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Myloufa (discuter) 22 octobre 2024 à 00:06 (CEST)

Bourbaki et la théorie des ensembles

Bonjour, MacJestre ; je continue chez vous la discussion amorcée là-bas, le rôle des pages de discussion n’étant pas d’échanger des opinions, si pertinentes soient-elles ; je ne vais évidemment pas vous reprocher les vôtres, mon amour personnel pour Bourbaki (que j’ai découvert à 16 ans, l’été 1964) ne s’étant jamais démenti. Mais ce n’est pas pour la théorie des ensembles comme fondements (et qu’il est dommage que Grothendieck n’ait pas réussi à les convertir à la théorie des catégories) qu’il est le plus admirable, et vous le trouverez surtout cité dans de nombreux articles plus généraux, comme Structure (mathématiques) (une liste complète peut être obtenue en cherchant Bourbaki par la page de recherche à ce nom). Cordialement, Dfeldmann (discuter) 23 octobre 2024 à 09:05 (CEST)

Bonjour,

Je vous remercie infiniment (le terme n'est pas trop fort) de me consacrer de votre temps ; et ce, malgré l'agressivité que j'ai pu montrer lorsque j'ai évoqué une possible censure. J'en suis encore aujourd'hui bien ennuyé ; je ne suis pas fier de moi.

Je dois avoué que lorsque j'ai découvert le Livre E du Traité de Mathématiques de N. Bourbaki (en 1974 ou 75), j'ai bien cru qu'on tenait là un couple "théorie des ensembles et logique associée" qui pouvait servir de base aux développements mathématiques ultérieurs jusqu'à ce que soit trouvé de nouveaux besoins (par exemple issus de la physique, de l'astronomie, de l'informatique, ...) ; même si cette théorie possède des axiomes et notions qui n'intéressent pas tous les développements (j'ai probablement une vision trop simpliste/globale des choses).

De plus, dans mon esprit, cette Théorie des ensembles devaient pouvoir servir de base à la Théorie des catégories que je pensais plus facile à utiliser (que la Théorie des ensembles) pour réaliser certains développements mathématiques (comme en informatique, un programmeur peut utiliser une API (Application Programming Interface) pour accéder à des ressources de plus bas niveau ; par exemple à des ressources d'un Système d'Exploitation). J'avais probablement tort, puisque Grothendieck n'a pas réussi la conversion dont vous avez parlée.

Ceci dit, il y a un autre Livre du Traité qui m'a beaucoup plu. Il s'agit du TG (Topologie Générale).

Je termine en vous disant que j'apprécie énormément votre attention et votre gentillesse.

Très cordialement, MacJestre (discuter) 23 octobre 2024 à 18:28 (CEST)

Réponses à vos questions

Bonjour, MacJestre ; je vais essayer de clarifier tout cela ici (chez moi, c’est un peu encombré) ; je pense qu’une partie de vos difficultés vient de ce que vous ne faites pas une claire distinction entre plusieurs (au moins trois) niveaux de discours mathématique, par exemple vous « mélangez » des choses comme « tout réel a un carré positif », « $\forall x\in \mathbb {R} ,x^{2}\geq 0$ », et « une formule de PA n’ayant qu’un quantificateur universel qui est indécidable dans PA est nécessairement vraie ». Dans mes prochains messages, vous verrez qu’une bonne partie de vos questions a pour réponse une séparation claire de ces différents niveaux, et en particulier des différents sens du mot « choix » dans ce contexte. Cordialement, Dfeldmann (discuter) 22 novembre 2024 à 07:10 (CET)

Thème 1 (logique associée à une théorie mathématique)

Pour référence, revoici tes questions (je passe au tutoiement ; signale-moi si cela ne te convient pas) :

Question n° 1.1. Dans mon esprit, toute théorie mathématique devrait être associée explicitement ou implicitement à une logique. Correct ?

Question n° 1.2. Dans mon esprit, la théorie des ensembles telle que décrite dans le Livre E du Traité « Éléments de mathématique » de N. Bourkaki, est associée à la logique correspondant à la mathématique formelle également décrite dans ce Livre. Correct ?

Question n° 1.3. La théorie des ensembles ZFC est-elle associée à une logique ? (Le calcul des prédicats ?)

Question n° 1.4. La théorie des ensembles ZF est-elle associée à une logique ? (Le calcul des prédicats ?)

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Q1.1 : Cela dépend énormément du sens des mots. Chez Bourbaki, par exemple, une théorie mathématique, c'est un ensemble de signes, une série de règles définissant les termes et les relations de la théorie comme des assemblages particuliers de ces signes, et une autre série de règles définissant les relations qui sont des théorèmes de cette théorie ; une partie de ces règles peut être interprétée comme représentant (modélisant ?) les arguments de la logique classique à l'oeuvre dans les démonstrations (pour Bourbaki ; d'autres règles permettraient de modéliser d'autres logiques). Dans cette approche, toutes les théories qu'il envisage ont pour socle logique commun les schémas d'axiomes S1 à S4 (calcul des propositions, théories logiques chez Bourbaki) et S5 (calcul des prédicats, théories quantifiées chez Bourbaki) ; auquel il faudrait ajouter la règle fondamentale définissant les théorèmes comme figurant dans une suite d'implications à partir des axiomes(modus ponens) qu'il introduit tout au début de la définition des démonstrations. Voilà pour la mathématique formelle. En pratique, la majorité des auteurs se placent dans le cadre de la logique classique et n'explicitent jamais ces règles (ni d'ailleurs les règles plus complexes qui s'en déduisent comme la démonstration par l'absurde, voire le raisonnement par récurrence). Ainsi, en effet, toutes les mathématiques que tu as dû rencontrer s'appuient sur cette logique, dite du premier ordre (par opposition aux logiques d'ordre supérieur), ce qui répond du coup à tes trois autres questions. Cordialement, Dfeldmann (discuter) 22 novembre 2024 à 08:36 (CET)

Bonjour Dfeldmann,

Bien entendu votre tutoiement me convient très bien ; surtout si vous acceptez que je vous tutoie.

Merci pour cette première réponse.

Cordialement, MacJestre (discuter) 23 novembre 2024 à 18:26 (CET)

Thème 2 (méthode de la constante auxiliaire)

Voici tes questions :

Contexte : Je dispose d’une relation A vraie (ou supposée telle) du type « Il existe un élément vérifiant la propriété P » et souhaite prouver, dans ce cadre, qu’une relation B est vraie. Pour cela, j’introduis parfois une phrase du genre « Soit $ un tel élément » (où $ désigne ici une lettre minuscule ou majuscule de l’alphabet latin ou grec ; lettre qui n’apparait pas dans B). Aujourd’hui, peut-être suite à nos discussions, je ressens le besoin de justifier l’emploi d’une telle phrase ; besoin que je n’ai jamais ressenti auparavant, comme si cet emploi était naturel, évident, tenait pratiquement du truisme (fruit probable de l’environnement culturel dans lequel j’ai, jusqu'à présent, évolué).

Question n° 2.1. Existe-t-il dans la théorie des ensembles de N. Bourbaki ou dans la logique associée, une donnée permettant de justifier cet emploi ? (Comme vous me l'avez déjà dit, la réponse est « oui », cf. le critère déductif C19, page I.28 du Livre E précité.)

Question n° 2.2. Existe-t-il dans la théorie des ensembles ZFC ou dans la logique associée, une donnée permettant de justifier cet emploi ?

Question n° 2.3. Existe-t-il dans la théorie des ensembles ZF ou dans la logique associée, une donnée permettant de justifier cet emploi ?

Question n° 2.4. Dans le cadre de la théorie des ensembles ZFC, je dispose de la relation vraie A (issue d’une application de l’axiome du choix) « Il existe une fonction qui à chaque partie non vide de l’ensemble des nombres réels, associe un élément de cette partie ». Dans ces conditions, puis-je écrire « Soit h une telle fonction » ?

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En logique classique (par opposition à la logique intuitionniste, ou au constructivisme), la réponse aux trois premières questions est la même : c’est légitime, et seul Bourbaki (et les logiciens, évidemment) se donne la peine de le justifier. Il en est de même de la question 2.4, car dans ce genre de système, h est un objet comme un autre, soumis aux mêmes règles Dfeldmann (discuter) 22 novembre 2024 à 10:09 (CET)

Bonjour Dfeldmann,

C'est bien l'impression que j'avais.

Je n'ai pas conservé les cours de "Logique et théorie des ensembles" donnés par Monsieur Jean Balibar, lorsque j'étais étudiant à l'Université François Rabelais de Tours dans le milieu des années 1970 ; mais il me semble bien que la démonstration du théorème de Zermelo qu'il a présentée alors, incluait une phrase du type "Soit h une fonction de choix" (qui, à l'époque, ne m'avait posé aucun problème).

En fait, sauf erreur de ma part, Bourbaki justifie l'emploi d'une phrase de type "Soit x un élément vérifiant (...)" uniquement dans le contexte du critère C19 correspondant à la "méthode de la constante auxiliaire". Or, personnellement, il m'arrive d'employer cette phrase dans d'autres contextes ; par exemple, dans le contexte de la construction d'une suite. Je vais voir à ce sujet, ta/votre réponse relative au thème n° 3.

Merci beaucoup. Cordialement, MacJestre (discuter) 23 novembre 2024 à 18:48 (CET)

Thème 3 (axiome du choix et définition d’une suite)

Contexte : Je dispose d’une suite (En) de parties non vides d’un ensemble E et je veux définir une suite (xn) d’éléments de En.

Question 3.1. Puis-je ne pas faire référence à l’axiome du choix et écrire simplement « Pour tout entier naturel n, xn désigne un élément quelconque de En ? (Personnellement, j'aime bien cette formulation qui ne complique pas les choses.)

Question 3.2. Ou bien, puis-je faire implicitement référence à l’axiome du choix appliqué à E et écrire « Pour tout entier naturel, xn désigne un élément choisi dans En » ? (Formulation encore assez simple.)

Question 3.3. Ou bien dois-je faire explicitement référence à l’axiome du choix appliqué à E et écrire « Soit h une fonction de choix qui à chaque partie non vide de E, associe un élément de cette partie », puis « Pour tout entier naturel n, xn est égal à l'élément h(En) de En » ? (Formulation qui me pose problème ; voir ci-dessous. Problème : Lorsque j’écris ici « Soit h une fonction de choix (...) », je comprends (peut-être à tort) que je viens de faire le choix d'une fonction h dans l'ensemble non vide H « des fonctions qui à chaque partie non vide de E, associe un élément de cette partie » ; et donc que lorsque j’écris ici « Soit h une fonction de choix (...) », j'applique implicitement l'axiome du choix aux parties non vides de H. De sorte que l'application de l'axiome du choix me parait être une opération récursive. C'est probablement pourquoi, je préfère, pour le moment, l'emploi du terme 𝜏x(x ∈ Y) de N. Bourbaki, pour désigner un élément d'un ensemble non vide Y ; et pour définir la fonction h par « pour toute partie non vide Y de E, h(Y) = 𝜏x(x∈Y) ».

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Là, ça se complique nettement. Ta question 3.1, c’est tout simplement l’axiome du choix dénombrable, je te suggère de lire soigneusement non cet article (pas si mal fait, mais un peu maladroit) mais les sections pertinentes de l’article axiome du choix, et tout particulièrement l’illustration de Russell. Cela dit, si tu le sais , et plus encore pour ta question 3.2, il n’y a pas de problème avec ces formulations ; il faut seulement se rappeler qu’elles nécessitent l’axiome du choix (par exemple, ZF plus « toutes les parties de R^3 sont mesurables au sens de Lebesgue » est cohérente si ZF l’est, et donc la construction apparemment facile des ensembles du paradoxe de Banach et Tarski dépend vraiment de cet axiome). En revanche (à part la lourdeur) il n’y a rien à reprocher à ta formulation 3.3, comme expliqué en Thème 2 : s’il existe des fonctions de choix, il est parfaitement légitime d’en « choisir » une (et ce sont deux sens différents du mot « choix »).

Voilà, j’espère avoir été suffisamment clair. Cordialement, Dfeldmann (discuter) 22 novembre 2024 à 10:39 (CET)

Bonjour Dfeldmann,

Dans le mémoire que j'essaie de rédiger, j'ai besoin de l'axiome du choix le plus général. (Pour poser ma question, j'ai simplifié au maximum l'exemple). Je vais quand même relire tout l'article relatif à l'axiome du choix que j'ai simplement lu en diagonale.

Par contre, je ne comprends pas bien la remarque concernant les ensembles mesurables au sens de Lebesgue (ensembles de la tribu borélienne + ensembles négligeables). Je vais jeter un coup d’œil au paradoxe cité.

D'accord pour les sens différents du mot "choix".

Encore merci. C'est vraiment sympa de votre/ta part. (Le mot "sympa" est presque un tutoiement.)

Cordialement, MacJestre (discuter) 23 novembre 2024 à 19:08 (CET)

Je ne sais si le paradoxe de Banach-Tarski t’amusera, mais c’est un des (nombreux) exemples qui amène pas mal de gens à ne guère aimer AC. En revanche, en mathématiques courantes (disons niveau écoles d’ingénieurs) on n’a de toute façon que rarement besoin de l’axiome du choix, et pratiquement jamais de plus que l’axiome du choix dénombrable. Cordialement, Dfeldmann (discuter) 23 novembre 2024 à 22:39 (CET)

Oui, c'est amusant, même troublant, je le conçois. J'en ai profité pour consulter un des rares bouquins qui me restent de ma vie d'étudiant, pour vérifier que toutes les parties de R n'appartiennent pas à la tribu de Lebesgue. Le bouquin consulté s'intitule en français "Analyse Réelle et Complexe" ; son auteur : W Rudin utilise la relation d'équivalence dans R, x ∼ y si et seulement si y-x ∈ Q pour montrer l'existence d'une telle partie et signale qu'ensuite il fait appel à l'axiome du choix...

Dans mon mémoire, je montre un lemme qui dit « Si V est une partie connexe par arcs non bornée de R^k et si x est un élément de V, alors il existe une route non bornée h telle que h(0) = x et h(R+) ⊂ V » (une route étant une application continue de R+ dans R^k). En relisant la démonstration, il me semble effectivement que l'axiome du choix dénombrable suffise. En effet, en oubliant tout formalisme, il existe une suite (x_n) d'éléments de V telle que pour tout n de N, ‖x_n‖ > n (puisque V est non bornée) et il existe une suite (h_n) telle que pour tout n de N, h_n soit un chemin de V défini sur l'intervalle fermé (n, n+1) et tel que h_n(n) = x_n et h_n(n+1) = x_n+1 (puisque V est connexe par arcs) ; il ne reste plus ensuite qu'à réunir/concaténer ces chemins pour définir la route h non bornée cherchée. On applique d'abord l'axiome du choix dénombrable à la famille (E_n) (où E_n = ensemble des éléments x de V vérifiant ‖x‖ > n) puis à la famille (F_n) (où F_n = ensemble des chemins de V allant de x_n à x_n+1).

Ce qui me gêne dans ces gens qui n'aiment pas (ou se méfient a priori de) AC, plus généralement des gens qui n'aiment pas (ou se méfie a priori d') une théorie du domaine des sciences exactes ou humaines (maths, physique, psychologie, etc.), c'est que j'ai l'intime conviction (mais pas l'absolue certitude) que d'une part, ils se trompent en évaluant la pertinence de la théorie a priori (personnellement je préfère l'évaluer a posteriori, i.e. dans ses applications, si possible, ses applications au monde tangible ; je suis plutôt pragmatique) et que d'autre part, ils ne permettent pas à leurs imaginations d'outrepasser les seuils que leurs environnements culturels ont fixé (voir par exemple dans l'article de Wikipédia à propos de Nikola Tesla, la partie "Opinions et Croyances / Physique expérimentale et théorique) freinant ainsi leurs potentiels créatifs et perdant parfois leurs temps dans des discussions éventuellement stériles. (Un jour, lorsque j'étais étudiant, je demande à l'un de mes copains qui étudiait la physique à l'ENS de la rue d'Ulm à Paris "Est-il pertinent d'utiliser l'axiome d'Euclide ?". Sa réponse : "Qu'en as-tu à faire, s'il permet de fabriquer des voitures.". C'est peut-être cette réponse qui est à l'origine de mon pragmatisme.) J'ai écrit ce paragraphe afin que tu me fournisses, autant que possible, des arguments capables de pondérer/nuancer mon intime conviction (pourquoi pas des arguments faisant référence à l'éthique ; je pense qu'on peut/doit se méfier a priori de certaines théories relatives aux races humaines, en particulier, lorsqu'on les éprouvent à partir d'expériences malsaines voire mortelles réalisées sur des êtres humains).

Je te souhaite un excellent dimanche, MacJestre (discuter) 24 novembre 2024 à 02:58 (CET)

Euh, oui, je veux bien, mais quelle intime conviction, au juste ? Tu connais le dicton : « l’axiome du choix est évidemment vrai, le théorème du bon ordre de Zermelo est évidemment faux, et qui peut dire ce qu’il en est du lemme de Zorn ? ». Par ailleurs, la géométrie euclidienne est fort utile dans le monde à notre échelle et la géométrie hyperbolique en cosmologie ; pourquoi ne pas accepter (pragmatisme) que deux théories mathématiques contradictoires puissent être des approximations satisfaisantes de deux domaines physiques différents (la même chose d’ailleurs pour la Relativité Générale et la Physique quantique) ? Dfeldmann (discuter) 24 novembre 2024 à 07:29 (CET)

Bonjour Dfeldmann,

Il me semble bien que certains (grands) savants se méfient d'une nouvelle théorie avant même qu'elle ne soit éprouvée par des applications. Et ma conviction intime c'est qu'ils perdent leurs temps. Mais, bien entendu, je peux me tromper. Après tout, cela n'a pas grande importance ; la terre continue de tourner.

Le théorème de Banach-Tarski (des trois boules) constitue une application de l'AC conduisant à un paradoxe. Je conçois alors qu'on se méfie de l'AC. (Ce que je ne comprends pas dans l'article "Paradoxe de Banach-Tarski" de Wikipédia, c'est la présence de la notion de mesure. Pour moi, trois boules son identiques si elles partagent le même rayon. A moins qu'on montre qu'elles partagent la même mesure, le même volume, donc le même rayon. Mais peut-on calculer avec certitude la mesure des deux boules issues de la première ? Alors, je n'ai pas lu l'intégralité de l'article précité, mais je me demande si le paradoxe vient de l'usage de l'AC ou de l'usage de la mesure (?).)

Non, je ne connaissais pas ce diction. Hahaha ! Quelle sagesse ! Pour ce qui concerne les théories contradictoires (...), je suis entièrement d'accord avec toi.

Je te souhaite une très bonne soirée. MacJestre (discuter) 24 novembre 2024 à 19:45 (CET)

Je te résume rapidement (mais rigoureusement) Banach-Tarski : il démontre qu’on peut partitionner la boule unité (pleine donc, l’ensemble des (x,y,z) tels que x^2+y^2+z^2<1) en cinq sous-ensembles (je crois ; en tout cas en un petit nombre de sous ensembles) dont la réunion, après déplacements (translations et rotations, donc), constitue deux boules unité disjointes (accessoirement, un élément de surprise supplémentaire est que ce n’est pas possible en dimension 2 : un élément essentiel de la construction (outre AC) est que le groupe des rotations de l’espace est non commutatif). En général, ça choque suffisamment l’intuition (les « morceaux » de la partition n’ont évidemment pas de volume, mais même comme ça…) pour amener plein de gens à rejeter AC… Mais j’espère que ça ne t’empêchera pas de dormir ; l’article de Wikipedia donne plein de references très lisibles. Cordialement, Dfeldmann (discuter) 24 novembre 2024 à 22:04 (CET)

Merci beaucoup Dfeldmann.

Entre 1984 et 2021, j'habitais près de Versailles. Là je pouvais prétendre accéder à des bibliothèques scientifiques (ex. à celle de l'Institut Henri Poincaré). Depuis 2022, retraité, j'habite à Saint-Étienne (dans la Loire), pays de mon épouse. Là je n'accède à aucune bibliothèque scientifique. Il m'est donc difficile voire impossible d'accéder aux références dont tu parles. Dommage ! J'aurais bien aimé voir comment les sous-ensembles étaient définis (grâce à AC ?) et de quelle manière la non commutativité du groupe des rotations intervenait dans cette affaire. (A moins que je puisse accéder sur le Web à des versions électroniques de certaines de ces références.)

J'ai vraiment plaisir à discuter avec toi et à apprendre plein de choses de toi.

Cordialement, MacJestre (discuter) 25 novembre 2024 à 01:23 (CET)

Le très bon exposé de David Madore (voir ici : Le paradoxe Banach-Tarski) est fait pour toi. Dfeldmann (discuter) 25 novembre 2024 à 08:20 (CET)

Merci beaucoup. Je vais le lire dès que je pourrai. Je suis un peu occupé ces temps-ci. Que veux tu, la retraite. (J'espère que je n'aurai pas trop de difficultés à le comprendre.) A très bientôt, MacJestre (discuter) 26 novembre 2024 à 01:32 (CET)