Discussion:Variété (géométrie)/Archive jusqu'à Août 2006

Théorie des variétés

Il y aurait aussi théorie des variétés ou plutôt théorie des variétés à intégrer (cf. champ vectoriel). Gene.arboit 30 novembre 2005 à 17:00 (CET)

Le cf. ci-haut me semble erroné. Je vais vérifier si je peux retrouver l'information. Gene.arboit 30 décembre 2005 à 07:01 (CET)

Oublions ceci... Gene.arboit 27 février 2006 à 16:14 (CET)

Variété algébrique

Est-ce que quelqu'un pourrait définir ce que c'est qu'un champ algébrique fermé. À ma connaissance, en anglais, ça pourrait être un algebraically closed field. Dans ce cas là, on traduit par corps algébriquement clos. Dans l'ensemble cet article demande à être nettement amélioré. Malosse 27 février 2006 à 16:10 (CET)

J'ai fait cette correction et j'ai comme projet de revoir l'article en profondeur (dès que l'article nombre réel arrive au degré de perfection de l'AdQ.) Si vous avez le temps, ne vous gênez pas pour faire de même... Gene.arboit 27 février 2006 à 16:25 (CET)

Carte vs. graphe

En français, on parle presque toujours de carte comme voisinage muni d'un système de coordonnées [BG], mais très rarement de graphe (qui, me semble-t-il, renvoie plutôt à la notion de sous variété plongée dans un espace euclidien plus grand). Il doit y avoir un problème de traduction littérale depuis l'anglais. Je vais essayer d'adapter ça dès que possible ...

Zweistein 21 avril 2006 à 13:34 (CEST)

[BG] Marcel Berger & Bernard Gostiaux ; Géométrie différentielle : variétés, courbes & surfaces, Presses Universitaires de France (2ème édition-1992), (ISBN 2-13-044708-2).

Merci beaucoup ! (Il doit rester encore qq. anglicismes dans cet article...) Gene.arboit 21 avril 2006 à 15:23 (CEST)

Réécriture de l'introduction

J'ai essayé de revoir la répartition des choses entre l'accroche et l'introduction pour arriver à une entrée en matière plus élémentaire. Je pense qu'il est important de donner un exemple de variété abstraite stricto sensu (bouteille de Klein) pour expliquer pourquoi on ne se limite pas aux sous-variétés. Qu'en pensez-vous ? Je confirme que j'ai toujours entendu parler de carte, ce qui est d'ailleurs conforme la métaphore géographique. Peps 22 avril 2006 à 00:51 (CEST)

Je pense que la bouteille est un meilleur choix pour l'intro... Le globe terrestre est pédagogique, mais trop vulgarisé. Il est bien où il a été déplacé. (Pour le reste de l'article, il va falloir que je m'y plonge plus sérieusement...) Gene.arboit 3 mai 2006 à 16:05 (CEST)

Proposition de plan

Je trouvais que dans l'article anglais il y avait beaucoup de redites. L'accroche initiale et la partie "introduction" par exemple faisaient double emploi ; j'ai essayé de leur donner un intérêt différent : l'accroche essaie de donner une idée-éclair de l'objet ; l'introduction (chapitre 1) le présente de façon "correcte" mais en termes simples, sans vocabulaire topologique. Ensuite, dans l'ordre je mets l'historique (2), les développements récents (3) (là ce sera impigeable pour beaucoup mais il faut que ça figure, et puis il y a des mots évocateurs pour le profane avec la physique théorique : en tout cas Zweistein a écrit de belles choses).

Que pensez vous du plan à ce stade ? Les modifications vont-elles dans le bon sens ?

Enfin il faut écrire les choses proprement mathématiques. Un plan possible serait

(4) Exemples introductifs : cercle et sphère patchwork (il me sembl qu'elle va avec) qui illustrent le mode de définition des variétés

(5) Cartes, atlas etc avec mention des propriétés topo (sans s'étendre dessus) qui donnent la déf correcte

(6) les arguments actuels de 6.1. et 6.2. me semblent des redites et seraient à replacer au-dessus

Pour moi la partie 6 ne devrait contenir que des procédés de construction de variétés (autres que la déf pure, donc pas le patchwork), avec un mot supplémentaire sur les espaces fibrés je pense (ex. ruban de Möbius).

(7) tout ce qui suit est en fait un peu du débordement par rapport au sujet général variété, il me semble que ça allonge l'article. L'orientation peut par exemple être traitée à part.

Que pensez vous de ce plan ? L'article anglais est bon mais a raté l'AdQ. Il me semble que c'est lié à des inégalités de rédaction : des considérations très simples voisinent avec des choses bien trop compliquées, parfois d'intérêt anecdotique. Je pense qu'il faut recentrer l'article sur "faire comprendre ce qu'est une variété" et le relier fortement avec des articles plus techniques. Peps 3 mai 2006 à 15:41 (CEST)

D'accord (en particulier le renvoi d'orientation) sauf sur un point ; encore une fois je trouve qu'on n'est pas assez clair sur le changement entre extrinsèque et intrinsèque : les 6.1 et 6.2 ne sont pas forcément hors-sujet dans Constructions, ça dépend ce qu'onen fait. C'est-à-dire quen prenant deux droites, et en faisant des identifications, on obtient un objet, qui est topologique, qui a des cartes, donc une variété, et qui est topologiquement tout comme le cercle normal du début : tout comme topologiquement, et en tant que variété ; mais on a quand même construit un objet qui n'est pas le cercle normal du début... Je suis clair? Du coup, il me semble qu'on peut garder quelque chose de la partie Patchwork : on utilise l'exemple du cercle qui y est comme illustration de la partie construction par identification, et on clarifie le point sur extrinsèque/intrinsèque.

C'est-à-dire qu'avec le point 5, on est juste capable de vérifier qu'un objet est une variété ; en gros, on ne va donc travailler qu'avec des sous-variétés ; et avec le procédé de construction du point 6, on construit des vraies variétés ; par exemple ce qu'on pourrait appeler un modèle ( :) )topologique du cercle. Ca me paraît justifié que ce soit séparé, à condition de dire plus clairement les choses.Salle 31 juillet 2006 à 17:02 (CEST)

Convaincu par ta façon de voir le truc, j'ai essayé de réaménager cela. Qu'en penses-tu ? Peps 6 août 2006 à 10:22 (CEST)

Je commence à être tenté de voter pour le passage AdQ...Salle 6 août 2006 à 12:47 (CEST)

Une phrase qui me semble malheureuse

Dans le premier exemple introductif, le cercle, je viens de créer une sous-section bilan, qui comporte la phrase suivante :

Enfin les deux méthodes de définition par cartes définissent le même objet mathématique, et le même que celui donné par l'équation x² + y² = 1. Ceci montre qu'il existe plusieurs façons équivalentes de définir une variété : ici deux définitions par des atlas distincts, et une définition par équation.

Je ne suis pas sûr que cette phrase soit vraiment éclairante ; d'abord, on mélange allègrement le point de vue intrinsèque et extrinsèque ; ensuite, quel objet mathématique prétend-on définir précisément : le cercle en tant qu'essence du cercle, ou un cercle particulier tracé dans le plan affine usuel? Il va probablement falloir mentir un peu pour ne pas s'engager dans une dissert de 50 pages ici, mais je trouve vraiment que cette formulation pourrait être améliorée. Pour le moment, je n'ai pas d'idée précise sur une bonne façon concise de dire ce qui doit être dit ici ; je laisse mûrir, et si quelqu'un veut en discuter (soit pour proposer quelque chose, soit pour dire que je me plante), ça sera bien.Salle 31 juillet 2006 à 15:10 (CEST)

La démarche qu'on suit à mon avis est : on part d'un objet géométrique simple, défini par une équation dans le plan usuel. On trouve un atlas (un seul pour le moment), il devient donc une sous-variété ; ensuite, on a déjà expliqué qu'un point de vue intrinsèque était intéressant, et donc il faut dire d'une manière ou d'une autre : voilà, maintenant on oublie le plan usuel, et garde que l'atlas, at avec cet atlas, paf!, on obtient un cercle intrinsèquement ; et dire que les définitions sont équivalentes me paraît abusif. Il faut ensuite intégrer l'information qu'il y a plusieurs atlas, mais je ne vois pas comment.Salle 31 juillet 2006 à 15:16 (CEST)

Effectivement, y a du non dit. Je partais dans une autre logique.

• Résumé : on a un ensemble de points du plan, on y met un atlas -> c'est une variété A. On y met un autre atlas -> c'est une variété B. Donner une équation c'est aussi définir une variété -> variété C. Et en fait c'est la même variété.

* Le lièvre que tu as levé, ce que j'avais caché discrétos sous le tapis, c'est que pour B donner une équation c'est aussi définir une variété, malheureusement la raison c'est : application du thme des fonctions implicites... Urk !

* Et puis après, 2e tour de passe passe, je n'explique pas pourquoi c'est la même variété (il faudrait prouver la compatibilité des atlas, mais on s'égare loin de l'objectif, donner des exemples). J'aurais plutôt envie de dire : un machin de dimension 1 qui se referme, c'est forcément un cercle, point barre, pas de détail (bicoz c'est vrai !).

dernière question, que penses tu de ce que j'avais mis en discussion au-dessus (après l'avoir écrit, je ne suis pas revenu sur l'article, il a toujours les défauts indiqués). Je n'avais pas travaillé la fin de l'article ; à mon sens il faut rerédiger et couper sévèrement. Et l'historique n'est pas bon, j'ai dit ça à Ektoplastor parce que c'est bien gentil de nous mettre dans le pétrin mais faudrait que l'intendance suive... Peps 31 juillet 2006 à 15:46 (CEST)

Pour ta proposition de plan, j'ai fait un début de réponse à l'endroit adéquat ; d'accord sur ce qui concerne la fin de l'article, et sur la partie histoire (sur laquelle je me garderai bien d'intervenir personnellement).

Pour le lièvre soulevé, ta démarche telle que tu la décrit ici, est honnête et efficace à mon avis, mais je trouve que ce qu'il y a dans l'article ne lui rend pas justice : pourquoi ne pas dire explicitement : voilà, mon cercle muni d'une équation, c'est une variété caché grâce au tfi, mais je ne l'explique pas ; mieux vaut dire ici il y a une boîte noire qu'essayer de faire semblant qu'il n'y en a pas, et tout cacher dans un brouillard opportun ; même remarque : dire, il faut montrer une pté de compatibilité entre les atlas, mais je ne le fais pas rendrait les choses plus claires.

Enfin, un machin de dimension 1 qui se referme, c'est forcément un cercle, à mon avis, ce n'est surtout pas l'endroit où il faut le dire. A mettre dans la partie Patchwork, en lien avec la proposition de refonte de cette partie que j'ai faite après ta prop de plan, ama.Salle 31 juillet 2006 à 17:09 (CEST)

remarques parfaitement pertinentes ; en fait dès qu'on essaye de formuler les exemples de façon honnête et précise on voit qu'il faut être à plusieurs pour tester les formulations et c'est le manque d'interlocuteur prêt à s'investir dans les détails qui m'avaient arrêté en mai dernier. Merci ! Peps 31 juillet 2006 à 18:08 (CEST)

j'ai essayé de rerédiger les choses ... du coup il faut créer l'article sur le TFI maintenant. Mais c'est la moindre des choses ! Peps 1 août 2006 à 10:40 (CEST)

Tableau incomplet

J'avais pris le tableau de l'article allemand... Est-ce que ce n'est pas utile d'accéder rapidement aux sur- et sous-domaines des variétés ? C'était l'intention... Est-ce que ça ne vaudrait pas la peine de le compléter au lieu de le supprimer ? Gene.arboit 31 juillet 2006 à 15:46 (CEST)

j'allais en causer mais j'ai suivi les modifs de Salle et perdu ça de vue

une partie de ce tableau flèche vers des trucs techniques, il serait plus à sa place sur les articles techniques : variété topologique, variété différentielle, etc... pour les hiérarchiser et les placer dans le cadre de la topologie. Qu'en penses-tu ?

sur cette page le tableau doit flécher vers des sujets plus grand public, genre théorie du chaos

à cause de la discussion AdQ je pense qu'il vaut mieux discuter du contenu et réinsérer un tableau quand il sera jugé satisfaisant

voici l'ancien

Variétés

Domaines affectés

Mathématiques Topologie Géométrie différentielle Physique Mécanique classique Surfaces interfaciales, membrane Théorie de la relativité générale

Les variétés sont des cas particuliers de :

Espace topologique Espace paracompact Variété topologique

Les variétés couvrent en tant que cas particuliers :

Espace euclidien Groupe de Lie Variété riemannienne Espace de Minkowski Variété pseudo-riemannienne

nouvelle structure possible (à compléter)

1. les variétés s'insèrent dans
   1. la topologie
   2. la géométrie différentielle
2. utilisations en physique
   1. mécanique lagrangienne et hamiltonienne
   2. relativité générale
   3. théorie de jauge, champs quantiques
3. déclinaison des variétés
   1. groupe de Lie
   2. variété riemannienne, pseudo riem
   3. variété symplectique
   4. etc ... (analytique, kählérien...)

mais tout ça fait redite avec le texte, c'est ce qui me dérange Peps 31 juillet 2006 à 16:08 (CEST)

C'est un peu tard pour répondre... mais en effet, le texte du tableau a été intégré, il me semble... Je compte relire l'article pour la nouvelle proposition d'AdQ. Gene.arboit 21 septembre 2006 à 19:09 (CEST)

Critiques

Outre le point évoqué dans le paragraphe précédent, j'ai vu d'autres trucs qui me chiffonnent (rien à quoi on ne puisse assez facilement remédier) :

• D'abord les var diff : ça fait un peu arlésienne, on arrête pas de les annoncer, de dire : regardez, si on fait ça, on va avoir une var diff ; et quand on arrive au parag consacré, on se sent un peu déçu : je propose d'élaguer toutes réf aux var diff, sauf une. Choisissons où on la met (dans la déf générale des cartes et atlas?), et disons : voilà, si on a ça en plus c'est une var diff, et allez voir l'article consacré.
• Ensuite, à partir de la partie construction, j'ai eu le sentiment d'un article pas tout à fait à maturité, avec notamment pas mal de parties dont l'écriture est assez faible et du coup obscure ; et l'organisation aussi est douteuse par endroits : par exemple, on a une partie Identifier les points, qui intervient aprèsla partie Patchwork où on a justement utilisé des identifications. ; pareil, dans le produit cartésien, on parle de variétés à bord, alors qu'elles sont définies juste après : ça me paraît maladroit et je ne suis pas sûr que ce soit utile.
• Plus particulièrement, dans la partie construction, il y a un paragraphe extrinsèque vs intrinsèque qui ne me semble pas très éclairant ; à résoudre en cohérence avec mon premier message.
• Il y a aussi le terme graphe qui revient souvent : est-ce que c'est un concurrent de cartes, ou bien a-t-il un sens différent? J'ai l'impression qu'il est utilisé comme synonyme, ce qui est un gros défaut (très facile à résoudre toutefois, si c'est bien ça).

Désolé, ça fait un peu liste d'instructions alors qu'il y a des tas de trucs que je pourrais modifier tout seul comme un grand, mais je m'absente quelques jours, et comme la procédure de vote sur article de qualité est enclenchée...Salle 31 juillet 2006 à 15:58 (CEST)

Topologie différentielle ou topologie algébrique ?

Quelle est la part de l'une ? Quelle est la part de l'autre ? J'ai un différent mineur et superficiel avec Salle, je sens. Hem.

La topologie algébrique n'étudie pas les variétés mais les espaces topologiques suffisamment sympatiques (donc variétés + CW-complexes + variétés algébriques + un tas de bestioles qui ne portent pas de nom, comme la sphère à cornes ... euh, mauvais exemple, elle a un nom). En fait, l'étude topologique des variétés passe par les outils de la topologie algébrique mais il est faut de dire que cette dernière est l'étude de la classification des variétés.

Il est difficile de différentier topologie différentielle et géométrie différentielle. C'est presque la même chose. La topologie différentielle est l'étude topologique des variété différentielles, éventuellement de structures additionnelles au sens où ces structures souvent s'interprètent comme des fibrés principaux. La géométrie différentielle est l'étude de la géométrie des variétés différentielles, avec des outils d'analyse au sens large. L'étude des structures additionnelles donne chaque branche de la géométrie différentielle !

Il faut aussi introduire la notion d'espace tangent dans la première section de manière informelle.

Ektoplastor

En fait, je ne suis pas sûr qu'il y ait un différend (je viens de vérifier, parce que je fais le malin, mais quand même, j'étais pas sûr...) ; et je suis d'accord que je me suis planté : La topologie algébrique n'étudie pas les variétés mais etc. contrairement à ce que j'ai mis dans l'article ; mea culpa, désolé. Cependant, je trouve aussi dommage, comme tu l'as fait, de partir directement sur topo diff ; les variétés, même sans structure diff, sont des objets suffisamment typiques d'étude de la topo algébrique (même si ce ne sont pas les seuls) pour que dans notre intro de l'article variété, on commence par parler de topo algébrique avant de rajouter de la régularité. Es-tu d'accord? Si oui, je te laisse faire la modif, parce que tu as une vue plus claire que moi des choses.Salle 7 août 2006 à 22:31 (CEST)

Variétés

Je suis tes modifs, et certaines ne me plaisent pas, ou seulement modérément ; je liste :

• A titre indicatif, précisons que les seules courbes de dimension un, à identification topologique près, sont le cercle (cas compact) et la droite réelle (cas non compact), éventuellement le segment et la demi-droite fermée.

Ca détourne du discours principal, sans vraiment éclairer grand-chose ici, non?

Je l'ai mis parce que ça m'a passé par la tête et c'est quelque chose que j'aime bien balancer, mais je compte le mettre plus loin avec la classification des surfaces (il est possible d'en dire un mot ?).

Plus loin, ça me va ; c'est typiquement le genre de choses que j'attends dans le fameux parag 3.3 dont on a parlé avec Peps, mais pas vraiment ailleurs.

Je n'en suis pas encore là.

• Notons que cette description d'un point de vue globale est erronée pour un géomètre d'aujourd'hui. (à propos du point de vue de Riemann)

même remarque

Oui mais non, une variété ne peut pas être feuilletée par une famille d'hypersurfaces, je crois. Il ne faut pas laisser de mauvaises idées au lecteur sous prétexte d'écrire un truc simple. Il faut préciser que c'est vrai seulement localement, ou quelque chose de ce genre.

Ok, en fait, je n'avais pas compris ta phrase, et c'est pour ça que je ne la trouvais pas éclairante ; proposition de reformulation : Notons que cette description n'est valable que localement, c'est-à-dire au voisinage de chaque point de la variété, pour un géomètre (topologue?) d'aujourd'hui. Interrogation sur géomètre? Est-ce que les structures métriques ont quelque chose à voir là-dedans?

Oui, c'est parfait. En fait, certains (à tort) incluent la topologie dans la géométrie. Donc de toute manière, ce n'est pas gênant de dire géomètre, et en l'occurence, ici, les feuilletages sont du ressort du géomètre. Les structures métriques n'interviennent pas. Par exemple, une surface compacte orientable de genre 2 ne peut pas être feuilletée en cercles. J'avoue ne pas avoir réfléchi à la question sur le feuilletage en droites.

• nombreuses et innombrables, et impossibilité de lister, ça fait une accumulation un peu trop énorme ; là, je modifie directement. Je viens de recevoir la question. Nombreuses et innombrables, c'est deux fois le même mot (nombre) ; en plus avec une occurence qui annule la précédente en la dépassant, pour l'équilibre de la phrase c'est pas top... De manière générale, on essaie d'éviter l'emphase dans l'encyclopédie ; regarde ma proposition et dis-moi ce que tu en penses...

Parfait !

• Du moins est-ce souvent le cas, sinon, il n'est pas loin de l'être

ça rejoint ce que j'ai dit dans un commentaire de modif : j'ai l'impression que tu as tellement à cœur de dire l'exacte vérité que tu rajoutes ce genre de phrase qui n'ont à mon sens pas grand intérêt : soit le lecteur sait déjà ce dont tu parles, et il ne t'en voudra pas de simplifier un peu ton discours ; soit il ne sait pas, et je ne vois pas en quoi la remarque va lui apporter quelque chose (moi je suis dans le second cas).

Je n'ai pas envie d'écrire des phrases erronées. Cette phrase ne me semble pas très compliquée, mais il est vrai mal tournée.

OK, va pour une reformulation, mais qu'entends-tu par pas loin? Si tu me révèles ce secret, je te proposerai quelque chose.

Eh bien, parfois il y a des singularités coniques. En fait, au lieu de modeler les variétés sur les espaces vectoriels, on considère les espaces topologiques modelés sur les variétés, les cônes de variétés, les cônes de cônes de variétés, ... Il est fréquent que ces espaces interviennent en particulier et surtout en étudiant la dynamique sur une variété, aussi jolie soit-elle.

J'ai modifié nombreuses et innombrables, pour le reste, j'attends de voir ta réponse.Salle 7 août 2006 à 22:22 (CEST)

Les remarques de rang 2 sont les réponses d'Ektoplastor.

et celles de rang 3 de moi.Salle 7 août 2006 à 22:38 (CEST)

Celles de rang 4 à nouveau d'Ektoplastor

Ca devient illisible, je réponds ici :

• classification des cbes de dim 1 :es-tu d'accord sur le principe que la remarque n'apporte pas grand-chose là où elle est, sachant que je pars du principe que dans le parag 3.3, on expliquera avec les mains ce que sont les identif topo, et que le lecteur n'est pas censé le savoir? Et donc qu'il faudra la transporter au 3.3?

C'est ce que j'ai dit.

• singularités coniques : est-ce que ça empêche d'être une variété ou simplement d'être une variété différentielle? Dans le deuxième cas, la remarque est presque superflue dans cet article ; mais j'ai l'impression que tu n'aimes pas les bonnes vieilles variétés topo toutes simples. Tiens, ça me fait me demander s'il faudra parler de questions du type : est-ce que tout variété topo admet une structure diff? Ne connaissant pas la réponse à la question mathématique, je ne m'avance pas sur la question encyclopédique...

En fait, les variétés à singularités coniques sont des variétés topologiques mais ne sont pas des variétés différentielles. Elles incluent le cône, le cylindre, les polyèdres (à la fois comme surfaces et comme solides). Elles sont très générales.

Moi, j'aime bien les variétés différentielles toutes simples, mais souvent les variétés à singularités apparaissent dans les structures de CW-complexes.

Toute variété topologique peut être munie d'une structure différentielle, mais cette structure n'est pas unique. Pour la droite, la structure différentielle est unique (ce n'est pas aussi direct qu'on pense, car la racine cubique donne une carte locale qui n'est pas compatible avec l'identité, lorsque je dis unicité, c'est évidemment à identification près). La non unicité s'obtient pour des dimensions suffisamment grandes.

Par contre, pour les groupes topologiques, s'il existe une structure de groupes de Lie, alors elle est unique (à isomorphisme près !).

Dit comme ça, on n'y croit pas beaucoup, mais c'est vrai. La démonstration est horrible, et je ne l'ai jamais étudiée en détails.

Ektoplastor, même jour, 23:35 CEST

Salle 7 août 2006 à 23:09 (CEST)

Bon, je crois qu'on est arrivé à se mettre d'accord sur mes quatres remarques ; j'ai proposé les deux modifs qui restaient à faire sur les quatre ; désolé d'avoir autant pinaillé. :)Salle 7 août 2006 à 23:49 (CEST)

Place des exemples

Moi, je placerais les exemples introductifs avant l'histoire. Je ne sais pas ce que vous en pensez ? (Vous=Salle+Peps).

Ektoplastor, le 7 Août, à 22:24 CEST

L'article anglais fait ce que tu suggères, Peps avait inversé, il doit avoir ses raisons. Mon impression est qu'il est bon que la déf formelle des cartes suive directement les exemples parce que cela doit faciliter sa compréhension (exemples frais= formalisation naturelle) ; mais, bon, c'est pas l'argument décisif qui emporte tout sur son passage.Salle 7 août 2006 à 22:41 (CEST)

Oui, certes, ce n'est pas faux. Mon idée est seulement d'introduire informellement l'espace tangent comme des variations premières. Cela me semble indispensable pour le discours de l'application à la physique. Evidemment, ce n'est pas un argument décisif qui emporte tout sur son passage. J'attends un troisième avis. Ektoplastor, même jour, 23:08

mes raisons pour inverser c'est que ça a l'air d'être une tradition de mettre l'historique le plus haut possible. Ma position perso c'est qu'en maths c'est ridicule car il faut comprendre le concept pour comprendre les étapes de son introduction, mais ce point de vue n'a pas l'air soutenu (cf proposition AdQ précédente).

mon avis c'est qu'il vaut mieux laisser l'espace tangent dans le flou, bicoze

• ça ne concerne que les variétés diff, et je pense qu'il faut spécifier le moins possible les structures dans un article générique
• le lecteur, même si on lui dit qu'il faut adopter un point de vue intrinsèque, voit des exemples de sous variété pour lesquels il sait bien ce qu'est l'espace tangent, donc il s'en fout. S'il arrive à lire les méthodes intrinsèques atlas abstrait et collages, et qu'il est assez malin pour voir que ça pose des pb de déf d'espace tangent, il sera assez malin pour lire variété différentielle qui (devrait) contenir les détails. Peps 8 août 2006 à 00:07 (CEST)

Pour Peps, qui n'a visiblement pas compris que ma réponse était pour un message précédent. Il y a dans cette rubrique (je les mélange toutes à force d'en ajouter) deux questions distinctes :

• Met-on les exemples avant l'historique ? Je dis oui, dans la mesure où on en fait référence dans l'historique ! C'est un peu pénible de parler de choses qu'on n'a pas encore présentées officiellement.
• Parle-t-on d'espace tangent quelque part ? Hier soir, j'ai dit oui, mais finalement non, ce ne serait pas le bienvenu, et le lecteur risque en effet de ne plus s'y retrouver.

J'ajoute ici une troisième question concernant les exemples, histoire de s'emmêler encore plus les pinceaux :

• Est-il logique de commencer l'article sur les variétés avec l'exemple de la bouteille de Klein ? En particulier, l'illustration est trompeuse du moins en début d'article, et un lecteur qui n'a pas lu l'article n'est pas censé comprendre la difficulté. Je la présenterais plutôt dans les exemples. En introduction, je propose l'hyperboloïde, le tore, et un bitore.

Ektoplastor, le 8 Août, 9:22

Pas d'accord, j'ai ajouté cette bouteille exprès. Voila l'idée que j'avais : c'est l'intro donc il faut montrer l'enjeu général par une idée forte qui sera développée par la suite. C'est pourquoi il me semblait important, justement, de parler d'un objet abstrait mal représenté dans R3, et pas d'une bête sous-variété. Sans quoi il serait logique de commencer par la déf d'une sous variété, ce qui est un autre point de vue, moins traumatisant, mais moins fécond Peps 8 août 2006 à 11:46 (CEST)

C'est peut-être clair pour toi, ça l'est aussi pour moi, mais j'ai interrogé des gens pour voir ce qu'il pensait de l'article. Des avis extérieurs c'est toujours le bienvenu. Visualiser la bouteille de Klein n'a rien de simple, et d'après pas mal de personnes, cela donne une mauvaise image de ce qu'est une variété.

Plus important : tu n'as pas répondu aux deux autres questions ! Ektoplastor, même jour, 13:10

je persiste à faire la différence entre "accroche" (on pose le problème franchement, même de façon trop brutale), et introduction (on prend le lecteur par la main). Dans ce cadre la bouteillede klein en premier est logique. Par ailleurs je la teste aussi sur au moins 48 personnes chaque année, elle passe bien... L'idéal serait d'en avoir une version "grillage" avec une fourmi qui se balade dessus (Escher a fait ce dessin je crois)

pour les espaces tangents sauf erreur j'ai répondu qu'il ne fallait pas en parler dans cet article

pour l'historique j'ai aussi donné mon avis : l'ordre logique c'est après les matériaux nécessaires à la compréhension, mais après y a des gars qui gueulent parce que partout ailleurs sur WP c'est au début. Moi je m'en ponce les pénates Peps 8 août 2006 à 13:23 (CEST)

Bon, va pour la bouteille de Klein, sinon, on va y passer la journée !

Pour le dessin d'Escher, tu confonds avec un ruban de möbius (=le plan projectif réel moins un disque). D'ailleurs, pour accroche, je préfère mettre le ruban de Möbius que la bouteille de Klein.

c'est plongé dans R3, c'est non abstrait ! si tu mets une image comme celle-là elle n'a "rien de particulier". Et la surface de Boy en grillage du palais de la découverte, elle serait pas en photo qque part ?

Le ruban de Möbius est peut-être plongé dans R3, mais 1) il n'est pas orientable (et en particulier, il ne peut pas être le bord d'un domaine connexe), 2) en recollant un disque, tu obtiens le plan projectif, donc 3) le plan projectif n'est pas orientable et étant compact, 4) ne peut pas être plongé dans R3, et 5) tu as soulevé des questions et des constructions dignes d'intérêt, et 6) tu as présenté déjà deux surfaces. Seti pas bô, sa ?

oui il s'insère très bien dans les développements ultérieurs, si tu le mettais dans l'accroche, quelle légende rendrait compte de tout cela. Sans compter que j'ai supprimé les questions d'orientation, parce qu'il faut cerner le discours.

Bah, je mettrais une jolie animation en dimension 4 où on voit un disque se recoller à un ruban de Möbius, pourquoi ?

Espace tangent : OK on n'en parle pas.

Exemples : soit, mais si on garde le plan actuel, il faut virer toutes les références aux exemples dans l'histoire des variétés. Je te laisse le soin de le faire ?

ponce-pénates j'te dis...

Je persiste !

Attention, longueur de l'article

Attention, ne rajoutons pas tous des remarques tous seuls dans nos coins respectifs (c'est ce que je viens de faire, je suis donc premier accusé). L'article doit garder une longueur raisonnable, et il est en train d'enfler.Salle 7 août 2006 à 22:52 (CEST)

Pour l'instant, la longueur me semble raisonnable. La démonstration que tu ajoutes n'est pas très longue. Quid des remarques que je vais ajouter à la fin de l'article ?

Ektoplastor, même jour, 23:05 CEST

Patchwork ou recollement ?

Les deux se disent. Mais patchwork pose deux problèmes :

• La terminologie est anglaise, et on va croire qu'on a traduit bêtement l'article. De plus, il faut mieux utiliser les termes francophones en français et les termes anglophones en anglais.
• Patchwork a une connotation monde de l'entreprise : on fait un pathwork entre l'ensemble des données qui nous ont été communiqués.

Ektoplastor, le 7 Aout, 23:11 CEST

Moi, je suis pour recollement ; incidemment, un patchwork, c'est avant tout ça ; et le mot est utilisé en français dans ce sens.Salle 7 août 2006 à 23:21 (CEST)

Personnellement, c'est moi qui ai ajouté atlas abstrait, et c'est ce que j'aurais employé s'il n'y avait pas eu patchwork avant. Je suis d'accord pour recollement. J'aime bien l'analogie avec la couture pour patron et j'aurais utilisé patchwork pour le recollement par les bords plutôt. Peps 7 août 2006 à 23:57 (CEST)

J'ajoute que je suis mécontent du paragraphe 6 ! La notion de quotient est mise en second plan comme une notion inutile ; alors qu'elle joue un rôle central. Voilà comment je réorganiserai la section 6 :

• Produit cartésien : c'est la construction la facile des trois.
• Recollement de variétés. Variétés à bord, recollement selon le bord.
• Quotient de variétés. Intérêt : espaces homogènes + revêtements. Différence : le premier cas est continu, le second discret.

Je ne mettrai aucune sous-section.

Là, je ne vois pas bien ce que tu veux dire ; en gros, l'organistion actuelle, par rapport à celle que tu proposes, c'est juste inverser les points 1 et 3. Et tout le point 1 (qui occupe plus de la moitié du parag 6) actuel parle de quotient, même si le mot ne vient qu'à la fin, non? Donc, je n'ai pas l'impression que le quotient soit maltraité, mais qu'au contraire, il est plus mis en avant que dans ta proposition (car au début). Tu dois avoir une lecture différente du truc, dis laquelle.

Après, je suis d'accord qu'un lien vers revêtement pourrait être profitable (à condition d'arriver à en faire un éclairant, et pas trop coûteux en longueur.

Pour ce qui est d'enlever les sous-sections, je ne suis pas sûtr que ce soit une bonne idée ; elles permettent de hiérarchiser l'information et de faciliter la lecture, pour moi.Salle 7 août 2006 à 23:29 (CEST)

En gros, l'organisation actuelle est plus que décevante. En fait, le quotient de variétés est une opération spécifique aux variétés qui est à peine décrite. Je n'ai pas été précis : je parle de quotient d'une variété par un groupe de Lie. On peut se contenter dans l'article de parler de groupes discrets, mais on ne peut pas, on ne doit pas passer outre ! C'est un point central incontournable, c'est un fondement de la géométrie différentielle, c'est le socle de la forteresse, le pilier du temple, etc etc ...

Il est impliqué dans la théorie des revêtement, dans la théorie des espaces homogènes, dans la théorie des fibrés vectoriels, des fibrations, ... Ektoplastor, même jour, 23:45

D'accord, je n'avais pas compris (encore une fois, désolé!). Mais dans ce cas, on repart dans des trucs plus avancés? à mettre dans le désormais mythique parag 3.3? Ce que je veux dire, c'est qu'on ne peut pas tout mettre dans cet article ; pour mopi, le but, c'est de faire un article introductif accessible à un aussi large public que possible. On peut faire une toute petite sélection de thèmes plus avancés, juste à évoquer, à mettre dans un parag bien délimité, pour donner un flavour. Et mettre dans ce parag les liens vers les articles plus costauds où tu pourras t'en donner à cœur joie. J'ai l'impression qu'en procédant autrement, en mêlant les trucs de base et les trucs avancés, on arrivera à un salmigondis qui ne profitera à personne. Qu'en penses-tu?Salle 7 août 2006 à 23:54 (CEST)

je peux la caser mon intervention :) ? j'ai eu un conflit de modif, voici ce que j'écrivais

j'appuie les réserves de Salle, puisque j'avais changé l'ordre des paragraphes avec les idées qu'il décrit : mettre en relief la méthode de l'atlas abstrait en la donnant en premier, découper en unités logiques (sous paragraphes) cette "zone difficile" de l'article

actuellement on parle effectivement très peu du quotient en général (il est vu comme un moyen). Mon avis est que, comme il recouvre des situations très différentes, et que les formulations font intervenir forcément des difficultés techniques plus élevées que le niveau moyen de cet article, il vaut mieux faire un renvoi à un article détaillé variété quotient où on expose tout cela de façon moins étriquée, avec des exemples. Peps 7 août 2006 à 23:59 (CEST)

et on voit que ça rejoint les réserves de Salle : il faut cerner où on veut s'arrêter pour cet article ci. Qui trop embrasse... Peps 7 août 2006 à 23:59 (CEST)

avis sur des modif

Le risque c'est la longueur (je ne fais pas partie des ayatollahs des 32 kO, mais je trouve que sous 45 ce serait bien pour cet article) ; il faut décider de quand on déporte des infos vers d'autres articles.

Il y a deux ajouts que je trouve peu éclairants voire un peu nuisibles

• celui sur la classification des variétés de dimension 1 (parag 1.3.) : c'est une parenthèse, et en plus c'est mal formulé (on ne parle pas de connexité, on met des variétés à bord sans d'ailleurs les mettre toutes). À ce stade on donne juste des exemples très simples, je ne vois pas d'intérêt à être exhaustif. De plus, je suis pour mettre les variétés à bord hors course sauf dans le paragraphe 6.2, sans quoi on se noie dans les détails

Fait, en accord avec Ektoplastor, je crois.

OK

• celui sur la lemniscate : dire que ce n'est pas une variété suffit, si c'était une variété, on trouverait un petit domaine tel que... Je pense qu'on noierait l'essentiel - l'aspect local n'est pas respecté - à prouver qu'une croix n'est pas un cercle.

Mince, en plus, j'ai essayé de prouver qu'une croix n'est pas une droite alors qu'il fallait montrer que ce n'est pas un cercle? Sérieusement, je suis d'accord avec toi, et je préfère la version initiale ; j'ai eu une petite faiblesse, à force d'agresser Ekto sur toutes ses modifs, je me suis senti tout honteux, et ce tout petit détail-ci qu'il avait rajouté, je l'ai énormément gonflé au lieu de l'enlever.Salle 8 août 2006 à 00:15 (CEST)

Et puis c'est quoi un dunnet ? c'est un donut ? la fourmi ne peut-elle se contenter d'un pneu ? Peps 7 août 2006 à 23:56 (CEST)

elle est sur un cable de dimension deux en plus cette fourmi ? je suis paumé là.

à propos j'avais pensé à parler de la BD les Krostons, mais qui connaît les Krostons maintenant ? ; ils passent sous les portes en se réduisant à la dimension deux. Peps 8 août 2006 à 00:18 (CEST)

dans le paragraphe "advanced delirium" on pourrait prononcer le mot structure exotique notamment à propos de S⁷ et de R⁴ ? juste parce que ça fait rêver un nom pareil :) Peps 8 août 2006 à 00:22 (CEST)

Moque-toi de mes exemples ; en tout cas, je n'ai pas dit trop de bêtises, moi (localement, une courbe est un intervalle ouvert, non un cercle comme tu prétends l'affirmer ci-deesus). Et toc. Et puis, l'exemple d'une fourmi qui marche est plus parlant que celui d'une guêpe coincée entre deux plaques (opaques qui plus est) je-ne-sais-comment. La fourmi marche d'abord sur un cable (premier exemple), puis si tu veux sur un tore pour que le lecteur comprenne bien la difficulté qu'elle aura de voir la différence (évidemment, là il y a la courbure qui lui donne une indication de la forme, mais passons).

Ektoplastor, le 8 Août, 9:04,

de nouveau, il y avait une raison : une fourmi sur un beignet a conscience de l'existence d'une 3e dimension, d'un monde environnant. C'est pourquoi je voulais des vitres opaques. Peps 8 août 2006 à 11:48 (CEST)

Les fourmis ne peuvent pas se déplacer dans l'espace. L'être humain a pris conscience d'une quatrième dimension, éventuellement même de plusieurs, quand bien même il continue de se déplacer dans trois (heureusement, car sinon, l'histoire s'arrêterait là).

Je préfère l'exemple (traditionnel et peu original) des fourmis car au moins c'est clair. Dans ton exemple, à moins d'écraser les guêpes (auquel cas on obtient de la bouillie de guêpes), il restera toujours un espace suffisant pour que les guêpes puissent se déplacer dans trois dimensions.

Demande l'avis d'un physicien, et d'un biologiste.

Ektoplastor

il est évident que tout cela est une vue de l'esprit. Mais le titre du paragraphe est "intrinsèque contr eextrinsèque" et en terme de perception de la distance ça change tout ! si deux fourmis sont sur le cercle intérieur sur un donut, elles se croiront plus proches qu'elles ne le sont. Pareil si je suis sur la surface de la Terre : d'une montagne je vois la distance à vol d'oiseau à une autre montagne, ce n'est pas bon comme description. Peps 8 août 2006 à 13:28 (CEST)

En attendant, une courbe est localement un cercle ... Bravo. (J'aime bien enfoncer les clous.)

bin oui une courbe et un cercle, localement c'est pareil, donc une courbe est localement un localisé de cercle (qué mauvaise foi ?)

tu as écrit : celui sur la lemniscate : dire que ce n'est pas une variété suffit, si c'était une variété, on trouverait un petit domaine tel que... Je pense qu'on noierait l'essentiel - l'aspect local n'est pas respecté - à prouver qu'une croix n'est pas un cercle. Mince, en plus, j'ai essayé de prouver qu'une croix n'est pas une droite alors qu'il fallait montrer que ce n'est pas un cercle? ; tu parlais de l'étude de la topologie locale du lemniscate en l'origine. Traduit tu dit que tout voisinage connexe ouvert d'une courbe est un cercle ou quelque chose de ce genre. Warf.

Pour ce qui est de l'image, je continue à préférer mes fourmis (elles marchent sur un ruban de Möbius, sur un cable et sur un truc torique). Tes guêpes ne savent pas en faire autant ! Et toc.

aucun problème, suffit d'un bon souffleur de verre, c'est tout. En outre, le problème est surtout de faire une description locale, et même au niveau local, une fourmi voit bien qu'elle est sur un donut qui est lui même dans un espace ambiant, et pas incrustée dans le bord du donut. Les guêpes, si elles ont toujours vécu dans mon dispositif vicieux, peuvent bien s'imaginer qu'il y a deux dim + une différente (comme nous en sentons 3 + 1 qui n'a rien à voir). Peps 8 août 2006 à 13:59 (CEST)

Mes fourmis ne sont pas moins débiles que tes guêpes.

Ektoplastor, le 9 Août, 13:50

manques de l'article

• on ne parle pas de la déf des variétés par une ou plusieurs équations (hypersurfaces, intersection d'hypersurfaces avec le problème de la transversalité)
• les variétés algébriques ne se casent pas facilement dans l'article, d'ailleurs parce que leur mode d'intro le plus simple est le point de vue précédent.

De nouveau, j'ai l'impression que si on veut être exhaustif, on va relancer le lecteur sur un nouveau paquet d'idées et risquer de le noyer. Le plus simple serait de dédier un article détaillé à ces questions, mais sous quel nom : système d'équations (déjà pris par les systèmes linéaires) ? Je suis circonspect Peps 8 août 2006 à 00:41 (CEST)

Variété algébrique est à virer de l'article sans réfléchir : une variété algébrique est tout sauf une variété topologique. Il n'y apas à réfléchir. Pour une fois les anglais font preuve d'une plus grande réflexion sur la terminologie. C'est une gachure d'avoir appelé vaiété et variété.

Pour ce qui concerne les modes de définition, on peut en parler dans la section sur les recollements, juste après, en indiquant l'existence d'un article Variété implicite.

Pour l'ouverture finale (joli feu d'artifices), je compte ajouter :

1. Classification des courbes, Classification des surfaces (renvoi vers Classification des surfaces), questions en dimension supérieure, ...

2. Petites dimensions contre Grandes dimensions ; contraintes contre degrés de liberté, ...

Ektoplastor, le 8 Août, 9:13

je suis d'accord qu'il faut considérer les variététs algébriques comme hors sujet vu la direction qu'a pris l'article, mais par ailleurs il faut reconnaître que le titre variété (géométrie) s'applique aussi à elles, c'est ça qui m'embête. Il faudra bien en parler quelque part, même si c'est pour les évacuer. Peps 8 août 2006 à 13:30 (CEST)

Ah moi pas du tout d'accord avec Ektoplastor : la topologie des variétés algébriques est plus intriguante, mais c'est pour ainsi dire un autre point de vue sur les mêmes objets (le cercle toujours lui pour commencer). --Touriste 8 août 2006 à 13:35 (CEST)

Les variétés algébriques sont en général non séparées. Quant à l'exemple des variétés algébriques complexes, il faut introduire la notion de points réguliers (je ne me rappelle plus le vocabulaire exact) pour affirmer que l'ensemble des points réguliers est une variété complexe, ou un énoncé dans cet esprit. (Je trahis la limite de mes connaissances.) Franchement, le dire dans cet article, je le sens mal. Ektoplastor, le 8 Août, 13:50 CEST

je suis d'accord mais je trouve nécessaire de faire un lien genre page d'homonymie : pour la notion de variété algébrique, qui intervient aussi en géométrie, voir variété algébrique. Et puis on peut en reparler au moment du paragraphe sur les var implicites en disant que si le système est polynomial, alors en plus c'est une variété algébrique. Ca ne coûte pas cher Peps 8 août 2006 à 14:15 (CEST)

Suppression

Les variétés ne sont pas le fait d'un seul homme, mais la somme additionnée des travaux de plusieurs générations de mathématiciens. Il faut se rendre compte que la définition formelle de la variété est une victoire de la pensée humaine. Réellement le fruit d'un travail collectif, d'une réflexion d'ensemble sur la mise en place d'un bureau de travail convenable.

Pourquoi a-t-on supprimé cette phrase au début de la section Histoire ? Je trouve que c'est important de préciser car ce n'est pas toujours le cas en mathématiques.

Ektoplastor, même jour, 9:30

dans quelle version cela se trouvait-il ? à froid ça me paraît assez ceux, puisque je trouve qu'au contraire, toute invention se place dans une évolution. à moins que tu détailles ton point de vue ? Peps 8 août 2006 à 13:40 (CEST)

Cela se trouvait au début de la section histoire. Je trouvais que commencer d'emblée sur : Euler découvrit la relation d'Euler, c'était sec et brutal. Ektoplastor.

Pour tourriste

J'approuve tes modifications, je trouvais déplacées et malheureuses les phrases que tu as supprimées.

Toutefois, en géométrie, fermé et ouvert concernant une variété n'ont pas la même signification qu'en topologie. En topologie, tout espace est fermé et ouvert dans lui-même. Par contre, une variété est dite fermée losqu'elle est compacte sans bord et ouverte lorsqu'elle est non compacte sans bord. Disons que ça correspond à l'image qu'on a d'une variété ! Ce vocabulaire spécifique à la géométrie mérite d'être précisé quelques parts ?

Ektoplastor, le 8 Août, 9:45

Ça ne me semble pas indispensable pour ma part, même si j'avais déjà vu ce genre de mots. L'article n'a pas pour vocation de définir tous les termes en rapport avec les variétés ; soyons le plus concis possibles sans devenir pour autant illisible. Mais je ne prends pas ça comme une question bien importante. --Touriste 8 août 2006 à 12:28 (CEST)

D'accord avec Touriste.Salle 8 août 2006 à 12:52 (CEST)

Je disais donc (je vais bien finir par me faire comprendre ?) : tel que c'était écrit, c'était faux. Et Touriste a eu raison de supprimer. Seulement, fermé et ouvert ont des significations spécifiques aux géomètres ; on rencontre régulièrement cette terminologie à la fois dans les articles de recherche, à la fois dans des livres avancés, mais aussi et surtout dans les articles de vulgarisation. C'est pour cette dernière raison qu'il est important d'en préciser la définition. Si on lit fermé ou ouvert en un sens topologique, alors de nombreux auteurs pourtant de bonne réputation sont injustement pris pour des imbéciles.

Ektoplastor, qui, soit dit en passant, s'est toujours refusé d'utiliser ce vocabulaire pour éviter toute confusion ...

La suppression était nécessaire, non seulement parce qu'il y avait des problèmes (et encore on n'a pas parlé de variété complète...) mais parce que ça partait dans du hors sujet. C'est à préciser dans l'article technique variété topologique ou on n'hésite pas à préciser le vocabulaire topo et les spécificités d'emploi pour les variétés. Peps 8 août 2006 à 13:44 (CEST)

Correction : Ce serait à préciser dans l'article technique variété topologique ou on n'hésiterait pas à préciser le vocabulaire topo et les spécificités d'emploi pour les variétés. L'article est à écrire, à vos claviers ! Ektoplastor, 8 Août, 13:53 CEST

Allusion aux "Arrangements"

Le mot arrangement affilié à variété algébrique ne me dit rien et Google ne me donne rien de clair ; le lien interne pointe vers les bons vieux arrangements de mathématiques élémentaires, sans rapport. Ce qui est décrit ressemble aux schémas. Une erreur de dénomination à corriger ? Je le ferai dans quelque temps si personne ne trouve une autre interprétation. --Touriste 8 août 2006 à 12:28 (CEST)

Avant de te lancer sur la modification (tu as certainement raison sur le vocabulaire), il faudrait discuter trente secondes de la place des variétés algébriques ! Ektoplastor, le 8 Août, 13:55

Partie 7

J'ai envie de rajouter un petit commentaire sur la classification ; j'attends votre avis ; tout ça est écrit en fonction de ma vue des choses, qui part de très bas, et il est tout à fait possible que je dise des bêtises énormes :

Un problème intéresse particulièrement les mathématiciens : pouvoir dire quand deux variétés se ressemblent tellement qu'on peut considérer qu'elles sont les mêmes ; par exemple, le cercle considéré comme sous-variété du plan, ou le cercle abstrait construit par recollement sont ensemblistement deux objets différents ; mais on peut les identifier en tant que variété, c'est-à-dire établir une bijection entre eux, qui soit compatible avec les cartes (dire plutôt : avec la topologie?). Cette bijection est appelée homéomorphisme ; et le problème général devient : quand peut-on identifier deux variétés à homéomorphisme près?

Les premiers résultats (mentionner la dimension?), très partiels, dans ce sens sont donnés par la caractéristique d'Euler, et le genre, pour une surface ; deux variétés n'ayant pas même genre ne peuvent pas être homéomorphes ; la caractéristique d'Euler se généralise aisément aux dimensions supérieures, grâce à la notion de face de dimension supérieure ; ce qui devient vraiment important est alors la configuration des triangulations des variétés, et la caractéristique d'Euler ne code qu'une partie des informations sur ces triangulations. Pour avoir accès aux informations restantes, il faut abandonner l'idée d'invariants numériques, et étudier des invariants algébriques associés aux triangulations : c'est la naissance des méthodes homologiques et cohomologiques, suivant les idées de Poincaré sur la cohomolgie singulière.

Ces méthodes cruciales s'adaptent dans un certain sens, en modifiant les cohomolgies considérées aux types de variété plus rigide : variété diff et cohomologie de De Rham, etc... Les invariants obtenus ne forment en général pas des systèmes complets d'invariants : c'est-à-dire que deux variétés peuvent être topologiquement distinguables, alors qu'elles sont cohomologiquement semblables.

Un autre problème intéressant de classification provient des déformations des variétés plongées, des sous-variété : on ne s'autorise alors plus n'importe quelle déformation, mais seulement certaines qui respectent la topologie de l'espace sous-jacent : les homotopies. Les méthodes cohomologiques, mais aussi des méthodes homotopiques sont utiles. On obtient des classifications plus fines, où le nœud trèfle, et le cercle, confondues homéomorphiquement, sont cette fois bien distincts. La théorie des nœuds notamment s'intéresse à ce genre de questions.

Remarquons enfin que, curieusement, la dimension 4 (et la dimension 3? Poincaré, Perelman?) pose souvent des problèmes particuliers pour ce genre de questions. Salle 8 août 2006 à 12:51 (CEST)

j'aime bien l'ordre d'exposition ci-dessus. Les dimensions à problème, ce sont les petites effectivement Peps 8 août 2006 à 14:10 (CEST)

ou les grandes (existence d'une structure symplectique en l'occurence !). Ca dépend, c'est 50-50. C'est le même problème avec la rigidité et la souplesse, l'un ne vaut pas plus cher que l'autre, cela dépend de la situation ! Parfois, on est bien content d'être en petites dimensions, et parfois non ...

Corrections :

Le terme bijection est inapproprié : toutes les variétés ont même cardinal. C'est point important d'un point de vue logique : la classe des variétés identifiées à iso près est bien un ensemble (c'est rassurant).

Le genre ne donne pas la caractéristique d'Euler (il faut en plus savoir si la surface est orientable ou non pour en déterminé la parité !). Ektoplastor.

Bin, un homéomorphisme, c'est bien une bijection bicontinue, non? Je ne crois pas avoir dit autre chose. Et pour le genre, je ne crois pas non plus avoir dit qu'il donnait la caractéristique d'Euler. J'ai intégré ce paragraphe, puisqu'il ne semblait pas rencontrer d'objectionSalle 9 août 2006 à 22:06 (CEST)

Liste des questions en suspens

Bon puisqu'il faut atteindre des décisions le mieux c'est de voter pour les exemples, et puis ça attirera peut être d'autres participants

1. l'accroche : bouteille de Klein ou ruban de Möbius ? (cf discussion ci-dessus)

   Bouteille de klein

   1. Peps
   2. Salle

   Ruban de Möbius

   1. Touriste
   2. Ektoplastor
2. les habitants de la dimension deux fourmi sur un donut ou guêpe entre deux vitres fumées (cf discussion ci-dessus)

   fourmis

   1. Touriste (histoire d'aider en donnant un avis, mais sans préférence marquée)
   2. Ektoplastor, merci, Touriste

   guêpes

   1. Peps

   aucun des deux idée : arrivons à une analogie claire pour la dim 1 (et ce n'est déjà pas facile!) et laissons tomber la dim 2

   1. Salle

Autres points à régler

• êtes vous d'accord avec la façon dont variété quotient est annoncé ? il faut créer les articles ensuite.

1. Me semble assez raisonnable, oui. Touriste
2. Perso, je mettrai le sujet plus en avant, sans en dire plus pour autant (Ektoplastor)
3. Ca me convient comme c'est, mais on peut certainement améliorer ; je suggère qu'Ektoplastor nous soumette un peu plus précisément comment il voit les choses en discussion. Salle

• rédiger un petit truc sur variété implicite, plus lien vers article dédié et intersection transversale

1. L'aspect "implicite" me semble essentiel même dans l'article d'introduction ; la transversalité peut être renvoyée à des articlesplus avancés. Touriste
2. Idem (Ektoplastor)
3. pourquoi pas? A mettre en 5.4, sous le titre Vérification de la structure de sous-variété?Salle

• mentionner (et pas plus) qu'il existe une notion de variété algébrique

1. Il va falloir que je me secoue un peu, mais je trouve qu'elles sont les grandes absentes de l'article. Bon je suis bien conscient que ce n'est pas de jeu de dire vous devriez en écrire plus à leur sujet. La géométrie algébrique est une branche de la géométrie à part entière, et son poids dans l'article devrait refléter plus ou moins son poids dans les mathématiques, en tous cas ne pas être négligeable. Touriste

le problème c'est que ça représente deux points de vue méritant chacun un article à part entière ; je pense qu'il vaut mieux imaginer deux articles jumeaux (et un éventuel article de synthèse après coup, pour ceux qui auraient survécu aux deux articles). Mais alors se pose la question des titres. Je trouve variété (géométrie) assez criticable de ce point de vue Peps 8 août 2006 à 14:46 (CEST)

En effet j'étais en train de réaliser en relisant les commentaires qui précèdent le jeu variety/manifold des anglophones. Un problème ce machin, un problème. Remplacer le titre par "Variété (géométrie différentielle)" ? --Touriste 8 août 2006 à 14:48 (CEST)

Après un peu de clic sur les interwikis, j'aime bien le choix des hispanophones cf .es:Variedad (matemáticas) : un article "Variété (mathématiques)" très court, qui met en parallèle les aspects différentiels et algébriques, avec des clics possibles vers les deux points de vue. C'est un peu troublant de voir comment les choses sont rangées différemment d'une langue à l'autre pour de simples questions de vocabulaire. --Touriste 8 août 2006 à 14:53 (CEST)

Il y adéjà une page variété qui donne les différents aspects. On peut y inclure un lien vers Variété (topologie et géométrie différentielle) et Variété (géométrie algébrique). (?) Ektoplastor

La dernière position d'Ektoplastor me convient très bienSalle

so be it !

Modif "unilatérale" de Salle

D'abord pour les votes c'était surtout pour vos forcer à lire notre ennuyeux aparté à Ektoplastor et moi :), je ne pense pas effectivement que le simple comptage soit le moyen d'atteindre une décision (sauf si on est tous fortement du même avis contre un, c'est un moyen de s'en rendre compte).

Pour ta modif "être insensible à la courbure" ne suffit malheureusement pas : il peut y avoir du refermement sans courbure (cf le tore "naturel" et les droites de pente rationnelle ...). Le noeud du problème est en fait la sensation (que les trains n'éprouvent pas c'est vrai) des dimensions, c'est ce qui rend l'exemple difficile à formuler si on veut être complètement honnête. Peps 8 août 2006 à 17:08 (CEST)

Oui, en fait dans mon idée, je ne voulais pas dire qu' être insensible à la courbure serait suffisant ; je me disais juste que ce serait l'argument qui viendrait le plus facilement à l'esprit du lecteur pour se dire que notre (je devrais dire ma?) analogie était pourrie, et que le passager se rendrait bien compte de ce qui lui arrivait ; et faire cette remarque permettait juste de lui (au lecteur) faire comprendre que le passager vit dans un monde idéalisé, et qu'il ne faut pas trop chercher à faire tomber l'image, parce qu'elle est effectivement vacillante ; je rajoute par exemple.

Je rajoute aussi un truc sur le repérage, pour que ce soit plus clair.

Sinon, que pensez-vous de l'idée qu'un bon exemple en dim 1, vaut mieux qu'une longue discussion sur un exemple en dim 2 , qui au fond n'apporterait rien de plus?Salle 8 août 2006 à 18:26 (CEST)

Pas des masses d'accord non, la dimension 1 me semble un peu trop particulière, avec par exemple son absence de concept de courbure quand la variété est riemanienne. Cela étant, je ne suis pas convaincu de la nécessité du paragraphe sur "intrinsèque et extrinsèque" ; évidemment je parle depuis la position de quelqu'un qui connaît le sujet, mais je ne suis pas du tout convaincu qu'il puisse apporter quelque chose à quelqu'un qui vient de l'extérieur - c'est le genre de choses qu'on comprend a posteriori quand on en connaît assez. --Touriste 8 août 2006 à 18:32 (CEST)

Bin, dans ce cas, tu es d'autant plus d'accord qu'on peut se passer de l'exemple en dim 2 que tu veux te passer de toute la section. Je trouve que ce qu'a commencé Peps est pas mal pour donner conscience au lecteur qu'il y a quelque chose qui se passe, en termes très informel, et je trouve qu'on doit lui laisser une chance devant un public plus large ; si jamais tout le monde nous dit que c'est impigeable, on avisera.Salle 8 août 2006 à 18:40 (CEST)

Ce qui m'ennuie plus en revanche, c'est que mon argument est vraiment tout pourri : c'est un argument plan, et qui ne se rapporte donc pas au nœud trèfle, mais au diagramme associé, qui n'est évidemment pas une variété. Je modifie donc le truc de l'observateur extérieur, qui va être un espèce de Gargantua qui va essayer de dénouer le nœud, je ne vois pas d'autre façon de m'en sortir.Salle 8 août 2006 à 18:36 (CEST)

D'accord ... C'est la notion de courbure pour les courbes ... Imaginez maintenant que je sois un élève surdoué de terminale S qui lit des tas d'articles de vulgarisation de maths et qui se pose la question : Mais c'est quoi donc à la fin le point de vue intrinsèque d'une variété ? J'pige rien moi, ah tiens, y a un article sur le sujet ... La seule chose qu'il lira est l'histoire d'un train dans un tunnel sans fin pour expliquer le point de vue intrinsèque en dimension 1, qui n'a pas de courbure et ... Ben c'est quoi donc la courbure ?

Au moins, mon exemple de la fourmi a l'avantage d'être clair. Vous deux n'êtes pas représentatifs de la société française et moi non plus, car on se pose trop de questions. Mais un exemple encore plus facile et plus banal : la terre. Pendant longtemps les hommes croyaient que la Terre était plate, et il a fallu des siècles pour accéder l'idée qu'on vie sur un truc qui ressemble à une sphère (preuve que les gens ne se posent pas tant de questions). L'Histoire me donne raison : si une fourmi marche sur un donut géant de la taille de notre système solaire, elle se croira logiquement sur un plan ... Outre le régal de cet exemple, je le trouve moins idiot que celui du train.

Ektoplastor

Là, tu emportes complètement mon adhésion ; mais il n'y a plus ni fourmi, ni guêpe, donc je n'avais pas tort non plus :)Salle 8 août 2006 à 18:47 (CEST)

Aïe, désolé, je crains de m'être un peu trop enthousiasmé ; ton exemple de la Terre reste excellent, mais ce n'est pas tellement à mettre dans la partie intrinsèque/extrinsèque : même intrinsèquement, la sphère est différente du plan ; ce que ton exemple illustre très bien, en revanche, c'est un problème de point de vue local vs point de vue global ; donc, pour moi, à mettre vers le deuxième paragraphe de la section Les cartes. Es-tu d'accord?Salle 8 août 2006 à 19:50 (CEST)

Ouille, je suis loin d'être d'accord ...

... En effet, une sphère, ce n'est pas un plan, ça nous fait une belle jambe. Tout de fois, je vois la dichotomie extrinsèque/intrinsèque de la manière suivante : vu de l'extérieure, ça ne fait aucun doute, tous ceux qui ont vu une photo de la Terre ne peuvent plus nier qu'elle ronde (pourtant, elle tourne ...) ; mais en restant sur Terre, comment se rendre compte qu'elle est sphérique ? En fait, les cartographies trahissent sa forme car sont incompatibles avec la trigonométrie plane euclidienne. Mais lorsqu'on ne dispose pas d'instrument de mesure, ou qu'on n'a pas l'intelligence de comprendre et d'accepter cet argument ? Et si j'affirme qu'on vit sur une planète torique ? En fait, là encore les variations de gravité trahissent la forme, mais si je ne connais rien à la physique newtonienne ? Comme une fourmi ?

En restant sur une variété (point de vue intrinsèque), il devient beaucoup plus difficile d'en déterminer la forme exacte. Une raison philosophique est qu'il faudrait s'imaginer des dimensions supérieures et pouvoir se les représenter pour pouvoir dessiner la variété en question. Evidemment, on frôle la classification des surfaces, mais bon ...

Pour compléter sur du hors sujet, une hypersurface compacte de Rn est orientable, démonstration facile, point de vue extrinsèque. Mais comment fais-je pour savoir si c'est orientable lorsque je ne peux pas visiter l'extérieur ? La question de l'orientabilité existe pour l'espace temps et n'a pas de réponses : de toute manière, la seule chose qui importe est de savoir si deux particules physiques de même orientation peuvent se retrouver en un même endroit avec des orientations opposées. Le jour où on verra ça, on aura du souci à se faire ...

Pour moi, extrinsèque signifie de manière informelle qu'on s'autorise à utiliser librement l'espace qui entoure la variété pour étudier la topologie. En ce sens, mes propos sont plus parlants que ton histoire sur ton noeud de trèfle. Car ton noeud c'est un cercle et pour le coup, ça ne me parle pas : une bestiole unidimensionnelle (un ver de terre !) a la possibilité de savoir s'il vit dans un cercle en marquant sa position initiale. On ne voit pas toute la difficulté des questions intrinsèques !

J'ai été court sur le sujet dans l'article car tu as dit de faire attention à la longueur !

Ektoplastor, le soir, 23:20 CEST

cela dit tu parles de la sphère vue localement, comme un plan. Le relief ne rend pas ça évident du tout et l'idée de terre ronde a circulé de façon très ancienne, avant le calcul du rayon. Le relief perturbe d'ailleurs ton exemple. Le problème de la distance entre deux pics est un exemple de la pollution de l'intrinsèque par l'extrinsèque : même si mes pieds donnent telle distance entre les deux montagnes, mes yeux me disent qu'elles sont plus proches. Et c'est bien d'une description locale qu'il s'agit, elle est incorrecte parce que nos sens perçoivent plus que l'intrinsèque. Pour que ton exemple soit valable il faudrait à la fois avoir un regard local et que la terre soit lisse (donc un regard non local !).

Je me demande si plutôt que de chercher un modèle, forcément imparfait, il ne vaudrait mieux pas dire ce qu'il y a de non intrinsèque dans notre perception de la Terre par exemple. Peps 9 août 2006 à 00:00 (CEST)

il y a un deuxième truc qui m'ennuie c'est qu'on mélange deux choses

• la topologie : vous êtes plusieurs à dire que l'exemple du train est trop naïf, mais je fais remarquer qu'il contient toute la théorie des noeuds, ce n'est déjà pas rien.
• la métrique (courbure) qui demande de la structure en plus et qui se calcule aussi bien de façon intrinsèque qu'extrinsèque, ce qui complique la compréhension Peps 9 août 2006 à 00:15 (CEST)

Je ne te reproche en aucun cas ta concision dans l'article, déjà. Ensuite pour l'orientabilité, j'utilise un joker. Pour le reste, tu ne m'as pas convaincu, donc je retente ma chance. Une fourmi très courageuse, même en s'en tenant à son point de vue intrinsèque, va réussir à se rendre compte qu'elle n'est pas sur un plan ; en utilisant une méthode globale. Bien évidemment pas une méthode à la Magellan (circumnavigation), en faisant un tour, et en mesurant des angles (donc une fourmi non métrique). Un truc beaucoup plus simple (:)) : elle va considérer sa fourmilière comme un point, prendre un lacet autour de ce point (là, je ne vois pas trop une fourmi faire ça, mais disons que c'est une super-fourmi), et tenter de l'homotoper à un point. Si je reviens assez longtemps après, ma fourmi parfaitement intrinsèque et non métrique aura réussi cette homotopie, et se sera rendu compte qu'elle ne vit pas sur un plan ; et ce qui lui aura permis de faire ça, c'est précisément d'être une fourmi globale qui aura fait parcourir à son lacet tous les points de sa sphère (sauf la fourmilière).

Et donc, on est parfaitement d'accord que le point de vue intrinsèque, c'est ne pas faire appel à l'espace ambiant.

Bilan : une fourmi intrinsèque arrive aussi bien qu'un observateur extrinsèque a distinguer une sphère d'un plan ; donc je ne pense pas que ton exemple illustre bien ce paragraphe. En revanche, Gargantua extrinsèque parvient à distinguer le nœud trèfle du cercle ; mais je ne vois pas comment le ver de terre intrinsèque va réussir à faire ça? Et donc cette illustration convient.

Pour ma référence à la non-perception de la courbure, je la défends : déjà, on peut raisonnablement penser qu'un lecteur aura une perception au moins intuitive de la courbure : c'est une valeur qui mesure à quel point une courbe est courbée. Ensuite, c'est ce qui m'assure que mon ver de terre est non métrique, ce qui est important (mais je n'ai pas dit que c'était suffisant), pour qu'il ne puisse pas appliquer le théorème de (je ne sais plus, Whitney-Grauenstein, peut-être, qui relie courbure et nombre d'enroulement?), comme il était important que ma fourmi soit non-métrique.Salle 9 août 2006 à 01:02 (CEST)

Peps a raison sur un point : il y a sans cesse des confusions entre l'aspect topologique et l'aspect riemannien. Je me suis bien gardé de les faire mais j'ai précisé comment faire la différence d'un point de vue métrique par l'intuition de la courbure (qui ne donne pas d'informations sur la topologie globale).

Je réponds aux deux à la fois :

• Pourquoi parler de courbure ? Il suffit de dire que le train est futuriste et compense les forces centrifuges. Le lecteur connait bien l'existence de ces forces dans les virages pour les avoir expérimentés quand bien même il est incapable de les mettre en équation et encore moins de les relier à la courbure (dont il ne connait certainement pas la définition). Je sais, c'est du détail, mais bon ...
• Plus sérieusement, l'exemple du train donne une mauvaise idée du point de vue extrinsèque. En aucun cas, il ne s'agit de comprendre la classe d'homotopie d'un plongement : cet exemple doit donc être rapporté à une section ultérieure. Le point de vue extrinsèque consiste à utiliser le plongement pour en déduire des informations sur la topologie effective de la variété en tant que variété à part entière en oubliant le dit plongement. Cette information pourrait être éventuellement démontrée intrinsèquement. La théorie des noeuds dépasse ce point de vue.
• J'ai cité l'exemple de l'orientabilité des hypersurfaces car c'est précisément une propriété type qui souligne l'importance de l'existence d'un plongement sans se poser la question de savoir comment la dite variété est plongée.
• L'étude extrinsèque est facilitée dans la mesure où on peut se déplacer hors de la variété. Les fourmis ne peuvent pas se déplacer hors d'une surface prédéfinie. Les explications de Salle confirment mon point de vue.
• Le fait de voir une montagne et d'avoir l'impression qu'elle est plus proche ne rentre pas en ligne de compte. Pour répondre précisément à Peps, on peut tenir compte du relief en cartographie et en restant sur terre, on peut démontrer que le niveau 0 n'est pas une sphère parfaite. Mais là, on donne de l'importance à la métrique. En tout cas, on reste d'un point de vue intrinsèque.
• Je n'ai jamais dit que les fourmis seraient incapables de se rendre compte qu'elles sont dans un monde compact. Rien de plus facile, il suffit qu'elles marquent leur territoire, comme le train marque sa position initiale pour savoir qu'il est dans un cercle. Cependant, contrairement à la dimension 1, cela ne suffit pas pour en connaitre la topologie globale !
• Evidemment, si c'est une super-fourmi (superman arrive à inverser le temps en inversant la rotation de la Terre, alors une super-fourmi ...). Mais je n'ai jamais dit que le point de vue intrinsèque n'arrivait pas aux mêmes conclusions que le point de vue extrinsèque. Seulement, le point de vue extrinsèque simplifie les démonstrations !

Ektoplastor, le 9 Août, 11:00 CEST

Cette fois encore tu m'as convaincu, j'espère que ce ne sera pas provisoire. Donc, je note bien que l'exemple du nœud trèfle ne répond pas à la même question.

En fait, il y a trois choses : point de vue intrinsèque, point de vue extrinsèque mais où on ne s'occupe que de la variété, et point de vue extrinsèque où on se demande comment elle est plongée, nouée. Et ce paragraphe doit expliquer les enjeux comparés des deux premiers.

Du coup, que faut-il dire? Il faut dire qu'avec un point de vue intrinsèque, on voit a priori moins de choses (même si en étant suffisamment malin, on arrive quand même à en récupérer pas mal) : par exemple, en n'ayant pas nos mouvements limités à la surface de la Terre, on aurait vite vu qu'elle était ronde (pas plane du moins), alors qu'en restant intrinséque, il faut par exemple l'expérience de la super-fourmi, qui est coton à réaliser ; ou alors des considérations métriques, mais, là je ne vous comprends pas : on rajoute plein de structure, et je ne vois pas trop l'intérêt ici?

Mais, ce qu'on veut, c'est convaincre que le point de vue intrinsèque apporte quelque chose ; et ça c'est dit : c'est parce qu'il permet de faire des recollements, etc., sans se casser la tête.

C'est bien ça?

Je reporte l'exemple du nœud trèfle dans ma proposition sur la partie 7.

Salle 9 août 2006 à 12:51 (CEST)

Je m'aperçois que si nous ne sommes pas d'accord c'est que nous ne sommes pas d'accord sur ce qu'il faut évoquer dans ce paragraphe ! Mon idée est la suivante : il s'agit d'expliquer ce qu'est une variété abstraite, conçue de façon intrinsèque (sans évocation d'un monde extérieur) et de montrer que la même notion de variété abstraite correspond à plusieurs visions extrinsèques distinctes. Exemple fondamental : les noeuds. Objectif : faire sentir que l'habitant ne sent pas le noeud, qu'il ne PEUT PAS le sentir justement !!!!!!! ce serait pareil avec un tore noué etc... Ce qui signifie que la réalité intrinsèque n'est pas la même que la perception extrinsèque, les classifs (homéo ou isotopies) ne sont pas les mêmes.

Quel est votre objectif ? je m'y perds un peu, parce qu'il a l'air de sortir du domaine de la topo pure pour empiéter sur le riemannien. Et je persiste à dire que les exemples DOIVENT être au moins accompagnés d'une mise en garde, puisque des habitants tridimensionnels se déplaçant sur un monde bidimensionnel réalisent parfaitement l'existence, les raccourcis, les facilités topologiques permises par cette 3e dimension.

Pour que le contenu soit clair peut être serait-il préférable d'appeler ce paragraphe distinction entre les points de vue abstrait et plongé ? Peps 9 août 2006 à 13:17 (CEST)

Mon objectif au début est le même que le tien, et mon dernier message correspond au moment où je me suis rendu compte que celui d'Ektoplastor était différent. Le problème de notre objectif, c'est qu'il est peut-être un peu trop ambitieux pour cet endroit-là de l'article. Voilà comment je vois les choses. Pour faire sentir la différence entre intrinsèque et extrinsèque, on peut dire ça :

L'Homme s'est vu confronté au problème ; en première approximation, il n'a qu'une vue intrinséque de la Terre, c'est-à-dire qu'il peut se déplacer à la surface, mais pas s'élever dans la dimension supérieure. De plus, il n'a qu'une vue locale de la Terre : il ne peut pas considérer tous ses points simultanément. Il a donc ignoré que la Terre ressemblait à une sphère et était persuadé de vivre dans un plan. La structure de variété de la Terre fait que, localement, la différence est effectivement difficile à faire. Il y a plusieurs moyens de pallier cette difficulté : on peut employer une démonstration topologique, utilisant la notion de simple connexité, mais qui nécessite de pouvoir considérer tous les points de la Terre : difficile en pratique ; on peut aussi utiliser des arguments métriques : on reste dans l'intrinsèque, mais on utilise une structure plus forte ; historiquement, les méthodes utilisées ont été métriques, mais ont aussi utilisé des repères extérieurs : ce ne sont donc plus des méthodes purement intrinsèques ; mais la méthode la plus simple est sans conteste de s'élever, de s'éloigner assez de la Terre : on peut constater alors, en en faisant le tour, qu'elle n'est certainement pas un plan ; on a alors utilisé le fait que la Terre est plongée dans un espace plus grand.

Mon habitant est bien sûr ponctuel ; est-ce que c'est vraiment une convention gênante? Et je n'utilise pas d'argument métrique en premier rideau ; les remarques sur la métrique sont juste des remarques.

Pour les arguments métriques intrinsèques, je l'ai mis juste parce que j'ai cru comprendre que tu disais au'on pouvait faire quelque chose comme ça en grimpant sur les montagnes ; je n'ai pas compris, à toi de voir si c'est bien ça, s'il faut virer, préciser, ou quoi. Pour le reste, je pense que ça convient.

Il me semble que c'est seulement après ce premier laïus qu'on va parler d'isotopie vs homéo, et donc du nœud trèfle. Mais c'est déjà quelque chose d'assez subtil concernant les classifications (cf nos dicussions) donc peut-être à ne pas mettre dans le paragraphe 1.3?

Hem ... le problème n'est pas que nous ne sommes pas d'accord sur ce qu'on met ou non dans ledit paragraphe ; c'est déjà qu'on n'est pas d'accord sur ce qu'est le point de vue extrinsèque !

La théorie des noeuds n'a rien à faire dans cette partie. Le fait qu'une même variété peut être plongée de diverses manières dans une seconde ne relève en aucun cas du point de vue extrinsèque. Si on prenait le temps de lire ce que j'ai écrit plus haut ...

Analogie. L'homme a appris à connaitre la véritable nature des étoiles. L'ensemble des étoiles de notres galaxie est une réalité. Leur observation nous apprend beacoup sur le passé de notre système planétaire et l'évolution de notre étoile, le Soleil. Le point de vue intrinsèque aurait été de se contenter d'observer le Soleil et ses planètes. Ce point de vue donne énormément d'informations. Mais le fait d'avoir à la portée de nos appareils l'observation d'autres étoiles change radicalement notre façon de pensée. C'est le point de vue extrinsèque. (Si la position de notre Soleil sur la couronne de notre Galaxie donne une indication sur son âge (sauf erreur de ma part), la position exacte sur la couronne importe peu.) On sort d'un système donné et borné pour en comprendre la nature en elle-même, mais aucune importance sur l'environnement. Peu d'accord, l'analogie a ses limites car bon, l'environnement du Soleil a joué un rôle, et pis a son importance. C'est juste une n+1-ième analogie.

Pour l'habitant ponctuel, peu importe : les physiciens font pire (ils introduisent des masses ponctuelles pour représenter une planète !).

Ektoplastor (franchement, faut avoir les nerfs solides avec vous deux.)

Là, tu abuses franchement. Pourquoi tant de phrases méprisantes tout à coup? On ne peut pas dire que jusqu'à présent, tu aies tellement cherché à comprendre ce que je disais. C'est d'autant plus regrettable qu'étant manifestement le plus compétent, on pourrait attendre de toi que tu fasses preuve de pédagogie et que tu mettes tout de suite le doigt sur les points de divergence. Qui a dit que la dénomination point de vue extrinsèque, ça excluait les considérations de topologie relative des variétés plongées? Voilà qui me semble tout à fait extrinsèque, au contraire.

Donc, en fin de compte, si on veut faire un travail collaboratif, ce serait bien d'éviter toutes les remarques désagréables du type de celles que tu fais, ou de celles que je viens de faire. :)Salle 9 août 2006 à 21:22 (CEST)

Après ce coup de gueule qui était nécessaire pour que je continue à travailler avec toi, je ne vois vraiment pas ce que ta dernière intervention apporte. Arguments, STP...Salle 9 août 2006 à 21:24 (CEST)

Je me suis relu et je n'ai jamais été méprisant à aucun moment. Tu prétends que je n'ai pas compris vos points de vue, cependant, j'ai clairement dit qu'on n'avait pas la même définition du terme point de vue extrinsèque et c'est un point sur lequel ta question rejoint mon affirmation, non ? J'ai donné l'exemple de la Terre (que tu semblais pourtant avoir compris), l'exemple des fourmis (le plus classique, repris par nombre d'articles de vulgarisation) et l'exemple de l'étude du Soleil (peu convainquant, mais que je pense plus accessible).

Dans le langage courant pourtant, la signification d'extrinsèque est la même que celle que je donne ici :

• Les causes extrinsèques à un phénomène sont les causes extérieures. Mais les conséquences concernent bien le phénomène en lui même et non l'environnement extérieur.
• La valeur extrinsèque d'une option (aussi appelée prime de temps) est la valorisation du temps restant avant la maturité d'une option. Elle se détermine d'après l'environnement économique mais est une propriété propre à l'action.

Là, j'avoue être à court d'arguments pour étayer mon point de vue, et je suis trop épuisé ce soir pour en chercher d'autres. Ektoplastor.

J'ai ressenti franchement, faut avoir les nerfs solides avec vous deux, et Si on prenait le temps de lire ce que j'ai écrit plus haut ..., comme des remarques méprisantes ; je présente mes excuses pour ma réaction inappropriée. Ensuite, ce qui m'a donné l'impression que tu n'écoutais pas trop ce qu'on te disait, c'est qu'on en est arrivé à un point où on discute sur la définition, dans le langage courant, du mot extrinsèque ; c'est donc, d'une, qu'on est d'accord sur les maths, et ça, c'était pas gagné au départ ; deux, qu'il ne sert à rien d'être aussi formel que tu l'as été (ex : en aucun cas), parce que sinon, on peut en toute bonne foi discuter des siècles pour savoir à quelle place on met la barrière intrinsèque/extrinsèque. Au cas où tu ne serais pas convaincu, déf du petit Robert : extrinsèque : qui est extérieur à l'objet dont il s'agit, n'appartient pas à son essence. Les considérations de variétés plongées me semblent ô combien extrinsèques, dans ce sens.Salle 9 août 2006 à 22:17 (CEST)

Pour les nerfs, je peux m'expliquer sur les deux phrases que Salle a mal prises :

• franchement, faut avoir les nerfs solides avec vous deux : Façon de dire que le sujet commence à tourner en rond et que chaque parti radote et se répète. La discussion commence à s'éterniser sur un même sujet qui plus est, complètement banal.
• Si on prenait le temps de lire ce que j'ai écrit plus haut .. : J'ai l'impression de ne pas être compris et les dernières interventions de Peps ci-dessous le confirment !

Il n'y a rien de méchant dans ces deux phrases et je m'excuse si cela a été ressenti comme tel. Comme on est dans le chapitre reproches, je ne digère pas la phrase :

• C'est d'autant plus regrettable qu'étant manifestement le plus compétent, on pourrait attendre de toi que tu fasses preuve de pédagogie et que tu mettes tout de suite le doigt sur les points de divergence : Depuis le début je me répète en reformulant sans cesse mon point de vue (je le reformule à nouveau ci-dessus). Désolé si je suis un mauvais pédagogue, mais je fais mon possible pour trouver sans cesse des nouveaux exemples pour étayer mon point de vue, alors que vous deux restez accrochés à la théorie des noeuds et l'exemple du train ... Je ne pense pas être le plus borné des trois, comme il me l'a été reproché.

Ektoplastor, le 10 Août, 10:55

Allez, vidons notre sac, ça permettra effectivement de passer à autre chose. Si tu relis bien la discussion, il me semble que j'ai assez bien compris que ce que tu voulais, c'était abandonner la comparaison isotopie/homéo, à partir du moment où tu l'as dit clairement. C'est-à-dire que, si je fais preuve de mansuétude, je peux considérer que c'est déjà en germe dans ton intervention signée ce soir 23:20, mais que ce n'est pas dit très explicitement, et qui plus est, noyé au milieu de plein d'autre chose ; ensuite, c'est dit clairement dans l'intervention du 9 août, 11:00 ; en revanche, avant, si tu avais déjà une vue claire de ce qui clochait, c'est pas gentil de nous l'avoir caché. Et à partir de ton intervention du 9 août, je ne me suis plus accroché à la théorie des nœuds, contrairement à ce que tu affirmes, et c'est ce qui m'a fait surréagir, encore désolé.Salle 10 août 2006 à 11:12 (CEST)

Peps continue à s'y accrocher.

Ah? Ce n'est pas ce que j'ai compris?Salle 10 août 2006 à 11:25 (CEST)

Bilan

Je propose quelque chose du genre :

L'Homme s'est vu confronté au problème ; en première approximation, il n'a qu'une vue intrinséque de la Terre, c'est-à-dire qu'il peut se déplacer à la surface, mais pas s'élever dans la dimension supérieure. De plus, il n'a qu'une vue locale de la Terre : il ne peut pas considérer tous ses points simultanément. Il a donc ignoré que la Terre ressemblait à une sphère et était persuadé de vivre dans un plan. La structure de variété de la Terre fait que, localement, la différence est effectivement difficile à faire. Il y a plusieurs moyens de pallier cette difficulté : on peut employer une démonstration topologique, utilisant la notion de simple connexité, mais qui nécessite de pouvoir considérer tous les points de la Terre : difficile en pratique ; historiquement, les méthodes utilisées n'ont pas reposé purement sur des considérations topologiques, mais ont requis des éléments métriques (angles, distance), et se sont reposées sur des repères extérieurs (corps célestes) : ce ne sont donc plus des méthodes intrinsèques ; cependant, la méthode la plus simple est sans conteste de s'élever, de s'éloigner assez de la Terre : on peut constater alors, en en faisant le tour, qu'elle n'est certainement pas un plan ; on a alors utilisé le fait que la Terre est plongée dans un espace plus grand.

pour faire sentir la différence intrinsèque/extrinsèque (à renommer éventuellement pour éviter de nous mettre les nerfs en pelote pour rien) ; c'est un deuxième jet, avec deux/trois aménagements par rapport à la proposition précédente ; le début est évidemment à réécrie en fonction de l'intégration dans l'article.

Ensuite, pour le nœud de trèfle, et le cercle, qui dirigent vers des notions d'équivalence par homotopie, c'est plus ou moins dit dans la partie 7.2 actuel ; pas sûr en définitive que ce ne soit pas un peu trop subtil pour l'intro.

Avis requis.Salle 9 août 2006 à 22:31 (CEST)

Deux choses m'arrêtent :

Un plan est simplement connexe et je ne comprends pas ta référence à la simple connexité ? Voulais-tu parler de compacité ? Dans ce cas, il suffit de connaitre un nombre fini de positions (un être vivant prend conscience de son environnement).

La méthode la plus simple : je vois exactement ce que tu veux dire. Cependant, pour le réaliser physiquement, on a eu besoin de construire des avions, des fusées, des navettes, le lecteur risque de faire cette remarque. Disons seulement : le plus convaincant. C'est vrai qu'une image de la Terre vue de l'espace est indiscutable.

Je propose ma propre rédaction.

pour la référence à la simple connexité : j'enlève un point de la sphère, elle reste simplement connexe, pas pour le plan. Ca suffit à empêcher l'existence d'un homéo, non?

Pour la plus simple, il y avait évidemment un défi du matheux aux ingénieurs, c'était dit avec le sourire.Salle 9 août 2006 à 23:38 (CEST)

(mon intervention datait d'avant : coinflit avec vous deux)

Bon je trouve tes formulations intéressantes, je crois que je vois ce qu'elles démontrent mais moi je dois être un peu bouché mais faut que j'essaye d'être sûr de ton objectif final concernant ce paragraphe. Après je dirai amen à tes bonnes formulations, à un ou deux trucs près. Que veux-tu montrer, globalement ? je résumerais par :

• on peut tenter de déterminer sur quelle variété on est ; le plus facile pour cela est l'extrinsèque, mais on y arrive aussi par l'intrinsèque (j'ai envie de dire que le défaut est que ça ne souligne pas la différence entre les deux, puisqu'on y arrive de toute façon). Ai-je bien compris l' objectif ?
• pour mémoire le mien c'était : montrer qu'une même variété abstraite, peut apparaître de façons différentes pour un observateur extérieur (différentes façons de nouer un cercle). Ergo l'oeil de dedans et l'oeil de dehors ne voient pas les mêmes objets (que des cercles pour l'un, des noeuds pour l'autre). C'est visible dès le niveau topologique, et encore plus vrai en riemannien, mais on n'est pas obligé de parler du riemannien. (Je comprends le défaut : ça interfère avec les questions de classification telles que tu les as rédigées.)

Ektoplastor, si tu as des problèmes de nerfs avec les deux béotiens de bonne volonté que nous sommes, va falloir que tu te prévoies des bains relaxants pendant le vote AdQ :) . J'ai rédigé le 2e point pour toi parce que Salle a saisi mon point de vue je crois, mais toi apparemment tu n'es pas convaincu : ce que j'ai voulu faire est-il plus clair ?

Après si on s'est tous compris, on pourra avancer Peps 9 août 2006 à 23:46 (CEST)

Désolé, Peps, mais j'avais parfaitement compris ton point de vue. Je n'arrête pas de le critiquer d'ailleurs ! Pour les nerfs, je peux m'expliquer sur les deux phrases que Salle a mal prises :

Je copie/colle dans le parag au-dessus, ça n'a plus grand-chose à voir.Salle 10 août 2006 à 11:35 (CEST)

Seconde proposition

Voilà ce que je mettrais simplement dans la partie Intrinsèque/Extrinsèque :

L'étude extrinsèque consiste à étudier la topologie d'une sous-variété ou la géométrie de structures supplémentaires en tenant compte de la disposition de la sous-variété. Au contraire, l'étude intrinsèque consiste à considérer la variété en elle-même en oubliant l'espace qui, éventuellement, l'entoure. Cette opération de l'esprit nous semble difficile a priori d'opérer. Et en effet, l'introduction historique de ce point de vue a ébranlé en son temps la communauté scientifique.

De sa nature même, l'homme apprend à avoir un regard extérieur au monde qui l'entoure. Ainsi les réflexions sur l'environnement n'aurait-elles aucun sens sans prendre en considération l'ensemble des causes extérieures, les causes extrinsèques. Un homme au restaurant verra la différence entre un donut et une boule de glace : le donut a un trou au milieu ! Mais que dire d'une fourmi se déplaçant à la surface du donut ou de la boule de glace ? L'exemple de la fourmi est repris dans certains articles de vulgarisation mathématique pour approcher l'idée d'un individu bidimensionnel vivant dans la variété.

Pourtant, l'homme s'est confronté à une situation similaire. Longtemps, il a cru vivre sur un plan. Aujourd'hui, en voyant la photographie de la Terre vue de la lune, il semble incontestable que la Terre a une forme sphérique. Le regard est clairement extrinsèque : on voit aujourd'hui la Terre de l'extérieur. Il ne faut pas croire pour autant que le point de vue intrinsèque donne moins de réponses qu'une étude extrinsèque. Les arguments sont seulement souvent plus élaborés.

L'avantage de l'étude intrinsèque est d'offrir un plus grand palette de variétés. La plupart n'apparaissent pas naturellement à nous comme des sous-variétés de Rⁿ.

Bon, désolé, mais je préfère ma version, ça arrive! :). Il y a trop de considérations externes-et, je ne sais pas trop comment dire? pseudo-philosophiques? c'est dit sans agressivité, mais je n'ai pas trouvé de terme gentil - à mon goût, et je ne vois pas qui est-ce que ça peut éclairer. Ah si, quand même, je te vole ta dernière phrase (en fait, pour moi, ce que j'ai écrit venait en complément du début actuel, où ce point était déjà donné ; alors que pour toi, tu écris toute la section 1.3, c'est ça?).Salle 9 août 2006 à 23:44 (CEST)

je suis d'accord qu'on a assez de problèmes comme cela sans mélanger lieux et causes !

je ne comprends pas : la fourmi n'est pas aveugle ? elle voit d'un seul coup d'oeil qu'elle est sur un donut, posé sur une boule de glace, et qui a une épaisseur. Il faut au moins le signaler ! Seule la fourmi aveugle joue sans tricher Peps 9 août 2006 à 23:50 (CEST)

Salle dit qu'il aime la dernière phrase, je la trouve dangereuse à cause du théorème de plongement de Whitney, faut faire attention aux formulations.

en fait ce que je ne comprends pas c'est que la différence isotopie / homéo ne semble pas relever de la problématique intrinsèque / extrinsèque pour Ektoplastor ? Peps 9 août 2006 à 23:56 (CEST)

Le théorème de plongement de Withney a un intérêt limité. Par exemple, personne ne va s'amuser à plonger une grassmannienne dans un espace vectoriel. Ce théorème est à prendre avec beaucoup de recul. D'ailleurs, je ne l'ai jamais utilisé. C'est dans la nature même des choses que des variétés apparaissent de manière "abstraite". L'ensemble des droites affines n'est pas un ensemble si abstrait, et il donne l'imagge d'une variété à 5 dimensions, et d'un fibré en plans projectifs sur l'espace ambiant. Je l'aime bien cet exemple.

Tu prétends faire attention aus formulations. Au sens premier, une isotopie est une variation d'homéomorphismes ; lorsque tu parles de la différence isotopie/homéo, j'aurais été confus si je n'avais pas lu tout ce qui précède ! Oui, pour moi, l'étude extrinsèque opposée au point de vue intrinsèque consiste à étudier la topologie d'une variété en tenant compte de l'espace ambiant. La théorie des noeuds est hors-sujet.

une fourmi est aveugle. Une fourmi n'est pas un être humain (je crois l'avoir déjà dit) : c'est un animal, un insecte, qui a ses propres particularités, sa propre façon de percevoir le monde extérieur. Traduction : les fourmis sont effectivement aveugles (elles s'orientent grâce à leurs antennes). Malheureusement, je ne connais pas suffisamment la biologie pour t'expliquer comment elles font.

Ektoplastor

Franchement, avec la définition que je t'ai donnée d'extrinsèque, je suis sincèrement convaincu que le point de vue extrinsèque c'est très précisément comparer la classification à isotopie près, et la classification à isomorphisme près. Tu es en train de te battre contre des moulins à vent, là...Salle 10 août 2006 à 11:18 (CEST)

Troisième proposition

• changer le titre de la section en "variétés abstraites et sous-variétés"
• utiliser vos deux propositions, synthétisées dans les articles theorema egregium, courbure et géométrie riemannienne

je ne vois pas de quoi tu parles.Salle 10 août 2006 à 11:13 (CEST)

j'explicite : mettre le discours concernant les mesures intrinsèque et extrinsèque de la courbure, détaillées dans vos propositions I et II, dans d'autres articles. Ici ça me paraît à la fois trop tôt et limite hors sujet (puisque discours essentiellement riemannien). Si vous n'êtes pas d'accord le placer ailleurs dans l'article mais pas maintenant, où l'objectif est d'expliquer pourquoi on travaille par cartes

Ben, je comprends pourquoi je ne comprenais pas : je ne crois pas faire référence à aucun élément métrique dans ma proposition, et de fait, je suis d'accord pour ne pas en parler ici.Salle 10 août 2006 à 13:01 (CEST)

• garder le début de la section tel quel

De nombreux sous-ensembles particuliers du plan, de l'espace de dimension 3 peuvent être munis d'une structure de variétés : la sphère, le cylindre, le cercle, etc. On les appelle sous-variétés ou variétés plongées. Un théorème délicat, le théorème de plongement de Whitney, montre que toute variété abstraite peut être réalisée comme sous-variété d'un espace de dimension suffisamment grande. Ainsi la bouteille de Klein ne peut être plongée dans l'espace à trois dimensions, mais forme une sous-variété de l'espace à quatre dimensions.

De ce fait, l'introduction des variétés abstraites peut paraître superfétatoire au premier abord. Cependant, elles se sont imposées car elles permettent de s'affranchir de la considération de l'« espace ambiant », celui dans lequel est plongée la variété. En particulier, de nombreux modes de contruction de nouvelles variétés à partir de variétés déjà définies, à l'exemple des quotients et des recollements topologiques (voir plus loin), ne font intervenir que les variétés elles-mêmes, ne faisant (surtout) pas intervenir l'espace qui pourrait éventuellement les entourer.

• continuer en décrivant de façon courte ce qu'est le déplacement sur une bouteille de Klein, puisque c'est (presque) le seul exemple facilement visualisable de variété abstraite et qui n'est pas une sous variété de l'espace de dimension 3.
• dans le paragraphe histoire, détailler par une courte formule, au moment où on parle du theorema egregium par exemple, en quoi c'est intrinsèque (sans faire intervenir l'espace ambiant). Les détails sont dans l'article de même nom
• descendre la bouteille de Klein et sa légende à l'emplacement de cette section, et utiliser le ruban de Möbius ou un toree à p trous pour le haut de l'article.

Il me semble que c'est plus cohérent, plus on parle de la courbure plus on se noie dans le hors sujet. Peps 10 août 2006 à 08:49 (CEST)

Je précise l'existence de l'article géométrie différentielle, qui peut lui aussi être développé d'avantage en y ajoutant :

• la dichotomie point de vue intrinsèque/extrinsèque.

• les définitions de points de vue local/semi-local/global.

Cependant, je pense que l'article Variété (géométrie) est très bien organisé pour l'instant ; reste à te convaincre sur la définition de point de vue extrinsèque. Je propose d'en rester là et d'attendre un regard éclairé, neutre donc extérieur au débat qu'on a eu. Par exemple, on peut laisser juger HB, pour savoir ce qu'elle ferait, et quelle serait la meilleure voie à prendre. Es-t-u d'accord de cette proposition pour sortir de l'impasse ?

Ektoplastor

A Peps : D'accord pour toutes tes propositions (j'ai rajouté un truc sur la bouteille de Klein, pour éviter que tu te fasses mordre).

vu, merci

A Ektoplastor : quelle impasse, on vient gentiment de se ranger à ton point de vue?Salle 10 août 2006 à 11:24 (CEST)

Pour moi, il n'a pas été qustion de retirer la dichotomie intrinsèque/extrinsèque pour la placer dans un autre article.

Le début de la section n'a jamais été problématique (comme le reste de l'article, qui en est l'essentiel).

Pour l'exemple introductif, je remercie Peps d'avoir accepté une demande antérieure, mais je ne vois pas en quoi cela règle la question intrinsèque/extrinsèque, point sur lequel on est toujours en désaccord ! L'impasse est écartée pour se poser dans un autre article ? Voilà une drôle de façon de régler les problèmes ! Ektoplastor, le 10 Août, 11:37

Là, je ne comprends vraiment pas : tu n'es pas d'accord que le seul déaccord est sémantique?Salle 10 août 2006 à 11:42 (CEST)

Je me permets d'indiquer que je propose un changement de titre pour la section à problème, et que c'est sensé régler une partie du malentendu ; j'aimerais donc savoir si vous pensez que le changement de titre est judicieux ou non.

Ca me va, comme vous avez dû le constater.Salle 10 août 2006 à 13:01 (CEST)

Comme Peps l'a lu, j'estime qu'on ne résout pas un problème en l'enterrant. C'est une solution de facilité que je déteste. Tôt ou tard, le problème refait surface. Ektoplastor

c'est bien pour cela que je ne parle que d'une partie du malentendu. Mais la politique des petits pas paiera Peps 10 août 2006 à 13:09 (CEST)

Répondre dans la sous-section ci-dessous, si possible, histoire que les propositions restent claires. Merci.

Intrinsèque vs extrinsèque

Je propose de ranger toutes les discussions annexes ici. Pour moi, voilà où on en est : on est tous d'accord pour mettre dans la section 1.3 l'exemple de la Terre, il faut juste se mettre d'accord sur la rédaction. On est aussi d'accord pour ne pas parler d'isotopie vs homéo. Peps propose aussi d'autres aménagements : un qui va dans le sens d4Ekto, en ne mettant plus la bouteille de Klein en accroche, ça ne devrait pas poser de problème, donc. Du coup, la bouteille de Klein est réutilisable en 1.3, ce qui paraît aussi raisonnable, et sans considération de nœud, bien sûr.

Seul point de divergence : la sémantique du mot extrinsèque. Franchement, Ektoplastor, si tu te sens le courage de nous démontrer que ce mot n'a pas le sens qu'on lui donne, fais-toi plaisir, mais l'article peut avancer sans ça, je crois.Salle 10 août 2006 à 11:31 (CEST)

Avoir une différence de points de vue sur les points de vue, c'est le comble. Etre en désaccord sur le désaccord serait le bouquet. Je te rassure ; ce n'est pas le cas. Le problème se pose en effet sur la définition de la dichotomie extrinsèque/intrinsèque. L'article peut évidemment avancer sans ça, mais c'est un point à mentionner dans l'article. Ektoplastor.

Je vous vois vous étriper sur ce paragraphe en me taisant depuis deux jours. Comme il faut peut-être arbitrer, je me borne ici à rappeler mon opinion (qui semble malheureusement être une tierce opinion dans vos débats...) : toutes les considérations un peu heuristiques sur intrinsèque/extrinsèque me semblent superflues dans un article généraliste ; il y a assez de choses à dire pour s'en passer. S'il ne tenait qu'à moi pour réécrire le 1-3, je garderais le premier paragraphe ; je mentionnerais ensuite qu'il y a une conception de "variété abstraite" plus technique que celle de sous-variété (avec renvoi à plus bas dans le texte) et la justifierais par la possibilité de construire de nouveaux objets à partir d'objets existants, sans entrer dans le détail (en gros l'avant-dernier paragraphe de la version actuelle). Et rien d'autre. --Touriste 10 août 2006 à 15:18 (CEST)

Je tente la méthode Touriste (dont je ne suis pas si éloigné)

Représentations imparfaites de la bouteille de Klein dans un espace à trois dimensions : elles présentent une auto-intersection dont il faut s'abstraire.

De nombreux sous-ensembles particuliers du plan, de l'espace de dimension 3 peuvent être munis d'une structure de variétés : le cercle, le cylindre, la sphère, etc. On les appelle sous-variétés ou variétés plongées. Il existe en outre une notion de variété abstraite, telle que la bouteille de Klein, représentée ci-contre de façon imparfaite, mais qu'il est possible d'appréhender visuellement en faisant abstraction de l'auto-intersection. Elle peut être décrite par un système de cartes, et de coordonnées figuré par le maillage de méridiens et de parallèles ci-contre.

Un théorème délicat, le théorème de plongement de Whitney, montre que toute variété abstraite de dimension n peut être réalisée comme sous-variété d'un espace de dimension suffisamment grande, à savoir de dimension 2n. Ainsi la bouteille de Klein ne peut être plongée dans l'espace à trois dimensions, mais forme une sous-variété de l'espace à quatre dimensions.

L'introduction des variétés abstraites peut paraître superfétatoire au premier abord. Cependant, s'affranchir de la considération de l'« espace ambiant », celui dans lequel est plongée la variété peut aussi présenter des avantages. En particulier, de nombreux modes de contruction de nouvelles variétés à partir de variétés déjà définies, à l'exemple des quotients et des recollements topologiques (voir plus loin), ne font intervenir que les variétés elles-mêmes, et (surtout) pas l'espace qui pourrait éventuellement les entourer. Ces nouvelles variétés apparaissent comme telles : quand bien même en théorie il est possible de les réaliser comme sous-variétés d'un espace vectoriel, il ne serait pas judicieux de le faire en pratique.

Qu'en pensez-vous ? Moi ça me convient bien mieux que la formulation actuelle et ça finit de rendre compte du titre (var abstraite/ss var). Une fois qu'on aura dit ce qu'est une variété abstraite paragraphe 6.1., pontifier plus bas sur l'intrinsèqu/extrinsèquee sera + facile (je rêve, là)Peps 10 août 2006 à 15:44 (CEST)

J'approuve à 120 % --Touriste 10 août 2006 à 15:45 (CEST)

Ca me va.Salle 10 août 2006 à 22:59 (CEST)

Conclusion (finale, j'espère)

Bien, j'ai pris en considérations les modifications récentes, je ne trouve rien à redire. Si ce n'est la place de la phrase :

Un autre exemple de cette plongée dans un espace de dimension supérieure est relaté dans le roman Flatland de Edwin Abbott Abbott.

Je persiste à croire que le problème intrinsèque/extrinsèque se posera à nouveau dans l'article géométrie différentielle. Mais en attendant, on va pouvoir avancer, donc je félicite Peps.

Utilisateur:Ektoplastor, 14:00 CEST.

Ubn petit hourra intérieur, là :)Salle 10 août 2006 à 14:28 (CEST)

Pour Peps, certaines de tes propositions n'ont pas été intégrées, parce que je ne voyais pas précisément ce que tu voulais ; ce n'est donc en aucun cas une opposition, c'est juste que je te laisse opérer.

je pense que si des gens malins comme nous le sommes ne s'entendent pas sur le contenu d'un article, ça ne peut être qu'une question de titre trop vague !

je vois que tu as rajouté le théorème de Sard, ce que je trouve gênant : une fonction constante, par exemple, a toutes ses valeurs régulières sauf une, mais la seule valeur qu'elle prend est la valeur non régulière ! Si on n'est pas avisé de cette convention, on risque d'avoir des idées fausses.

enfin quitte à faire mon rabat-joie, je trouve qu'on fait enfler l'article de partout, qu'on multiplie les incidentes, les "considérations naturellement reliées", et ça me gêne Peps 10 août 2006 à 14:31 (CEST)

Ainsi pour l'exemple de la Terre, je supprimerais le détail des méthodes pour voir sur quoi on est, en me contentant de dire : "même s'il est théoriquement possible de calculer la forme de la planète en en faisant une cartographie exhaustive, il est plus simple de s'appuyer sur des techniques extrinsèques, en utilisant les astres comme points de référence." et "Les prises de vue depuis l'espace, maintenant disponibles, rendent la forme de la Terre immédiatement appréhensible." cela convient-il ? ou fas-je un massacre ?

Enfin il faudrait commenter la bouteille de Klein, je vais le faire Peps 10 août 2006 à 14:38 (CEST)

Pour le théorème de Sard, il n'est pas de moi, et je trouve aussi que ça fait un peu considération supplémentaire dont on peut se dispenser. Pour le reste, désolé pour mon passage un peu à la hussarde, c'était juste pour refaire partir le truc sur des bases plus saines. De manières plus générale, je ne vais pas avoir accès à Internet pendant quelques jours donc je vous laisse le soin des modif (et peut-être surtout suppressions) à venir ; en particulier, je précise, au cas où, que je ne serai pas vexé si vous coupez ce que j'ai écrit. Bon courage, et j'espère voir un bel article AdQ en revenant.Salle 10 août 2006 à 23:05 (CEST)

Autre discussion

Discuter:Variété (algèbre)

Ne serait-ce pas plutôt variété algébrique ?Peps 8 août 2006 à 17:10 (CEST)

Hem ... Variété algébrique doit être un article du même niveau que variété topologique et variété différentielle si on veut être totalement cohérent avec soi-même ! Il faut donc créer un autre article sur les variétés algébriques comparable à celui-ci ... Je l'appellerais intuitivement variété (algèbre) (cohérence, et tout et tout). Problème : je ne m'étais pas rendu compte l'article existant sous ce titre ... traite d'une troisième notion de variété en mathématiques.

Je jette l'éponge.

Ektoplastor (ce n'est quand même pas ma faute si tout le monde appelle tout et n'importe quoi variété !)

Je ne pense pas qu'il faille être "cohérent avec soi-même" à ce point. Il y a en gros deux thématiques, celle du différentiel et topologique, et celle de l'algébrique dont l'arithmétique. Je verrai bien un article "Variété (mathématiques)" avec deux branchements principaux vers "Variété (géométrie différentielle et topologie)" (hum un peu long ce titre) un vers "Variété algébrique" et un un peu plus caché vers "Variété (algèbre)" qu'on aurait renommé "Variété (algèbre universlle)". --Touriste 8 août 2006 à 18:00 (CEST)

J'adore la beauté de la perfection. Ektoplastor

paragraphe-croupion

j'ai écrit quelques lignes insignifiantes sur variété implicite. Le problème est que si on veut dire des choses précises, on spécifie par trop qu'on est dans un cadre différentiel, ce qui me gêne vis-à-vis du reste de l'article. Je me suis donc contenté d'un principe un peu fumeux... à améliorer ! Peps 9 août 2006 à 18:19 (CEST)

J'ai mentionné ensemble de niveau, théorème de Sard, et introduit l'exemple un peu facile des cartes topographiques.

Mais quelle est la place de cet article ? Ne faudrait il pas plutôt le mettre dans la définition des variétés ? Cela me semble plus logique mais discutable. Quel est ton argument pour l'avoir placé dans les constructions de variété ? Ektoplastor, 10 Août, 14:34 Cest

parce qu'en apelant le paragraphe construction de variété il faut mentionner que celle-ci existe et est très utilisée (on en parle d'ailleurs pour le cercle plus haut) : donner une équation ça donne pas seulement un sous ensemble quelconque mais une variété. Mais je trouverais préférable de ne laisser que trois lignes, parce que ça intéresse exclusivement les variétés différentielles ce qu'on raconte. Je déplacerais toutes tes remarques dans variété implicite.

Je n'avais pas vu ton intervention plus haut ! Bon, si je cite le thm de Sard, c'est seulement qu'il a une réelle utilité en pratique. Partiquement, 50% des résultats existentiels en géométrie différentielle en découlent (le reste s'obtiennent par un argument de partition de l'unité). Les gens qui le connaissent bien nous le reprocheraient de ne pas en parler en invoquant la définition des variétés implicites.

même remarque : bien que je pense beaucoup debien de Sard aussi, mieux vaut le citer et le commenter sur variété implicite que le citer trop rapidement ici.

Pour ce qui concerne la longueur de l'article : pour l'instant, il est cohérent, lisible, et donne envie d'en savoir plus (ce qui est le but inavoué de tout article sur Wikipédia). Je trouve qu'on enfle d'avantage la page de discussion :).

Ektoplastor, même jour, 14:41.

oui mais je dirais que pour chaque idée un peu volumineuse qui se présente, il faut qu'on choisisse deux options exclusives

• traitement extensif dans l'article
• mention rapide dans l'article, avec renvoi à l'article qui la contient naturellement

là on est en train de faire des traitements intermédiaires ce qui risque de ne satisfaire ni les lecteurs exigeants (yapatou), ni les néophytes (sépaclair) Peps 10 août 2006 à 15:07 (CEST) J'opte plutôt pour la seconde solution. Tu peux retirer la mention du thm de Sard. Mais garde la notion de cartes topographiques, stp, car cela permet aux lecteurs adultes de se raccrocher à quelque chose qu'ils connaissent bien. J'ai écrit la fin de l'article. Relis l'ensemble pour voir si tout est cohérent. Ektoplastor. même jour, 20:25

Phrases

Bon, j'ai mis deux phrases en évidence :

• La première : la courbure de Gauss d'une surface de l'espace ne dépend pas de la façon dont celle-ci est plongée dans l'espace ambiant. C'est inexact, du moins tel que c'est formulé : une sphère et un ellipsoïde n'ont pas la même courbure de Gauss ! En fait, la courbure de Gauss ne dépend que des variations secondes de la métrique euclidienne en restriction aux plans tangents ... Je vous laisse le formuler sans utiliser le mot espace tangent.

oui là j'ai oublié de préciser que c'est de "surface riemannienne" qu'on parle. Vu le baratin ci-dessus, il vaut mieux dire un truc genre la courbure de Gauss, introduite par des moyens extrinsèques, peut néanmoins aussi être obtenue à l'aide de calculs intrinsèques. Ce n'est pas tout à fait la façon dont Gauss présente les choses mais c'est plus dans l'axe de ce qu'on disait.

• La seconde : Si l'un des facteurs a un bord, la variété produit en a un aussi. Correct, mais cela va induire en erreur un lecteur peu attentif qui comprendra à tort que le produit de deux variétés à bord est une variété à bord. Insister d'avantage me semble inutile, je demande de supprimer cette phrase ?

c'était dans le texte initial, et c'est effcetivement plus encombrant qu'utile, à virer Peps 9 août 2006 à 23:10 (CEST)

Ektoplastor,