d'une puissance électrique de 1 400 MW pendant deux ans environ Toutefois, dans une réaction nucléaire, la matière impliquée n'est pas intégralement transformée en énergie, tant s'en faut.

Production d'énergie des étoiles

À l'échelle astronomique, la formule explique également comment les étoiles, comme le Soleil, peuvent émettre leur énergie pendant des milliards d'années, alors que cette situation constituait un mystère pour la physique du début du XX^e siècle, aucune source d'énergie connue à l'époque ne pouvant en rendre compte.

Au centre du Soleil, les conditions physiques sont telles que s'y produisent des réactions nucléaires capables, au bout d'une chaîne de processus, de transformer quatre noyaux d'hydrogène (quatre protons) et deux électrons, en un noyau d'hélium (⁴He) et deux neutrinos électroniques, plus des photons gamma : 4 p⁺ + 2 e^- → ⁴He⁺⁺ + 2 ν_e + 2 γ. Il se produit de l'ordre de 9,2 × 10³⁷ réactions élémentaires par seconde dégageant une énergie de 26,73 MeV chacune. Il se trouve que la masse au repos du noyau d'hélium est inférieure à la somme des masses au repos des deux protons et deux neutrons qui le constituent. L'énergie équivalente à cette différence de masse est la source de l'énergie du Soleil.

Grâce à l'importance du facteur de conversion c² et à la masse considérable convertie, l'énergie libérée permet à l'étoile de briller pendant une bonne douzaine de milliards d'années. En effet, le flux énergétique des photons émis par le Soleil est de 3,828 × 10²⁶ W, auquel s'ajoute celui des neutrinos de 8,8 × 10²⁴ W, soit un flux énergétique total de 3,916 × 10²⁶ W. Cela correspond à une perte de masse de 4,3 millions de tonnes par seconde, impliquant la transformation de quelque 620 millions de tonnes d'hydrogène en hélium chaque seconde, la perte de masse étant alors d'environ 0,7 % de la masse initialement en jeu.

Domaines d'application générale de la formule

Domaine moléculaire et atomique

Cette relation s'applique à d'autres domaines que le nucléaire. Par exemple en chimie, lorsque 1 000 moles d'hydrogène (soit en pratique 500 moles de dihydrogène, soit environ 1 kg) se combinent avec 500 moles d'oxygène (soit en pratique 250 moles de dioxygène, soit environ 8 kg) pour former 500 moles (soit environ 9 kg) de vapeur d'eau, environ 1,21 × 10⁸ joules d'énergie sont libérés (soit 121 MJ, sachant que l’enthalpie de réaction est de −242 kJ/mol). Cette énergie correspond à une perte de masse d'environ 1,35 × 10⁻⁹ kg, soit 1,35 microgramme, ce qui entraîne que la masse de l'eau formée est inférieure de cette quantité à la masse initiale de 9,008 kilogrammes des réactifs, soit une perte de masse relative de 0,15 ppb.

Le défaut de masse, de l'ordre du dixième de milliardième en valeur relative, est trop infime pour pouvoir être mis en évidence par des mesures expérimentales, qui arrivent au mieux à l'ordre du centième de millionième. C'est pour ça que l'on continue à utiliser sans inconvénient le « théorème classique » de la conservation de la masse dans les réactions chimiques et dans la vie courante.

Les mesures de spectrométrie de masse actuelles (2013) approchent cependant cette précision, et devraient permettre de visualiser directement l'équivalent de masse de l'énergie de liaison moléculaire, comme on le fait avec l'énergie de liaison nucléaire.

Un autre cas d'équivalence entre variation de masse et énergie est donné par le défaut de masse de l'atome le plus simple : la masse de l'atome d'hydrogène $_{1}^{1}{\mbox{H}}$ ^{[réf. nécessaire]} est inférieure à la somme des masses de l'électron et du proton d'une quantité juste égale à l'équivalent en masse de l'énergie d'ionisation de l'atome, bien que ce défaut soit tout à fait hors de portée de la mesure courante, puisqu'il vaut 13,6 eV = $\Delta m={\frac {13,6\times 1,60217653\cdot 10^{-19}\;{\text{J}}}{(2,99792458\cdot 10^{8}\;{\text{m/s}})^{2}}}\approx 2,4\cdot 10^{-35}\;{\text{kg}}$ ; c'est-à-dire un peu plus de quatorze milliardièmes (1,4 centième de millionième) des masses d'un proton et d'un électron libres.

Domaine gravitationnel

La masse d'un corps qui s'élève dans un champ de gravitation ne change pas du point de vue d'un observateur qui suit ce corps.

En revanche, la masse du système global, composé de l'ensemble des masses à l'origine du champ de gravitation, elle, est susceptible d'augmenter :

• elle augmentera d'une quantité équivalente à l'énergie potentielle acquise par l'objet si cette énergie vient de l'extérieur du système ;
• dans le cas contraire, elle n'augmentera pas car l'augmentation de l'énergie potentielle de l'objet sera compensée par la diminution d'une autre source d'énergie intérieure au système (cinétique, ou chimique ou autre).

Dans des systèmes gravitationnels ordinaires, la quantité d'énergie diffusée sous forme d'ondes gravitationnelles est négligeable. En revanche, dans les fusions de trous noirs, elle peut devenir considérable. Dans le cas de l'évènement GW150914 découvert en 2015, son équivalent était d'environ trois masses solaires pour une masse initiale du système (juste avant fusion) de plus de 60 masses solaires.

Une chute d'eau (ou toute chute d'un corps massif dans le potentiel gravitationnel) peut être considérée comme une « réaction gravitationnelle » : elle émet l'énergie du potentiel gravitationnel de la masse d'eau à l'altitude plus élevée à celle plus basse. La masse de l'eau qui a chuté a aussi décru de l'équivalent de masse de l'énergie émise (ainsi que la masse de l'ensemble Terre + eau) ; qui a été apportée essentiellement par le rayonnement solaire. Une centrale hydroélectrique récupère cette énergie libérée, qui peut être évaluée par la formule d'équivalence comme dans le cas d'une centrale nucléaire.

La chute d'un corps massif dans le potentiel gravitationnel terrestre dégage une énergie qui est une fraction (d'environ) un milliardième de l'énergie de masse initiale du corps (avec une vitesse de libération terrestre de 11,2 km/s). Les objets sur Terre sont liés (à la Terre) avec cette fraction de masse. Mais par exemple, une chute sur une étoile à neutrons (avec une vitesse de libération d'environ 200 000 km/s) dégage environ 25 % de l'énergie de masse initiale du corps chutant. Théoriquement, la chute d'un corps massif sur un trou noir (avec une vitesse de libération égale à la vitesse de la lumière) pourrait dégager l'intégralité de l'énergie de masse de l'objet chutant, avec un arrêt à l'horizon du trou noir. Mais cet arrêt est impossible, l'énergie dégagée est une fraction de l'énergie de masse du corps chutant, selon les forces de marée agissant sur lui.

Cette variation de masse pourrait être théoriquement mise en évidence par une expérience de Cavendish, ou bien d'une pesée, d'un corps ayant participé à la chute, avec ces niveaux de précision.

Formulation générale

Si la formule E = mc² concerne une particule au repos, c'est-à-dire une particule dont la vitesse est nulle dans le référentiel choisi, que devient cette expression dans un autre référentiel, avec une particule animée d'une vitesse v ?

Alors que la géométrie euclidienne raisonne sur des points repérés dans l'espace par trois coordonnées, la relativité restreinte raisonne sur des événements repérés dans l'espace-temps par quatre coordonnées, une de temps et trois d'espace. De même que la distance euclidienne entre deux points est invariante par changement de repère, de même la théorie relativiste stipule que le carré de l'intervalle d'espace-temps Δs défini par :

$\Delta s^{2}\ =\,c^{2}\Delta \tau ^{2}=c^{2}\Delta t^{2}-\Delta l^{2},$

où Δt représente l'intervalle de temps entre les deux événements et Δl la distance, est invariant par changement de repère. Autrement dit quand on mesure les coordonnées des mêmes événements dans plusieurs repères (t, x, y, z), (t', x', y', z'), (t", x", y", z") différents respectant pour le passage de l'un à l'autre la transformation de Lorentz, la quantité suivante ne change pas de valeur :

$\Delta s^{2}\ =\,c^{2}\Delta \tau ^{2}=c^{2}\Delta t^{2}-\Delta l^{2}=c^{2}\Delta t'^{2}-\Delta l'^{2}=c^{2}\Delta t''^{2}-\Delta l''^{2}=\cdots$

Alors que la mécanique newtonienne considère d'une part l'énergie et d'autre part la quantité de mouvement d'un corps en mouvement, la relativité unifie ces deux concepts dans un objet unique : le quadrivecteur énergie-impulsion. Ce vecteur à quatre dimensions a pour composante temporelle l'énergie E/c de la particule et pour composante spatiale son vecteur impulsion (ou quantité de mouvement) ${\vec {p}}$ à trois dimensions. Comme il est le pendant du vecteur impulsion mv de la mécanique classique (produit de la masse par la vitesse) il est égal à m u où u est maintenant le quadrivecteur vitesse.

De même que le carré de l'intervalle d'espace-temps était invariant par changement de coordonnées, de même l'est le carré de la norme du quadrivecteur énergie-impulsion. Autrement dit la quantité :

$\,(E/c)^{2}-p^{2}$

est indépendante du repère dans lequel on l'évalue. Mais séparément, l'énergie et l'impulsion en dépendent.

Dans le repère propre de la particule, celui où elle est au repos, la vitesse, et donc l'impulsion, est nulle. Si on note E₀ l'énergie dans ce repère propre l'invariance de la quantité précédente s'écrit :

$\,(E/c)^{2}-p^{2}=(E_{0}/c)^{2}-0\equiv (E_{0}/c)^{2}.$

La valeur de E₀ nous est donnée par le fameux mc² de sorte que l'on aboutit à l'équation capitale suivante :

$E^{2}/c^{2}-p^{2}\,=\,(mc)^{2}$

ou encore :

$E^{2}-p^{2}c^{2}\,=\,m^{2}c^{4}.$

La théorie montre que dans un repère où la vitesse de la particule est v, l'énergie et la quantité de mouvement sont données par les formules :

$\,E=\gamma \,mc^{2}\equiv mc^{2}/{\sqrt {1-(v^{2}/c^{2})}}$

$\,p=\gamma \,mv\equiv mv/{\sqrt {1-(v^{2}/c^{2})}}$

où $\gamma$ représente le facteur de Lorentz :

$\,\gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}.$

On vérifie que $E^{2}-p^{2}c^{2}=m^{2}c^{4}$ et on déduit de ces formules la relation importante entre énergie et impulsion :

$p=(v/c)(E/c).$

Cas d'une particule de masse nulle

Le cas d'une particule de masse nulle découle des formules précédentes, et notamment de :

$\,p=(v/c)(E/c).$

Si une particule a une masse nulle, son énergie est :

$E=pc$

Et par conséquent v = c.

Réciproquement, si une particule a une vitesse égale à c son énergie est $E=pc$. En conséquence, sa masse est nulle puisqu'elle est donnée par la formule :

$m^{2}c^{4}=E^{2}-p^{2}c^{2}=0.$

Démontrer expérimentalement qu'une particule a une masse strictement nulle est impossible, mais on peut en revanche lui fixer au moins une limite supérieure. Les particules suivantes ont une masse nulle dans le modèle standard : le photon (quantum d'électromagnétisme et donc entre autres de lumière), le gluon (particule transmettant l'interaction forte) et le graviton (particule transmettant la gravité, non observé, mais dont la relativité générale prédit la masse nulle). Les neutrinos ont longtemps été candidats à cette liste, avant la mise en évidence de l'oscillation des neutrinos.

Cas des tachyons

Quelques physiciens ont envisagé, formellement, le cas de particules qui se déplaceraient plus vite que la lumière. Pour que l'énergie totale soit un nombre positif, on trouve alors comme masse au repos un nombre imaginaire pur. Ce n'est pas une contradiction parce que le tachyon ne serait jamais censé être au repos.

Toutefois, la plupart des physiciens estiment que l'existence de telles particules créerait de tels paradoxes qu'elle est simplement impossible.

Unités

Énergie en unités de masse

Les formules utilisées ci-dessus sont écrites en unités conventionnelles. Mais il peut être commode d'utiliser des unités mieux adaptées à l'espace-temps, en exprimant en particulier une énergie en kilogrammes, autrement dit en prenant comme unité d'énergie l'énergie d'un kilogramme de matière.

D'après la formule :

E (joules) = m (kilogrammes)×[c (m/s)]²,

l'énergie équivalente à la masse d'un kilogramme est :

énergie d'un kilogramme (en joules) = [c (m/s)]².

Par conséquent l'énergie en unités de masse sera :

E (en unités de masse) ≡ E (en kilogrammes) = E (en joules)/(énergie d'un kilogramme en joules) ≡ E (en joules)/[c (m/s)]².

On peut donc écrire :

$\,E_{\text{(kg)}}=E_{\text{(J)}}/c^{2}$

et en sens inverse :

$\,E_{\text{(J)}}=E_{\text{(kg)}}\ c^{2}.$

Numériquement :

1 kg = 8,988 × 10¹⁶ J = 24,967 TWh

1 J = 1,113 × 10⁻¹⁷ kg

1 TWh = 0,04 kg

ou dans le système CGS utilisé par habitude en astronomie :

1 g = 8,988 × 10²⁰ erg = 24,967 GWh

1 erg = 1,113 × 10⁻²¹ g

1 GWh = 0,04 g.

De la même façon, la réunion du temps et de l'espace en une seule entité invite le physicien à utiliser une même unité, la seconde ou le mètre, pour mesurer les longueurs et les temps.

On a les formules de passage suivantes :

$d_{\rm {(s)}}={\frac {d_{\rm {(m)}}}{c_{\rm {(m.s^{-1})}}}}$

$d_{\rm {(m)}}=c\times d_{\rm {(s)}},$

où d_(s) est le temps mis par la lumière pour parcourir d_(m).

On écrit à l'identique :

$t_{\rm {(m)}}=c\times t_{\rm {(s)}},$

$t_{\rm {(s)}}={\frac {t_{\rm {(m)}}}{c_{\rm {(m.s^{-1})}}}}$

où t_(m) est la distance parcourue par la lumière en t_(s).

L'utilisation d'une unité commune, disons la seconde, pour mesurer distance et temps est riche d'enseignement dans le contexte présent. En effet grâce à ce choix, la vitesse v, rapport d'une distance à un temps, devient sans dimension. Par conséquent l'énergie cinétique newtonienne K = (1/2)mv² prend les dimensions d'une masse, ce qui revient à dire qu'on peut exprimer une énergie en unités de masse. On retrouve donc de façon simple, et néanmoins convenable, l'équivalence entre énergie et masse.

Ainsi, si l'énergie E est exprimée en unités de masse (par exemple en kilogrammes) la formule d'Einstein devient :

$\,E_{\rm {kg}}=m_{\rm {kg}}$

ou plus simplement :

$\,E=m.$

En fait, en utilisant des unités relativistes, le facteur c disparaît de toutes les formules. Ainsi, la formule donnant l'invariant du vecteur énergie-impulsion s'écrit maintenant :

$E_{\rm {rel}}^{2}-p_{\rm {rel}}^{2}=m^{2},$

où E_rel et p_rel sont exprimés en unités relativistes (c'est-à-dire en kilogrammes).

De même, il est agréable d'écrire le carré du temps propre sous la forme homogène et symétrique :

$\Delta \tau ^{2}=\Delta t^{2}-\Delta s^{2}$

sans avoir à traîner des facteurs c.

Masse en électron-volt

En sens inverse il est très courant en physique atomique de mesurer une masse en unités d'énergie. Ainsi la masse d'une particule est souvent donnée en électron-volt.

La fameuse équation sur le gratte-ciel Taipei 101 en l'honneur de l'année de la physique 2005.

Un électron-volt vaut 1,602 176 53 × 10⁻¹⁹ joule, énergie à laquelle correspond la masse 1 eV/c², soit 1,783 × 10⁻³⁶ kg.

On a donc les formules de passage :

$\,1{\text{ eV}}=1,783\times 10^{-36}\,{\text{kg}}$ ;

$\,1{\text{ kg}}=5,610\times 10^{35}\,{\text{eV}}.$

Puisque le nombre sans dimensions qui mesure une certaine grandeur est par définition le rapport entre la grandeur à mesurer et la grandeur choisie pour unité, ce nombre est inversement proportionnel à la valeur de l'unité choisie (si l'unité choisie est plus grande, le nombre qui mesurera la grandeur est lui plus petit).

Ici on a donc :

m (en eV) / m (en kg) = 1 kg / 1 eV,

de sorte que l'on peut écrire :

$\,m_{\text{(eV)}}=5,610\times 10^{35}\,m_{\text{(kg)}}$ ;

$\,m_{\text{(kg)}}=1,783\times 10^{-36}\,m_{\text{(eV)}}.$

Rappelons les multiples usuels :

1 keV = 10³ eV ;

1 MeV = 10⁶ eV ;

1 GeV = 10⁹ eV ;

1 TeV = 10¹² eV.

Par exemple, la masse de l'électron est de 511 keV, celle du proton de 938 MeV et celle du neutron est de 940 MeV.

Énergie cinétique d'une particule

L'énergie totale d'une particule isolée (qui dépend, rappelons-le, du repère choisi) peut s'écrire comme la somme de son énergie au repos mc² et de son énergie cinétique K.

On a donc :

$E=mc^{2}/{\sqrt {1-(v^{2}/c^{2})}}=mc^{2}+K.$

L'énergie cinétique devient :

$\,K\,=E-mc^{2}\,=\,mc^{2}\left({\frac {1}{\sqrt {1-(v^{2}/c^{2})}}}-1\right).$

En utilisant un développement en série entière de cette fonction :

$E={\frac {mc^{2}}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}=mc^{2}+{\frac {1}{2}}mv^{2}+{\frac {3}{8}}{\frac {mv^{4}}{c^{2}}}+\cdots +mc^{2}{\frac {(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}{\frac {v^{2n}}{c^{2n}}}+\cdots$

On retrouve bien l'énergie au repos contenue dans la masse (v = 0) :

$E=mc^{2}$

Ainsi que l'approximation de l'énergie cinétique pour les faibles vitesses (v << c) :

$K={\frac {1}{2}}mv^{2}$

Pour les vitesses très proches de celle de la lumière, l'énergie au repos de la particule s'avère négligeable devant l'énergie cinétique :

Lorsque $\beta \simeq 1$, on peut écrire :

$1-\beta ^{2}=(1+\beta )(1-\beta )\simeq 2(1-\beta )$

L'énergie totale devient ainsi :

$E_{\rm {(t)}}\simeq K={\frac {mc^{2}}{\sqrt {2(1-\beta )}}}\equiv {\frac {mc^{2}}{\sqrt {2[1-(v/c)]}}}.$

[pertinence contestée]

Validité générale de la formule

En notant m₀ la masse de la particule et E₀ son énergie (équivalente) au repos, l'équation d'Einstein s'écrit :

$E_{0}=m_{0}c^{2}$

On introduit alors la quantité :

$m=\gamma m_{0}$

qui n'est plus la masse m₀, mais qui, mesurant l'inertie de la particule dans le repère considéré où elle a cette vitesse v, indique sa masse inerte dans ce repère.

Dans ces conditions, la formule écrite plus haut « E=γm₀c² » donnant l'énergie de la particule prend la même forme :

$E=mc^{2}$

l'expression étant alors valable même dans le cas où le corps n'est pas au repos.

Note

Il peut alors y avoir confusion avec la notation classique de « E = mc² », qui se réfère en fait à la masse au repos, qui est m₀ (notée communément m). On peut remarquer en effet que la masse au repos, notée ici m₀, possède une signification physique indépendante du repère choisi car son carré est l'invariant du vecteur énergie-impulsion (en unités relativistes).

Mais bien que cette propriété majeure ne soit pas partagée par la masse inerte m, qui dépend du repère choisi comme l'énergie cinétique et son équivalent de masse (qui est la différence entre m et m₀), la masse inerte m est précisément la masse (totale) du corps considéré dans le système considéré.

Pour preuve, les particules accélérées augmentent leur masse (γm₀), ce qui modifie réellement leur trajectoire (ou les moyens de les maintenir sur leur trajectoire, ce qui est équivalent) dans le repère de l'accélérateur (au repos). On a donc affaire à une véritable grandeur physique qui, bien que relative, montre la validité générale de l'équivalence masse-énergie (qui est en fait toujours vérifiée).

Notes et références

Voir aussi

Bibliographie

 : document utilisé comme source pour la rédaction de cet article.

• (en) David Bodanis (en), E=mc2: A Biography of the World's Most Famous Equation, Doubleday Canada (en), 2000, 337 p.
• [Damour 2005] Thibault Damour, « Relativité générale », dans Alain Aspect, François Bouchet, Éric Brunet et al. (avant-propos de Michèle Leduc et Michel Le Bellac), Einstein aujourd'hui, Les Ulis et Paris, EDP Sciences et CNRS, coll. « Savoirs actuels / Physique », janvier 2005, 1^re éd., VIII-417 p., ill. et portr., 24 cm (ISBN 2-86883-768-9 et 2-271-06311-6, EAN 9782868837684, OCLC 61336564, BNF 39916190, SUDOC 083929657, présentation en ligne, lire en ligne), chap. 6, p. 267-319. 
• [Diu et Leclercq 2005] Bernard Diu et Bénédicte Leclercq, La physique mot à mot, Paris, O. Jacob, coll. « Sciences », février 2005, 1^re éd., 721 p., ill., 24 cm (ISBN 2-7381-1578-0, EAN 9782738115782, OCLC 300488981, BNF 39927635, SUDOC 08469470X, présentation en ligne, lire en ligne). 
• [Fink, Le Bellac et Leduc 2016] Mathias Fink, Michel Le Bellac et Michèle Leduc, Le temps : mesurable, réversible, insaisissable ? : hommage à Roger Maynard, Les Ulis, EDP Sciences, coll. « Une introduction à », mai 2016, 1^re éd., VIII-179 p., ill. et fig., 24 cm (ISBN 978-2-7598-1911-9, EAN 9782759819119, OCLC 951169227, BNF 45006463, SUDOC 19331732X, présentation en ligne, lire en ligne). 
• [Pecker 2003] Jean-Claude Pecker, L'Univers exploré, peu à peu expliqué, Paris, O. Jacob, coll. « Sciences », mai 2003, 1^re éd., 1 vol., 335, ill., 15,5 × 24 cm (ISBN 2-7381-1188-2, EAN 9782738111883, OCLC 402244445, BNF 39002977, SUDOC 07139088X, présentation en ligne, lire en ligne). 
• [Rindler 2006] (en) Wolfgang Rindler, Relativity : special, general, and cosmological [« Relativité : spéciale, général, et cosmologique »], Oxford, OUP, hors coll., avril 2006, 2^e éd. (1^re éd. août 2001), XV-430 p., ill., 15,6 × 23,4 cm (ISBN 978-0-19-856731-8 et 978-0-19-856732-5, EAN 9780198567318, OCLC 493082435, SUDOC 110019776, présentation en ligne, lire en ligne). 
• [Taillet, Villain et Febvre 2018] Richard Taillet, Loïc Villain et Pascal Febvre, Dictionnaire de physique, Louvain-la-Neuve, De Boeck Supérieur, hors coll., janvier 2018, 4^e éd. (1^re éd. mai 2008), X-956 p., ill., fig. et graph., 17 × 24 cm (ISBN 978-2-8073-0744-5, EAN 9782807307445, OCLC 1022951339, BNF 45646901, SUDOC 224228161, présentation en ligne, lire en ligne). 

Publications originales

• [De Pretto 1903] (it) Olinto De Pretto, « Ipotesi dell'etere nella vita dell'universo », Atte del Reale Istituto Veneto di Scienze, Lettere ed Arti, vol. LXIII, n^o II,‎ 1903, p. 439-500 (lire en ligne) (accepté le 23 novembre 1903 et publié le 27 février 1904).
• [Einstein 1905] (de) Albert Einstein, « Ist die Trägheit eines Körpers von seinem Energieinhalt abhängig? » [« L'inertie d'un corps dépend-elle de son contenu en énergie ? »], Annalen der Physik, vol. 323, n^o 13,‎ 1905, p. 639-641 (DOI 10.1002/andp.19053231314, Bibcode 1905AnP...323..639E, résumé, lire en ligne [PDF])
  L'article a été reçu le 27 septembre 1905.
  Réimpression du centenaire :
  (de) Albert Einstein, « Ist die Trägheit eines Körpers von seinem Energieinhalt abhängig? », Annalen der Physik, vol. 517 (sér. 8, vol. 14), n^o S1,‎ février 2005, p. 225-228 (DOI 10.1002/andp.200590007, Bibcode 2005AnP...517S.225E, résumé).
  Traduction en anglais :
  (en) Albert Einstein (trad. de l'allemand par Anna Beck, avec la collaboration de Peter Havas), « Does the inertia of a body depend upon its energy content? », dans John Stachel (éd.), David C. Cassidy, Jürgen Renn et Robert Schulmann (éd. ass.), The collected papers of Albert Einstein, vol. 2 : The Swiss years : writings, 1900-1909, Princeton, Princeton University Press, 1989, 1^re éd., XIV-399 p., 26 cm (ISBN 0-691-08549-8, OCLC 496394595, SUDOC 073968544, présentation en ligne, lire en ligne), doc. 24, p. 172-174 (lire en ligne).
• [Hasenöhrl 1904] (de) Fritz Hasenöhrl, « Zur Theorie der Strahlung in bewegten Körpern », Annalen der Physik, 4^e série, vol. 320, n^o 12,‎ 1904, p. 344-370 (OCLC 5155316564, DOI 10.1002/andp.19043201206, Bibcode 1904AnP...320..344H).
• [Hasenöhrl 1905] (de) Fritz Hasenöhrl, « Zur Theorie der Strahlung in bewegten Körpern : Berichtigung », Annalen der Physik, 4^e série, vol. 321, n^o 3,‎ 1905, p. 589-592 (OCLC 5155318087, DOI 10.1002/andp.19053210312, Bibcode 1905AnP...321..589H).
• [Poincaré 1900] Henri Poincaré, « La théorie de Lorentz et le principe de réaction », Archives néerlandaises des sciences exactes et naturelles (es), vol. 5,‎ 1900, p. 252-278 (OCLC 1027030107).
• [Thomson 1881] (en) Joseph John Thomson, « On the electric and magnetic effects produced by the motion of electrified bodies », The London, Edinburgh, and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science, 5^e série, vol. 11, n^o 68,‎ avril 1881, p. 229-249 (OCLC 4804948519, DOI 10.1080/14786448108627008).

Historique

• [Bizouard 2004] Christian Bizouard, « E = mc² : l'équation de Poincaré, Einstein et Planck » (texte issu de l'après-midi scientifique organisée par l'Association Henri-Poincaré, le 7 octobre 2004 à l'École nationale supérieure des mines de Paris, à l’occasion du cent cinquantenaire de la naissance d'Henri Poincaré et du centenaire du principe de relativité), Sciences, Association française pour l'avancement des sciences, n^o 2004-4 « Henri Poincaré et la physique »,‎ 2004, p. 35-39, article n^o 4 (lire en ligne).
• [Marguet 2013] Serge Marguet (préf. de Laurent Stricker), La physique des réacteurs nucléaires, Paris, Tec & Doc – Lavoisier, coll. « EDF R&D », octobre 2013, 2^e éd. (1^re éd. avr. 2011), XXVI-1317 p., ill., graph. et tabl., 15,5 × 24 cm (ISBN 978-2-7430-1540-4, EAN 9782743015404, OCLC 864752113, BNF 43739958, SUDOC 174785089, présentation en ligne, lire en ligne). 
• [Whittaker 1989] (en) Sir Edmund T. Whittaker, A history of the theories of aether and electricity [« Une histoire des théories de l'éther et de l'électricité »], t. II : The modern theories : 1900-1926 [« Les théories modernes : 1900-1926 »], Mineola et New York, Dover, coll. « Dover classics of science and mathematics », janvier 1989 (réimpr. mai 2017), 1^re éd., 319 p., ill., 15,2 × 22,9 cm (ISBN 0-486-26126-3, EAN 9780486261263, OCLC 493412847, BNF 37353915, SUDOC 121257797, présentation en ligne, lire en ligne).

Ouvrages de vulgarisation scientifique

• [Cox et Forshaw 2012] Brian Cox et Jeff Forshaw (trad. de l'anglais par Guy Chouraqui), Pourquoi E = mc² ? : et comment ça marche [« Why does E=mc²? »], Paris, Dunod, coll. « Quai des sciences », avril 2012, 1^re éd., XII-206 p., ill., 15,5 × 24 cm (ISBN 978-2-10-057564-0, EAN 9782100575640, OCLC 798386654, BNF 42661962, SUDOC 160848504, présentation en ligne, lire en ligne).
• [Fritzsch 1998] Harald Fritzsch (trad. de l'allemand par Annie Brignone), E = mc² : une formule change le monde [« Eine Formel verändert die Welt »], Paris, O. Jacob, coll. « Sciences », août 1998, 1^re éd., 301 p., ill., 14,5 × 22 cm (ISBN 2-7381-0551-3, EAN 9782738105516, OCLC 40136235, BNF 36711520, SUDOC 004488105, présentation en ligne, lire en ligne).
• [Galfard 2017] Christophe Galfard (trad. de l'anglais par Eva Roques et l'auteur), E = mc² : l'équation de tous les possibles, Paris, Flammarion, hors coll., 2017, 1^re éd., 133 p., ill., 11,7 × 18,6 cm (ISBN 978-2-0814-0851-7, EAN 9782081408517, OCLC 992973735, BNF 45304334, SUDOC 202970116, présentation en ligne, lire en ligne).

Articles connexes

• Théorie de la relativité
• Invariance de Lorentz
• Facteur de Lorentz

Liens externes

• Notices d'autorité :

  • BnF (données)
  • IdRef
• Ressource relative à la recherche :
  • Stanford Encyclopedia of Philosophy
• Notices dans des dictionnaires ou encyclopédies généralistes :

  • Britannica
  • Internetowa encyklopedia PWN
• [Paturel 2012] Georges Paturel, « Démonstration de la célèbre relation E = mc² », Petite encyclopédie astronomique, Comité de liaison enseignants et astronomes, décembre 2012.
• [Clef CEA 2020] Clefs CEA, « E = mc² » [vidéo], Les équations Clefs de la Physique, n^o 1, janvier 2020.