Vecteur de Poynting

vecteur de densité surfacique de la puissance transportée par le champ électrique et le champ magnétique

En physique, le vecteur de Poynting est la densité de flux liée à la propagation de l'onde électromagnétique. Sa direction est la direction de propagation. On le note , , ou .

Vecteur de Poynting
Description de cette image, également commentée ci-après
Produit vectoriel du champ électrique V par le champ magnétique B.
Unités SI watt par mètre carré (W m−2)
Dimension M·T −3
Nature Grandeur vectorielle intensive
Symbole usuel , , ou
Lien à d'autres grandeurs

=

Le flux du vecteur de Poynting à travers une surface (fermée ou non) est égal à la puissance véhiculée par l'onde à travers cette surface. Le module de ce vecteur est donc une puissance par unité de surface, c'est-à-dire une densité de flux d'énergie ; il est homogène à un éclairement énergétique[1],[2] et à une exitance énergétique[1],[3] ; et, dans le Système international (SI) d'unités, il s'exprime en watts par mètre carré[4],[1].

Histoire

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L'éponyme du vecteur de Poynting est le physicien anglais John Henry Poynting (-) qui l'a introduit en [5],[6],[7]. Oliver Heaviside (-) l'a découvert quelques mois plus tard et de manière indépendante[5],[6],[8].

Définition

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Le Vocabulaire électrotechnique international (VEI) définit le vecteur de Poynting   comme le produit vectoriel du champ électrique   par le champ magnétique   du champ électromagnétique en un point donné[9] :

 [9].

L'expression ci-dessus est connue comme la forme d'Abraham[10],[11].

Dans le vide, le champ magnétique   est en tout point égal au quotient de l'induction magnétique   par la constante magnétique  [12] :

 [12],

de sorte que, dans le vide, la définition précédente du vecteur de Poynting est équivalente à[13] :

 .

Par définition du produit vectoriel[14], le vecteur de Poynting est un vecteur axial, orthogonal aux deux vecteurs   et  , tel que les trois vecteurs  ,   et   forment un trièdre direct ou un trièdre rétrograde selon l'orientation de l'espace ; et la norme du vecteur de Poynting est égale au produit des normes des deux vecteurs et du sinus de leur angle :

 .

Expression générale du vecteur de Poynting

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Soient   et   le champ électrique et le champ magnétique. La conservation de l'énergie électromagnétique à travers une surface s'exprime, dans sa forme locale (souvent appelée théorème de Poynting), comme une équation de conservation :

 

avec   le temps,   la densité volumique d'énergie du champ électromagnétique,   le flux d'énergie surfacique sortant, et   le terme source : la densité volumique d'énergie gagnée   ou perdue.

À partir des équations de Maxwell dans le vide, on tire l'expression du vecteur de Poynting dans le vide :

 

μ0 est la perméabilité du vide.

Dans un matériau linéaire, de perméabilité magnétique μ et dans lequel on peut négliger la dispersion et les pertes, il convient de prendre en compte l'excitation magnétique   définie par la relation  . On obtient alors une expression plus générale du vecteur de Poynting[15] :

 .

Dans un milieu linéaire dispersif avec pertes, on conserve l'expression du vecteur de Poynting  , mais le théorème de Poynting ne s'exprime plus avec   et comporte des termes supplémentaires de dissipation[16].

Moyenne temporelle en notation complexe

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Un circuit de courant continu constitué d'une batterie (V) et d'une résistance (R) indiquant la direction du vecteur de Poynting (S, bleu) dans l'espace qui l'entoure, ainsi que les champs desquels il est dérivé : le champ électrique (E, rouge) et le champ magnétique (H, vert). Dans la région autour de la batterie le vecteur Poynting est dirigé vers l'extérieur, ce qui indique la puissance sortant de la batterie dans les champs; dans la région autour de la résistance le vecteur est dirigé vers l'intérieur, ce qui indique la puissance de champ circulant dans la résistance. À travers n'importe quel plan P, entre la batterie et la résistance, le flux de Poynting est dans le sens de la résistance.

Dans le cas d'une onde électromagnétique plane progressive harmonique, on a

 

et

 

On peut donc associer des grandeurs complexes aux champs   et   en posant (avec   le nombre complexe tel que  ) :

 

et

 .

La moyenne temporelle du vecteur de Poynting vaut alors :

 

  désigne le conjugué de  


Lien avec l'approche énergétique de la propagation d'un faisceau

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La moyenne temporelle du flux de Poynting est reliée à la luminance   d'un faisceau se propageant dans la direction  . Cette luminance est donnée par :

 

  est la distribution de Dirac.

On vérifie que le premier moment de   qui représente la densité de flux   retrouve le flux de Poynting :

 

Puissance électromagnétique traversant une surface

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Une conséquence du théorème de Poynting est que la puissance électromagnétique traversant une surface S est donnée par le flux du vecteur de Poynting à travers cette surface.

 

Équation de l'énergie d'un champ électromagnétique

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Soit   l'énergie du champ électromagnétique :

 

avec W densité volumique d'énergie (quantité d'énergie par unité de volume)

On définit la quantité d'énergie quittant un volume   pendant un temps    :

 

Soit  , vecteur flux d'énergie du champ. D'après le théorème de Green-Ostrogradsky (Théorème de flux-divergence), on peut dire que le flux sortant du volume V est :

 

avec   un vecteur unitaire normal à la surface   du volume V, orienté de l'intérieur vers l'extérieur.

On peut expliciter la perte d'énergie du volume de la manière suivante :

  • pertes dues aux « frottements » des charges mobiles (voir loi Ohm locale, effet Joule) ;
  • pertes dues au rayonnement électromagnétique sortant du volume.

On peut donc dire que :

  + travail fourni par le champ à la matière

On calcule ce travail :

 .

Pour une particule :

  (on observe facilement que la force magnétique ne travaille pas).

On calcule maintenant la puissance fournie par le champ. La puissance reçue par une particule est :

 

La densité particulaire est notée  , en conséquence :

  or  

donc  

Cette perte de puissance est égale à la perte d'énergie du champ par unité de temps et de volume donc on écrit finalement :

 

Donc finalement on a :

 

qui correspond à l'équation de l'énergie du champ électromagnétique.

Notes et références

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  1. a b et c Dubesset 2000, s.v. watt par mètre carré, p. 124.
  2. Dubesset 2000, s.v. éclairement énergétique, p. 60.
  3. Dubesset 2000, s.v. exitance énergétique, p. 64.
  4. Dubesset 2000, s.v. vecteur de Poynting, p. 121.
  5. a et b Taillet, Villain et Febvre 2018, s.v. vecteur de Poynting, p. 770, col. 1.
  6. a et b Andrade Martins 2005, § 8, p. 31.
  7. Poynting 1884.
  8. Heaviside 1885.
  9. a et b VEI, s.v. vecteur de Poynting.
  10. Kinsler, Favaro et McCall 2009, III, p. 1, col. 1.
  11. Rabinowitz 2015, 2.1, p. 1244.
  12. a et b VEI, s.v. champ magnétique, excitation magnétique, n. 1.
  13. Picon et Poulichet 2010, partie A, chap. 3, sec. 3.3, § 3.3.1, p. 35 (3.9).
  14. VEI, s.v. produit vectoriel.
  15. (en) John David Jackson, Classical electrodynamics 3rd edition, John Wiley & Sons, , page 259
  16. Classical electrodynamics 3rd edition, J.D. Jackson, page 264 (pages 275-277 dans l'édition française)

Voir aussi

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Bibliographie

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Article connexe

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Liens externes

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