Discussion:Variété (géométrie)

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voir Discuter:Variété (géométrie)/Archive jusqu'à Août 2006.Salle 16 septembre 2006 à 17:35 (CEST)

Quelques commentaires

Je voudrais intervenir sur certains points. Je prends l'article à ses débuts, mais je laisse de côté l'introduction, qui je crois doit être rédigée à la fin.

1) Cartes:

Si on se limite à l'aspect géométrique-topologique, je pense qu'on doit parler de variétés différentielles de manière principale, quitte à évoquer les variétés topologiques en préalable. Mais les variétés algébriques ne sont pas adaptées à ce point de vue. Il faudrait le point de vue des faisceaux, et ce n'est pas le choix qui est fait ici. Peut-être plus tard.

D'accord sur le fait de ne pas parler de variétés algébriques. En revanche, je ne suis pas du tout d'accord sur le fait qu'on doit parler de variétés différentielles de manière principale. Au contraire, la notion de variété différentielle revient trop souvent dans l'article à mon goût. Les variétés différentielles sont appelées à avoir un article dédié où les analystes pourront se faire plaisir.

Pour ma part je soutiens au contraire l'intervenant ; la théorie est relativement élémentaire pour le différentiel, nettement plus technique pour le topologique. C'est vraiment le cadre différentiel qui est le premier étudié dans à peu près tout cursus type master qui ne se singularise pas trop. Touriste * (Discuter) 8 septembre 2006 à 17:36 (CEST)

Je ne vois pas bien quelle théorie est élémentaire dans le cadre différentiel. Cela dit, je ne crois pas que la question soit celle-là : l'article ne parle pas tellement de théorie, mais tourne surtout autour de l'objectif de donner une idée sur le pourquoi de la définition. Et prendre le cadre différentiel, c'est alourdir la définition.Salle 14 septembre 2006 à 18:18 (CEST)

je pense comme Salle qu'il faut un traitement général, à quoi bon préciser le cadre différentiel ? au niveau des définitions, le topologique est le niveau le plus simple et il n'y a pas de différence formelle entre variété différentielle, analytique complexe, PL (piecewise linear) ou que sais-je encore. Rentrer dans les considérations "variétés différentielles" oblige à parler d'espace tangent (ce qui est soigneusement évité jusqu'ici), d'existence de structure différentielle, de structures exotiques sur des objets simples. Je préfère garder le mode de présentation actuel, plus polyvalent et où on ne risque pas de se noyer dans les détails... Peps 8 septembre 2006 à 21:05 (CEST)

Point en effet discutable. La seule difficulte apparente dans l introduction des varietes topologiques concerne la notion de dimension. Cependant je pense qu il est quand meme agreable d etudier les varietes topologiques en premier lieu. Les varietes differentielles demandent une discussion sur la clsse de regularite ... Ektoplastor.

même la question de la dimension, si elle complique les choses pour écrire un cours, ne me semble poser aucun problème particulier pour la rédaction d'un article de synthèse. Peps 14 septembre 2006 à 21:15 (CEST)

Les géomètres ont tendance à considérer les variétés différentielles, comme objets fondamentaux, munies de structures (riemannienne, complexe, conforme, etc...). C'est une question de convention de langage, on pourrait dire que deux sphères munies de deux métriques distinctes sont des variétés riemanniennes distinctes. On tend à dire que c'est la même variété différentielle, munie de métriques différentes.

Je ne dirais pas "Ainsi, la géométrie euclidienne s'étend aux variétés en devenant géométrie riemannienne" mais plutôt que "La "notion géométrique de distance s'étend aux variétés, les munissant d'une structure dite Riemannienne. De même la notion d'angle s'étend aux variétés munies d'une structure conforme. Il y a de nombreuses autres notions géométriques qui peuvent être étendues à certaines variétés."

OK pour moi. Il y a effectivement encore plusieurs formulations malheureuses. On peut les corriger de façon unilatérale.Salle 8 septembre 2006 à 14:41 (CEST)

Ok, même si les deux formulations ne disent pas la même chose, la deuxième est plus précise puisqu'elle parle d'une variété précise et non d'un domaine des mathématiques Peps 8 septembre 2006 à 21:05 (CEST)

Si ces idées vous semblent raisonnables je peux essayer une rerédaction partielle de ce passage.

D'accord, je vais essayer de faire cela dans le courant de la semaine en tenant compte de vos remarques.Cv-x 10 septembre 2006 à 01:56

2) Il me semble que le passage sur les exemples simples devrait apparaître avant les applications. Il est difficile de parler d'équation différentielle sur le tore avant d'avoir expliqué pourquoi le cercle est une variété. Par ailleurs cet exemple me semble très bien choisi, ainsi que le suivant sur les liens avec la physique théorique. De même je trouve bien fait le passage sur le cercle et la sphère.

pas d'accord ! c'est un point de vue de matheux ! une "équation différentielle sur le tore", pour un physicien, c'est une équation différentielle faisant intervenir comme variables les paramètres angulaires qui décrivent le tore, et ça leur paraît un objet très simple. A mon avis, beaucoup de gens trouveront cela beaucoup plus parlant que la présentation "technique" de l'exemple du cercle ! Je préfère garder l'ordre actuel, quitte à détailler ce qu'on entend par "équation différentielle sur le tore" Peps 8 septembre 2006 à 21:05 (CEST)

D accord avec Peps, Ektoplastor

je me rallie à votre avis unanime, et à la réflexion vous avez raison.Cv-x10 septembre 2006 à 01:56

3) Dans structure additionnelle, le cas des groupes de Lie ne me semble pas relever des cas précédents. En effet une variété Riemannienne ou symplectique est définie par le fait que les changements de carte sont dans un sous-groupe du groupe des difféomorphismes : les isométries, ou les difféomorphismes symplectiques(on pourrait ajouter les variétés analytiques, Lorentiziennes, etc...). Ce n'est pas le cas des groupes de Lie: ce ne sont pas les changements de cartes qui appartiennent à un sous-groupe des difféomorphismes, c'est l'espace total qui est un groupe.

la présentation actuelle me gêne également, mais en fait, je ne sais pas trop où caser les groupes de Lie dans le discours... Peps 8 septembre 2006 à 21:05 (CEST)

N importe quoi ! Et la courbure alors ? Seules les varietes riemanniennes PLATES sont obtenues par recollement d ouverts de Rn par des isometries :). Cela dit, je suis d accord sur le fond, Ektoplastor.

je n'ai pas dit pour quelles métrique on prenait les isométries :). Votre argument ne tient que si on met la métrique plate sur Rn. Mais cela montre que il ne faudra surtout pas le dire comme je l'ai écrit. Je suggère par ailleurs une section séparée sur les groupes de Lie ou renvoyer directement à l'article Groupe de Lie. Cv-x10 septembre 2006 à 01:56

Quel est l interet de cette construction, si au prealable on doit definir la notion de metrique riemannienne pour les ouverts de Rn ? De plus, lorsqu on parle d isometries entre ouverts de Rn, on pense naturellement aux isometries euclidiennes. Utilisateur:Ektoplastor, 11 septembre, 11:41

J'ai modifié les points suivants:

4) Approfondissements: toute variété différentiable admet une structure analytique, mais il existe des variétés topologiques sans structure différentiable.

Il n'est pas dit qu'une variété algébrique soit construite sur un corps algébriquement clos. En géométrie algébrique on parle aussi de variétés sur $\mathbb {Q}$.

5) Classification: les variétés de Lens sont je suppose les Lens spaces. Ce sont en français les espaces lenticulaires.

Cette terminologie me fait penser aux lentilles. Ektoplastor.

Ce n'est pas un hasard. Cv-x10 septembre 2006 à 01:56

6) La conjecture de Poincaré en dimension supérieure à 5 a valu (avec la démonstration de la possibilité de "retourner la sphère") une médaille Fields à Stephen Smale en 1966. Dire que la démonstration est facile est un peu exagéré (certes en comparaison à la dimension 3 ou 4..).

--Cv-x 6 septembre 2006 à 23:05 (CEST)

Lecture de Jean-Luc W

Je recopie ceci depuis ma page de discussion.Salle 16 septembre 2006 à 17:29 (CEST)

Critique sur les variétés

Je viens de me remettre sur Wikipedia, et évidemment j'ai commencé par cet article. Je ne l'ai lu que deux fois pour l'instant. Je pense que j'ai pour l'instant à cinq remarques:

• Le plaisir du texte: l'article est agréable, plaisant. Il se lit bien, et fait bien le tour du sujet. C'est au sens de mon propre plaisir un bon article.
• Exhaustivité: Je crois que vous avez fait le tour de sujet. En revanche, je ne partage pas le point de vue de Salle. Pour moi le sujet que vous avez traité est variété, vous n'avez traité ni l'aspect algébrique, ni véritablement l'aspect différentielle, ni véritablement l'aspect topologique (un peu de classification mais c'est tout). Je pense que c'est un bon axe, sinon l'article serait trop long et trop riche. A mon goût vous avez traité la notion de variété au sens géométrique ce qui mérite pleinement un article déjà largement fourni. Pour moi, à terme il devrait y avoir quatre article Variété (géométrie), Variété topologique qui poserait les grandes questions associées comme le théorème de poincaré, Variété algébrique avec la connexion au théorème des 0 de Hilbert et Variété différentielle.
• Applications: Excellent travail, il manque peut-être un peu d'arithmétique, c'est tout de même l'approche géométrique qui a permis de résoudre les plus grands problèmes d'arithmétiques. Je ne parle que d'ajout de quelques lignes, le gros du sujet devant être traité à mon gout dans les variétés algébriques.
• Références historiques: un peu léger, j'aurais été un peu plus loin, si mon avis est partagé, je suis candidat pour tenter quelque chose.
• Liaison avec le reste de Wikipédia: avec entre autre le développement des applications et des grandes théories associées. Le chantier est immense, nous dépassons largement le cadre de l'article, en revanche je reste encore sur ma faim. Ma critique est néanmoins or sujet.

En conclusion, voilà un excellent article qui mérite immédiatement un AdQ. Je suis candidat pour l'ajout de références et d'un brin d'arithmétique, à condition d'avoir ton accord, ainsi que celui de Salle.Jean-Luc W 16 septembre 2006 à 16:11 (CEST) PS: je n'ai ni lu l'article anglais ni l'allemand, c'est une critique à chaud, sans profondeur pour l'instant.

Choix du titre

Le parti a été pris jusqu'à maintenant de ne pas parler de variété algébrique. Je continue à croire que c'est un bon parti, car on est en présence d'un article qui se veut introducitf, et qui tourne autour de l'idée de présenter la définition, et de répondre surtout aux questions pourquoi et comment cette définition? ; et moins à que va-t-on faire avec ces objets?. Or, au niveau de la définition, les variétés algébriques ont il me semble une définition suffisamment éloignée de celle des variétés topo et diff, pour qu'il soit raisonnable de les exclure ; sachant qu'elles auront bien sûr un article dédié ; sachant aussi qu'on dispose d'une page d'homonymie.

ça me semble sage pour avoir un avis englobant sur les variétés, il faut déjà avoir une idée, même intuitive des différents types de définition, ce qui mérite un article complet pour chaque mode de déf Peps 16 septembre 2006 à 18:13 (CEST)

Sachant cela, comment nommer cet article? Certainement pas variété, qui est une page d'homonymie ; pas non plus variété (mathématiques), car il faudrait parler d'annulation de polynômes à parts égales avec les cartes. Variété (géométrie) ne me semble pas vraiment correspondre à la matière traitée ; moins que variété (topologie), en tout cas. Le problème de variété (topologie) est que je crains qu'on se fasse accuser de doublonner. Remarquez qu'on pourra se défendre en disant que les deux articles ne visent pas le même public. Variété (topologie et géométrie différentielle) a le désavantage d'être lourd, mais est peut-être au plus près de ce qu'on a fait. Sinon, choisissons carrément Introduction aux variétés en topologie, si c'est acceptable par la communauté : même si cela me semble wikipédiennement incorrect, c'est peut-être ce qui résume le plus honnêtement ce qu'on a voulu faire ; et l'honnêteté vis-à-vis du lecteur doit peut-être primer sur les us wikipédiennes.

Voilà, je ne m'avance pas trop sur quelle est la meilleure solution. Des avis éclairés?Salle 16 septembre 2006 à 17:50 (CEST)

variété définie par cartes ? ou plutôt variété (définition par cartes) ? sinon Introduction aux variétés en topologie me semble le plus honnête Peps 16 septembre 2006 à 18:09 (CEST)

Salle émet une idée qui me semble juste, si la définition générale de l'article correspond aussi à celle de variété algébrique, ce n'est néanmoins jamais celle que l'on utilise dans ce cas. Néanmoins, quand je parle de variétés, se sont toujours de celles de l'article dont je parle, sinon je parle de variété algébrique. Cet article donc me semble avoir la priorité et devrait avoir le titre le plus général puis les autres articles devraient pointer vers celui là En fait mon coeur balance vers variété (définition par cartes) plus que Introduction aux variétés en topologie car ce sont aussi les variétés différentielles qui pour moi ne devraient pas rentrer dans la catégorie topologie (mon argument est vraiment faible néanmoins, le calcul diff commence toujours par de la topo). Jean-Luc W 17 septembre 2006 à 18:30 (CEST)

attention tu vas relancer un débat entre les tenants des deux inclusions entre géométrie et topologie... terrain dangereux :)

pour moi aussi ne mentionner que la topologie me paraît formellement juste mais ça me fait bizarre de voir attribuer cela à la topo plus qu'à la géométrie, alors que c'estun domaine partagé. Je pense qu'il vaut mieux renoncer à classer de façon univoque dans un domaine Peps 18 septembre 2006 à 15:38 (CEST)

Mon avis ?

• variété (définition par cartes) : le titre est lourd et ne correspond pas au contenu de l'article. On s'attendrait a trouver la definition formelle telle qu'elle est donnee (euh ou pas) dans le pauvre article variété topologique.
• Introduction aux varietes en topologie : Titre honnete, oui, mais ambigu. En fancais, "Introduction a", c'est tout sauf une introduction ! Je m'attendrais sous un tel titre a une presentation des questions de recherche sur la classification topologique des varietes, un truc de ce genre !

Ah non! Introduction, ça signifie introduction, il n'y a pas d'ambigüité ; si les matheux s'amusent à se donner un genre en appelant introduction n'importe quoi, et de préférence un texte accessible aux seuls initiés, il faut le déplorer, et ne pas s'y soumettre. Ce n'est pas que je cherche à tout prix à défendre ce choix, mais c'est que je n'accepte pas cet argument. Et l'argument quii consiste à dire que ce qu'on a fait n'est pas très accessible non plus ne convient pas : on a essayé de l'être autant qu'on a pu, et on est prêts à modifier (tant que ça reste honnête) pour l'être encore plus.Salle 19 septembre 2006 à 09:34 (CEST)

en tout cas c'est vrai qu'il est plus honnête de faire apparaître dans le titre que ce n'est pas l'article technique (c'est variété topologique ou variété différentielle qui joue ce rôle). Si introduction ne te va pas Ektoplastor, que proposes-tu ? peut-on utiliser le mot aperçu par exemple ? ou ... ? Peps 19 septembre 2006 à 10:16 (CEST)

• Bon, une troisieme option : Variete en topologie (on oublie le terme introduction a).

Pour revenir a la "separation" entre topologie et geometrie (eh oui, Peps, le debat est relance), je ne considere pas la topologie comme faisant partie de la geometrie mais plutot comme faisant partie de l'analyse. Et toute bonne analyse commence par de la topologie. Toutefois, certains aspects de la topologie relevent de la geometrie et vis-et-versa. Cependant, je ne saurais tracer une separation nette. Utilisateur:Ektoplastor, 09/18/06, 12:58, HdNY

Je trouve important de bien cadrer dans le titre le sujet de l'article. Un premier point est bien sûr de bien distinguer celui-ci avec des variétés différentielles d'une part, et des variétés topologiques d'autre part. En passant un vocable recouvrant ces deux notions est celui de recollement par fonctions régulières (qui peuvent être selon le cas continues, lisses, analytiques, rationnelles). Il faut également mettre en avant le caractère introductif et général de l'exposé. Bien que personnellement assez mauvais en titre, j'y vais de ma petite proposition:"Notion de Variété" suivi éventuellement de "en maths (et physique)" ou "en géométrie" (trop restrictif à mon goût) s'il faut différencier d'un autre article (philosophie, biologie...) Sinon quelquechose comme "Variétés en général" (moin bon). Pour conclure, je tiens à souligner qu'il me paraît nécessaire de choisir un nouveau titre.

RudeWolf

Un souci : la place accordée aux cartes et atlas

Je suis désolé de revenir si tard, j'avais papillonné loin de l'article, mais un petit souci m'a soudain traversé la tête hier, d'ailleurs à un moment où j'étais éloigné de l'écran, et je suis revenu voir ce qu'il en était.

Je suis un peu gêné par le plan de la partie 5, je vais essayer de faire passer mon souci. On peut le centrer sur une phrase à savoir «Un atlas peut aussi être utilisé pour définir une structure additionnelle sur une variété.» Or —autant qu'une explication informelle ait une valeur de vérité— ceci me semble plutôt faux : si on s'intéresse aux variétés topologiques, les atlas ne servent à rien : tous les atlas sur la variété se prolongent en le même atlas maximal (l'atlas de tous les homéomorphismes entre un ouvert de la variété et un ouvert de Rⁿ) et le concept d'atlas n'apporte rien que la topologie de la variété ne nous dise déjà ; il est totalement inopérant. Introduire un atlas n'a d'intérêt que quand on veut étudier une variété munie d'une structure plus fine que la structure topologique.

Une fois que j'ai constaté ça, je me mets à avoir des doutes sur la pertinence de tant insister sur les atlas et les changements de carte : c'est une technique de géométrie différentielle, mais si on décide que cet article porte sur les variétés en général, c'est un peu gênant de ne pas pointer que justement ils servent seulement dans ce cadre. Et du coup je relis un peu l'article et je me demande si ce concept qui, même en géométrie différentielle, n'est qu'une nécessité technique utile pour écrire des définitions correctes n'est pas trop présent (je ne connais pas de source faisant autrement, mais n'est-il pas techniquement possible d'utiliser des faisceaux d'ailleurs ? Je n'ai pas la réponse à cette question Voir Dieudonné Eléments d'analyse tome 3 exercice 1 du XVI 3 -oui c'est faisable et on peut, semble-t-il, s'amuser à faire toute la théorie sans les concepts de "carte" ni d'"atlas", comme je le soupçonnais). Bon ne jouons pas trop l'iconoclaste en ajoutant trop de critiques (c'est un peu gênant de venir ici en raleur alors que j'ai si peu construit), mais je vois quand même un gros problème au statut donné aux atlas dans l'article. Touriste * (Discuter) 27 septembre 2006 à 17:01 (CEST)

Bouh, c'est une remarque compliquée. Si tu me permets, je ne vais pas répondre directement et adopter un autre point de vue. On essaie de faire comprendre ce qu'est une variété. Pour moi, il s'agit intuitivement d'un objet géométrique qui peut être paramétré par des exemplaires de R^n. Cette intuition conduit à la définition formelle avec les cartes. Je n'en connais pas d'autre, mais je n'ai pas l'impression qu'une définition avec les faisceaux serait moins technique. Le truc est que la définition avec les cartes est un peu impigeable au premier abord ; donc on en fait des tartines, avec des exemples, et on espère qu'elle sera plus claire après. De plus, cette définition avec les cartes à le bon goût, outre de faire que les sous-variétés soient des variétés, ce qui est un minimum, de permettre de construire plein de variétés abstraites par recollement, etc., de façon naturelle. Il me semble que ces quelques points justifient le choix de parler de cartes dans un article introductif sur les variétés. D'ailleurs, je ne connais pas de cours introductif où les choses soient faites autrement.

Du coup, j'ai l'impression que ta remarque se situe à un plus haut niveau : comment un mathématicien expérimenté va-t-il travailler avec les variétés? même question suivant leur régularité? Va-t-il encore utiliser des cartes? Tu sembles répondre non à cette question, je veux bien te croire. Mais je ne suis pas convaincu qu'unnon à cette question implique qu'on doive reléguer les cartes au second plan pour un article introductif.

Qu'en penses-tu? J'en profite aussi pour te remercier pour toute remarque ou critique déjà faite ou à venir : elles sont plus que bienvenues.Salle 27 septembre 2006 à 20:19 (CEST)

Si on veut avoir une idée "intuitive" de ce que sont les variétés, la définition comme espaces topologiques localement homéomorphes (on dira "ressemblant localement" pour le grand public :-)) à Rⁿ est impeccable. On peut même dire qu'on appellera "carte" un tel homéomorphisme local. Là où les choses se corsent, c'est quand on se met à insister sur les "changements de carte" ou les "atlas". Eux n'ont d'intérêt que quand on veut exiger un supplément de structure ; là on aura besoin de dire par exemple qu'on exige que les changements de carte sont de classe C¹. En gros ce que je dis (en gros) c'est que "atlas" ne concerne que les variétés différentielles. C'est sur ce mot que je fais ma petite fixation. Les cartes, il est évident qu'on s'en sert tout le temps ; en revanche les changements de carte ou atlas on ne s'en sert qu'implicitement, en théorie on a à les invoquer chaque fois qu'on définit un nouvel objet pour justifier que sa définition a un sens, en pratique on doit assez vite le sous-entendre. Mon titre de section était donc un peu maladroit, qui met sur le même plan les deux concepts : OK pour insister sur les "cartes" beaucoup moins sur les "changements de carte" et les "atlas". Clarifiè-je un peu ma pensée ainsi ? Touriste * (Discuter) 27 septembre 2006 à 20:48 (CEST)

mes deux arguments "au débotté"

la définition la plus simple des "variétés abstraites", topologiques ou non, se fait en donnant des ouverts et des applications de changement de cartes, y compris dans le cadre topologique. C'est le premier exemple "maniable" de variétés données sous une forme autre que plongée. Du point de vue conceptuel c'est essentiel (paste and glue).

en outre les "structures additionnelles", qui t'apparaissent comme un surplus en raison de ta trop grande sagacité, manqueraient si elles n'étaient pas évoquées : quand on parle de coller des morceaux de Rⁿ, duquel parle-t-on ? de l'espace vectoriel pur ? ou euclidien ? il faut réaliser aussi que le calcul diff qui est une évidence sur Rⁿ n'en est plus une. Suivant comment on s'y prend lors du recollement, on n'est plus dans le même monde.

enfin je ne vois pas de problème à donner la parité aux variétés différentielles et topologiques, tant qu'on en reste surtout à l'évocation de leurs points communs (les changements de cartes pouvant en être un, cf mon premier point) Peps 27 septembre 2006 à 21:44 (CEST)

Vraiment là nous ne communiquons pas bien. Lorsqu'on recolle, même dans le cadre différentiable, il y a deux choses à faire : il faut construire une topologie sur le nouvel ensemble X formé par quotient ensembliste de la réunion disjointe des variétés X_1,...,X_n recollées, PUIS il faut préciser quel atlas on met sur cet espace topologique. Mais la première partie (mettre une topologie) se fait sans considération de "cartes" ou de bijections privilégiées entre les X_i et un modèle extérieur. Et lorsqu'on est en théorie des variétés topologiques, il n'y a même pas de cartes à considérer : une fois qu'on a correctement expliqué ce que sont les ouverts sur l'ensemble X, la construction est terminée. Dans toutes les théories, quand on colle "des morceaux de Rⁿ" ce qu'on colle c'est très exactement des espaces topologiques homéomorphes à des ouverts de l'espace topologique Rⁿ ; PUIS une fois qu'on a un espace topologique ainsi construit par "paste and glue" on lui ajoute éventuellement une structure additionnelle. Une variété, même différentielle, même riemanienne, c'est un espace topologique ET un atlas ; on ne peut s'intéresser à l'atlas sans avoir D'ABORD précisé l'ensemble des ouverts. Touriste * (Discuter) 27 septembre 2006 à 21:54 (CEST)

(conflit de sauvegarde avec Ektoplastor, je cours lire sa réponse).

(sur la relation de cocyclicité - en prolongement d'une discussion initiée sur la page AdQ) : je ne vois pas bien pourquoi tu y tiens tant ; cette relation est vraie pour toutes applications $\chi _{i}$, $\chi _{j}$ et $\chi _{k}$, que ce soient des cartes ou n'importe quoi, et je ne vois pas bien pourquoi la mettre en relief. Tiens je ne vois rien de plus à dire : je crois que c'est à toi de la défendre si tu y tiens, elle ne me semble pas massivement utilisée dans la mise en place de la théorie, quelle importance lui vois-tu donc ? Touriste * (Discuter) 27 septembre 2006 à 22:32 (CEST)

j'ai l'impression qu'on ne parle pas de la même chose... ce que j'appelle "l'atlas abstrait" c'est justement ne pas préciser d'espace topologique sous jacent, mais faire une déf formelle par des ouverts et des applications vérifiant cette relation qui n'est alors plus une tautologie. Le cocycle c'est dire que les applications d'identification sont compatibles. Par ailleurs, tu dis qu'on peut faire le contraire : ne prendre que l'espace topologique comme point de départ. C'est vrai mais je ne vois pas en quoi ça contredit ce qui précède ? c'est peut être lié à l'heure, je relirai ça demain Peps 27 septembre 2006 à 23:22 (CEST)

Je vais essayer de repondre une reponse claire :

• En effet, pour definir une variete topologique, on n'a pas besoin de la notion d'atlas. Par contre, lorsqu'on construit une variete topologique en recollant des ouverts de Rⁿ, on definit implicitement un espace topologique muni d'un atlas, meme si encore une fois la notion d'atlas est secondaire dans ce contexte. Oui, les atlas permettent de gagner des structures supplementaires (variete differentielle, symplectique, affine, riemannienne plate).
• Mais je ne suis pas d'accord sur la derniere explication : les cartes n'ont ni moins ni plus d'interet que les changements de carte en geodiff. C'est une erreur des physiciens de toujours exprimer les objets dans des cartes locales, et de montrer que la forme de cette expression est invariante par changement de cartes. Tous les objets devraient pouvoir se definir comme sections de fibres ou de fibrations. Ce qui en pratique est vrai...
• Ce qui amene le debat sur la notion de faisceau. Il serait en effet absurde de parler de faisceau dans un article introductif, alors que cette notion presuppose des connaissances sur le recollement de fonctions et/ou les fibres vectoriels. Ces connaissances ne servent qu'a clarifier la definition, evidemment. L'espace des sections d'un fibre vectoriel sur un espace paracompact est un module sur l'algebre des fonctions continues. Deux fibres sont isomorphes ssi les modules sont isomorphes. De meme en geometrie differentielle. L'algebre des fonctions differentiables sur une variete differentielle reflete la donnee de la variete et de sa structure differentiable. Faudrait clarifier ce point de vue. Utilisateur:Ektoplastor, 09/27/06, 21:53 CEST

vouaye mais dans quel article ? le fameux variété différentielle qui souffre un peu de la comparaison ! Là la question d'anneau des fonctions différentiables deviendra essentielle Peps 27 septembre 2006 à 23:26 (CEST)

Une phrase bizarre

J'ai trouvé cette phrase dans la section sur la construction par quotient : La topologie globale d'un feuilletage peut être compliquée, et sa topologie quotient inexploitable. Quelqu'un sait-il ce que c'est censé signifier ? Il me semble qu'on pourrait dire la même chose de n'importe quoi.Salle 28 septembre 2006 à 11:41 (CEST)

Cela signifie deux choses :

• La topologie de l'espace des feuilles des feuilletages peut etre la topologie grossiere. Par exemple, penses au feuilletage du tore par des droites de pente irrationnelle. Cette topologie n'apporte que peu d'informations ...
• La topologie globale du feuilletage est compliquee en general. Comment verifier par exemple que toutes les feuilles sont compactes ?

Utilisateur:Ektoplastor, qui ne voit pas l'interet de cette phrase pour autant, le 3 octobre, 6:00 CEST

commentaire sur dernière vague de suppression/modification

Les suppressions et ajouts effectués ne me satisfont guère mais on touche des problèmes de fond au niveau de l'articulation de cet article avec variété topologique et variété différentielle

• pourquoi abandonner la lemniscate (citée nulle part dans le texte, ne garder que le dessin avec cette explication croupion ne me paraît pas compréhensible) ? pour se faire une idée géométrique de ce qu'est une variété (objectif premier d'un article non formalisé, par opposition aux deux autres) il est important d'exclure la croix (même si comme j'avais déjà dit, la remarque topologique était trop détaillée).
• a contrario je ne vois pas l'intérêt de détailler trop dans cet article la question del'invariance de la dimension. Notamment je ne vois pas l'intérêt de s'étendre sur des questions de conventions vis à vis de la connexité, qui relèvent des articles techniques.
• "En pratique et malgré la relative simplicité de leur définition, les variétés topologiques ne sont pas les objets les plus faciles à étudier ; la classe de variété la plus propre à une étude élémentaire sera celle des variétés diff" ??? tout dépend de quelle étude on parle !! et elle ne sera certainement pas élémentaire pour autant !! La catégorie élémentaire ne serait elle pas plutôt le piecewise linear ? l'analytique complexe ? selon quels critères ???
• "Sur une variété topologique, il n'est pas possible de reconnaître si une fonction est ou non dérivable." -> qu'est ce que ça veut dire ?
• pour tout le paragraphe d'introduction des concepts des variétés différentielles (vecteur tangent, mesure,... ) on en dit à mon avis trop ou trop peu, c'est pourquoi je penserais plus judicieux d'évoquer cela dans l'article correspondant. Par exemple, on se fiche en ouvrant un article général sur les variétés de savoir si c'est pareil en classe C1 ou C12, en revanche c'est important de le dire dans variété différentielle. Peps 3 octobre 2006 à 10:08 (CEST)

par ailleurs Touriste tu n'as plus parlé du cocycle (ci dessus). Je ne sais donc pas si tu es d'accord avec sa présence.En tout cas quand tu dis qu'on fait le "quotient ensembliste de la réunion disjointe des variétés X_1,...,X_n recollées, PUIS il faut préciser quel atlas" : définir un recollement c'est justement donner un atlas (les futurs "changements de cartes" sont les applications de recollement), mais sous forme abstraite (puisqu'on ne donne pas l'espace topo ni les cartes). Peps 3 octobre 2006 à 10:08 (CEST)

Je vais essayer de répondre plus longuement, mais une remarque d'ensemble : je t'accorde que ce que j'ai écrit est probablement trop détaillé. Par "philosophie générale de la Wikipédia" je trouve souvent les articles trop riches en informations et donc n'allant pas assez à l'essentiel. Si vous sabrez dans ce que j'ai écrit, je ne me formaliserai donc pas, bien au contraire. Supprimons supprimons c'est comme ça qu'on améliore la qualité ! Je vais prendre plus de temps pour regarder tes remarques point par point. Touriste * (Discuter) 3 octobre 2006 à 10:13 (CEST)

surtout pas ! ma préférence serait que TU transportes les informations dans les autres articles, puisque j'y vois pour ma part un problème de répartition. En tout cas personnellement je n'arrive pas à supprimer les interventions des autres du moment qu'elles sont justes. Peps 3 octobre 2006 à 10:41 (CEST)

Voyons maintenant point par point :

• Sur la lemniscate, je regarde les deux versions, et préfère plutôt ce que j'ai fait (ce qui est cohérent avec ma philosophie générale "il y a trop de choses dans les articles, il faut sabrer" !). Je crois que c'est une question de goût sur la densité des infos, pas de fond, et ne défends pas mordicus mon choix — attendons de voir l'avis des autres éditeurs de la page ;

((Je vois après avoir sauvegardé que tu as établi une "version intermédiaire" entre temps, qui me convient très bien));

• L'«invariance de la dimension» je l'ai introduite parce que ça me semblait intéressant pour montrer quels genres de théorèmes apparaissent dans les premières choses qu'on peut dire sur les variétés topologiques. C'est typiquement le genre de choses que vous pouvez sabrer sans me froisser en rien. Élaguons, élaguons !!!
• Sur la comparaision de techinicité top/diff là je défends plutôt mon idée (la phrase étant modifiable à l'envi évidemment). Le côté "élémentaire" est plutôt un constat quant à l'organisation des sources ; la théorie différentielle s'enseigne couramment niveau graduate les théories topologiques sont des connaissances plus spécialisées. Mais c'est sans doute un peu plus subtil ; diff apparaît si tôt pas seulement parce que c'est "élémentaire" mais aussi parce que ça ouvre davantage sur d'autres théories. Vous pouvez sabrer je ne pleurerai pas la phrase. Tiens au passage une bonne remarque : quel statut donner au PL dans cet article ?
• Ah ma phrase n'est pas claire ? Je voulais dire qu'il n'y a pas de définition de "fonction différentiable" sur une variété topologique alors qu'il y en a une sur une variété différentiable, simplement. Je trouvais que ça pointait bien la différence entre les deux concepts. Si vous le dites autrement, ça ne me gêne pas ;

((La nouvelle version me convient très bien.))

• Il y avait déjà quelque chose sur les vecteurs tangents dans la version initiale, j'ai ajouté la remarque sur la théorie de la mesure. Là je défends assez pied à pied ma version : dans l'article global et spécialement dans le coin de l'article où on soupèse les définitions, il est intéressant de montrer quels outils on est obligé d'abandonner si on préfère Top à Diff ;
• Idem sur le principe de mes remarques sur C1 versus Cinfini. Autant je concède qu'elles sont peut-être trop verbeuses en l'état, autant je pense qu'elles ont leur place ici parce qu'elles justifient le plan. Pourquoi fait-on une sous-section "Variétés topologiques" et une sous-section "Variétés différentiables" et non plusieurs sous-sections distinctes "Variétés C1" "Variétés Cinfini" "Variétés analytiques" ? Pour moi c'est un des théorèmes vraiment fondateurs de la théorie, qui a l'inconvénient d'avoir une démonstration difficile donc de ne pouvoir être placé "au début" dans un cours, mais qui a bien sa place dans l'article fondamental pour un survol global disant seulement l'essentiel ;
• sur la relation de cocyclicité, là on a apparemment une divergence importante que je soupçonne due à un malentendu, je prends mon temps pour réfléchir à quoi faire sur ce dernier point. Touriste * (Discuter) 3 octobre 2006 à 10:28 (CEST)

Quelques mots sur le cocycle avant de m'éloigner un moment du clavier. Je soupçonne de plus en plus le malentendu en voyant comment tu as tronqué ma phrase dans ta citation. Reprenons. Pour recoller des variétés il y a TROIS choses à faire :

• Passer à l'ensemble-quotient de la réunion disjointe des variétés. La "relation de cocyclicité" sert déjà là mais elle me semble très secondaire ; c'est juste une façon de dire que la relation d'équivalence par laquelle on quotiente doit être transitive —dans un article généraliste ce genre de choses peut rester dans le domaine de l'implicite ;
• PUIS il faut mettre une topologie sur ce quotient, ce qui est plutôt rasant et technique (je n'ai pas de source sous la main d'ailleurs fournissant des conditions suffisantes où ça marche - j'ai l'impression que les livres font souvent ça en considérant le lecteur comme capable de boucher les trous, les recollements étant souvent primaires, du genre recollement un par un de handlebodies sur une surface existante. Je suppose qu'il faudrait faire gaffe à plein de détails pour ne pas construire maladroitement des variétés non séparées, ou lorsqu'on fait des recollement à infinité de pièces) ((Rajouté deux heures après : non en fait ça ne doit pas être si technique si on recolle le long d'ouverts - prendre la topologie la moins fine contenant tous les ouverts des X_i ; c'est seulement plus pénible si on recolle par des bords (et bien sûr on a de toutes façons le problème de la séparation et de la paracompacité du recollement))) ;
• ENFIN il faut, si on travaille en Diff, préciser un atlas (la dernière étape n'intervenant pas en Top). Là c'est au contraire sans subtilité : on prend la réunion des atlas des X_i. ((Rajouté deux heures après : avec évidemment des technicités si on recolle le long de bords)).

Donc ta version me semble surestimer l'importance de la relation de cocyclicité et des cartes. Me rejoins-tu quand je détaille davantage ? Touriste * (Discuter) 3 octobre 2006 à 10:52 (CEST)

Je ne vais encore pas répondre sur les choses techniques, parce que je n'en suis pas capable, je vous laisse le soin de débattre entre vous ; je me contente juste de livrer une impression : celle que Touriste s'attache beaucoup à faire une distinction fondamentale entre variétés diff et variétés topo ; l'article ayant été rédigé dans l'esprit qu'on pouvait donner simultanément une idée des deux notions, j'ai peur que cette divergence initiale ne puisse être résolue avec de menues modif dans l'article : j'ai l'impression que ce qui te satisferait, en définitive, ce serait qu'on abandonne l'idée d'un tel article. Je ne suis pas vraiment d'accord : par exemple, tu dis : Le côté "élémentaire" est plutôt un constat quant à l'organisation des sources ; la théorie différentielle s'enseigne couramment niveau graduate les théories topologiques sont des connaissances plus spécialisées. Cela ne me semble pas vrai : j'ai vu les deux notions dans deux cours de maîtrise, un professé par un géomètre, l'autre par un analyste. Par ailleurs, les arguments que tu avances pour dire qu'en définitive, il n'y a pas besoin d'atlas pour les variétés topo, me semblent être des arguments très fins : typiquement, des choses qui devront être dites dans des articles spécialisés, mais qu'on peut benoîtement ignorer dans un article général.

Pour éviter de discuter sans fin, il faudrait donc être d'accord sur les objectifs : le mien, si je puis dire, est d'expliquer ce qu'est une variété - elle est au départ topologique, et si les changements de carte sont comme il faut, elle sera différentielle ; de plus, cette définition par les cartes et les changements de cartes permet de construire facilement des variétés abstraites - j'ai l'impression qu'il y a aussi une divergence importante sur ce facilement, et il faudrait la mettre au clair. Qu'en pensez-vous?Salle 3 octobre 2006 à 13:34 (CEST)

Non je ne crois pas du tout que l'article doive être abandonné. C'est un article sur l'idée naïve de variété (“une variété c'est un truc qui ressemble à un bretzel”) dont le plan est très satisfaisant, qui glisse très proprement de choses assez naïves fort bien vulgarisées (je n'ai éprouvé le besoin de mettre les pieds dans le plat qu'à la section 5) à des choses qui se veulent plus précises. Mais à partir du moment où on commence à dire "Définitions" on glisse quand même dans des mathématiques un peu plus techniques, et on ne peut faire l'impasse sur les technicités.

Je reste sur ma position selon laquelle Diff est plus élémentaire que Top (sans avoir la moindre objection à ce que ma phrase soit effacée zou, c'est le meilleur traitement à donner à une phrase non consensuelle —d'ailleurs c'est typiquement un "point de vue non sourcé" rezou). Je suis un peu curieux de savoir ce que tes cours de maîtrise pouvaient dire sur Top, si ce n'est peut-être en dimension 2 : une fois qu'on a donné la définition on est assez vite bloqué, et faire quelques commentaires sur la séparation ou la paracompacité (pertinents et judicieusement relégués en article spécialisé) que dire ? Qu'elles sont triangulables en dimension 2 et (si je ne m'abuse) 3 ? C'est déjà non évident et très technique. Dans un cas la partie élémentaire de la théorie est limitée à une définition, dans l'autre à au moins un paquet de définitions (celles d'espace tangent, de formes différentielles, etc...) et rapidement à des théorèmes (Stokes par exemple). Justement je ne suis pas trop d'accord avec ton "une variété est d'abord topologique, puis elle deviendra différentielle" : les variétés intuitives (les cercles par opposition aux fractales) sont éminemment différentielles. Il y a deux objets dont l'un contient l'autre dans sa définition, mais ce n'est pas nécessairement le plus simple (du moins le plus simple à définir) qui est le plus pertinent : pour donner un exemple par analogie R ne me semble pas être d'abord un groupe additif, qui deviendra un corps si on lui met une multiplication ; c'est profondément un corps ordonné.

Dernier point sur lequel je me montre têtu : ça ne me semble pas une technicité fine que de voir qu'on n'a pas besoin des atlas pour étudier Top. D'ailleurs la version de l'article avant ma définition définissait Top sans parler d'atlas, je lui reprochais ensuite de trop mettre justement ce concept technique en valeur. Là j'insiste très fort là-dessus : si l'article, avec raison, a un objectif de vulgarisation, ce concept technique d'atlas ne me semble pas plus avoir à être mis en valeur que le concept technique de paracompacité, pour être volontairement un peu excessif. Et présenter comment on recolle techniquement alors que le mot intuitif "recoller" explique fort bien les choses à un profane, ça me semble plutôt inutile ; subsidiairement à supposer que ce soit utile, ce n'est pas "centré" sur le concept d'atlas, je le répète encore : il y a d'abord à recoller les espaces topologiques sous-jacents aux variétés, et ce n'est pas tout à fait trivial ni moins important que recoller les éventulles structures différentielles. Touriste * (Discuter) 3 octobre 2006 à 14:03 (CEST)

En fait, je viens de me rendre compte que j'ai honteusement menti : le cours que je pensais de topologie, et que je n'avais en fait pas suivi, s'intitulait Topologie des variétés différentielles. Vraiment désolé. J'essaie quand même de répondre ; je précise que je ne sais pas qui de toi ou de Peps a raison, et que j'essaie de comprendre. Par exemple : il y a d'abord à recoller les espaces topologiques sous-jacents aux variétés, et ce n'est pas tout à fait trivial ni moins important que recoller les éventulles structures différentielles. J'aimerais savoir ce que Peps dit à ça.

Pour moi, un cours de topologie non différentielle partira sur les groupes d'homotopie ; j'avais envie de dire l'homologie singulière mais il y a le problème de la triangulation ; les théories cohomologiques. Bon, j'imagine que tu vas me dire que tout ceci n'est pas spécifique aux variétés, et qu'on peut le faire pour des CW-complexes. En tout cas, ça ne me paraît pas relever dans l'esprit du domaine diff, ni ne me paraît moins élémentaire que, disons, la cohomologie de De Rham, ou le théorème de Stokes. Autre point, tu dis :les variétés intuitives (les cercles par opposition aux fractales) sont éminemment différentielles. Mon souci est que tu peux remplacer différentielle par analytique, ou algébrique, et ça marche encore. :::Tous ces arguments sont bien faibles, et surtout contournés, au regard des tiens. Je rajouterai juste celui-là, plus affectif : j'aime bien le concept d'atlas parce qu'il a le bon goût d'être intuitif, et de correspondre à un objet qu'on manipule tous les jours où on part en vacances ; c'est-à-dire qu'on a des cartes, mais aussi des changements de cartes : les rabats qui assurent la continuité.Salle 3 octobre 2006 à 16:11 (CEST)

attention avec les arguments de simplicité. Un carré est une variété topologique, simplissime et immédiate, non ? Mais les arguments courbes contre pointes sont dangereux, il faut se rappeler qu'un carré peut être paramétré de façon C infini, et qu'il est aussi une variété différentiable même s'il n'est pas, tel quel, une sous-variété. Il faut dépasser la dimension 4 pour seulement avoir vraiment une distinction Top contre Diff, ce n'est donc pas si facile de faire sentir cela comme plus qu'une différence d'outil. Présenter les structures exotiques des sphères ou de R4 me semble d'ailleurs le seul moyen de rendre concret cela... pas évident. Pour von Koch, comment voit-on puis comment montre-t-on que c'est une variété topo ? ça ne semble pas évident ! Peps 3 octobre 2006 à 20:06 (CEST)

Pour essayer d'en finir avec la cocyclicité : tu as bien résumé le problème, notamment elle contrôle le recollement. Il me semblait que les notations n'étaient pas trop formelles puisque reprises des exemples. Mais dans la mesure où l'exemple concret de variété formelle (cercle) n'utilise que deux morceaux, je me résigne donc à sa disparition et à son remplacement par une formulation molle, non explicite. Cela dit il faut aussi une unité de présentation : cette idée des applications de transition / recollement est déjà évoquée dans plusieurs autres paragraphes, le tout est que l'ensemble soit intelligible. Je vais voir ce que je peux faire Peps 3 octobre 2006 à 20:16 (CEST)

par contre pour Touriste je ne comprends pas bien sa croisade anti-atlas : dans le cadre topo, quelle différence entre la donnée d'un atlas et d'une série de recollements ouverts (supposés fonctionner) ? dans les deux cas, c'est la donnée d'un paquet d'applications de changements de cartes, non ? la seule différence est de savoir qui on a défini avant quoi

Dire que le mot intuitif "recoller" explique fort bien les choses à un profane, me paraît douteux : ce qui est difficile à comprendre dans un patron c'est aussi comment on "gagne une dimension". Parce que si je colle un papier (plan) en cylindre j'ai un objet qui n'existe qu'en espace ambiant de dim 3. Et si je fais avec une bouteille de Klein, en dim 4. Comment est ce possible ? ce n'est pas du tout intuitif (quel lecteur se déprendra du premier coup des variétés plongées ?) ! Peps 3 octobre 2006 à 20:28 (CEST)

«Croisade anti-atlas» est un peu fort :-) Je trouve simplement que le concept n'est pas central (mais en ai tout de même conservé une mention). Dans le cadre topologique, on peut certes utiliser l'atlas mais il est redondant ; d'ailleurs la définition de "variété topologique" (qui était correcte avant mes interventions, entièrement incluse dans le premier paragraphe de la partie 5) s'en passe. Dans ce cadre, c'est donc un concept superflu et j'imagine mal des circonstances où on aurait à s'en servir. En fait je ne comprends pas bien ta question : qu'appelles-tu une "série de recollements ouverts" ? Pour recoller des variétés topologiques, on a besoin d'identifier des points des unes aux autres, mais ceci peut se faire sans faire intervenir des ouverts de R^n auxiliaires ; c'est juste des homéomorphismes entre ouverts des X_i qui décrivent le recollement à faire, pas besoin d'aller demander l'intervention de l'espace de référence. Touriste * (Discuter) 3 octobre 2006 à 20:32 (CEST)

Pour moi "atlas" peut désigner aussi bien l'atlas concret (espace, ouverts de Rn, cartes, chgmts cartes), que l'atlas abstrait (ouverts de Rn, chgmts cartes seuls). Dans ce cadre, je ne vois pas de différence entre "définir par recollement" et "donner un atlas abstrait". J'ignore si cette terminologie (sucée avec le lait des études) est classique ou non ; c'est vrai que je l'ai entendu introduite en topo diff, mais je ne vois pas en quoi elle n'aurait pas de sens pour Top ?

je ne nie pas que la définition des variétés topo puisse se passer d'atlas, il n'en reste pas moins que je rejoins Salle sur l'idée que c'est le moyen le plus concret de se figurer une variété (telle que la bouteille de Klein). Hormis les sous-variétés des espaces de petite dim, c'est aussi le moyen d'introduction le plus fréquent me semble-t-il.

Ben là on ne communique plus, je ne vois pas ce que tu appelles «atlas abstrait» et «atlas concret» ; je ne connais qu'"atlas" et "atlas maximal". Il semble que tu as une idée intuitive des atlas que je ne ressens pas, et je ne peux que me rattacher aux concepts formalistes pour te suivre... sans y parvenir vraiment.

tu pars d'un atlas (espace, ouverts de Rn, cartes, chgmts cartes), tu vires l'espace topologique et les cartes, il te reste un atlas abstrait (ouverts de Rn, chgmts cartes seuls) à partir duquel tu peux reconstruire la variété. On peut construire des variétés en donnant uniquement un atlas abstrait, c à d des ouverts et des applications, c'est une méthode classique de construction du fibré tangent par exemple.

Oh merci je n'avais jamais entendu parler de ça mais ça a l'air sympa en effet. Voilà le malentendu est enfin identifié !!! Du coup mes réserves sur les atlas reculent sérieusement. Tu as une source qui traite ça comme ça ? Touriste * (Discuter) 3 octobre 2006 à 23:42 (CEST)

sous CE NOM je ne sais pas s'il y en a beaucoup (?). C'est au moins ce que fait F. Laudenbach dans son cours de topologie différentielle (cours de l'X), mais il ne cite pas dans quelle source il a pêché cette terminologie. Les autres bouquins que j'ai torchent les variétés en deux pages alors... Sauf erreur, tout ce qui est recollé à base de cocycles (fibrés notamment) se base sur cette méthode. Le défaut c'est que rien n'assure a priori que le passage au quotient ira bien. C'est une "mauvaise réciproque" de la définition des variétés, et certes pas une déf alternative. La terminologie "abstrait" est largement utilisée pour définir des objets définis hors espace de référence (cf polyèdres abstraits), c'est ce qui me faisait penser qu'elle était classique.... ça ne semble pas si sûr ! Peps 4 octobre 2006 à 15:09 (CEST)

J'ai du mal à trouver les atlas "moyens le plus concrets" pour se figurer une variété. Là j'ai pris une minute d'éloignement de l'écran pour essayer de comprendre comment je visualise les variétés non trivialement plongeables dans un R^n que je connais. En pratique elles me semblent se rattacher à une façon ou une autre de les construire, et je les visualise par la construction plus que par l'atlas : si je pense au revêtement universel de SL_2, je me fais une image mentale qui mélange vaguement un groupe de matrices et un escalier en spirale, mais aucun atlas dans mon image mentale ; puis je me suis demandé comment je penserais à R³/Z³ et là je m'y vois debout et un peu inquiet de mes perceptions : devant moi à quelques mètres il y a mon dos, je me vois à ma droite et à ma gauche et quand je regarde en l'air je vois mes semelles (hum je devrais boire moins :-)) : là encore ma pensée ne fait pas du tout usage d'atlas. J'ai l'impression que ma perception intuitive des variétés tourne autour de "groupe" beaucoup plus qu'autour d'"atlas". Après comme «moyen d'introduction» vu que c'est dans la définition, on ne coupe pas à être obligé d'utiliser un atlas pour construire diverses variétés dans des instants techniques (là j'ouvre le Dieudonné que j'ai sous la main et le vois construire soigneusement des atlas pour donner des structures de variété à des espaces d'orbites ou à des fibrés —et on n'y coupe pas si on veut être rigoureux) mais ces atlas, rigoureusement indispensables, ne me semblent pas présents dans l'idée que je me fais des variétés : dans mon cerveau le projectif, c'est la sphère où on identifie des points antipodaux (un quotient sous action de Z/2Z), ce n'est pas du tout un machin décrit par un certain nombre de cartes. D'ailleurs mettre une topologie sur un espace d'orbites, c'est fait un tome plus haut dans le traité que j'ai sous la main, quelques centaines de pages la définition du mot «atlas». Maintenant, si ta perception des variétés est très différente de la mienne, c'est le symptome d'une évidence : tout le monde ne se fonde pas sur les mêmes images mentales, et j'aurais du mal à prétendre que ma façon de penser est la bonne... Touriste * (Discuter) 3 octobre 2006 à 21:37 (CEST)

marrant ça, tu en as une appréhension beaucoup plus globale que moi ! pour moi les variétés sont naturellement brumeuses (je suis très myope c'est vrai), et on n'y voit rarement beaucoup plus loin que le bout de sa carte. Lorsque l'espace est plus dégagé, ma vue suit toujours plus ou moins des géodésiques et je vois le repliement au bout de quelques cartes, s'il a lieu. Donc ma vision naturelle c'est la carte géodésique + le cut locus pour refermer tout cela non trivialement. Pour les représentations imparfaites genre auto intersection de la bouteille de Klein, je me vois sur un pontage dimensionnel pour éviter le crash immersif. Pour le projectif, j'aime bien me balader sur la sphère avec deux cartes à la fois, mais je me le représente aussi riemanniennement : une jolie demie-sphère bien ronde, avec un bord magique. Alors que tu privilégies les espaces homogènes, je préfère les patatoïdes. Mais pour les fibrés, j'ai une vue qui se rapproche un peu de la tienne... Peps 3 octobre 2006 à 22:22 (CEST)

ILLISIBLE

Desole pour Peps, Salle et Tourriste, mais leur discussion ci dessus est difficilement lisible. Donc, je vais faire des remarques en touriste (sans jeu de mots, je suis sur qu'il ne s'y attendait pas) :

Je suis d'accord sur un certain nombre de points avec Touriste. La definition formelle qu'il a donne d'une variete topologique est la bonne. Cependant, il est bien venu d'introduire la notion de cartes et d'atlas avant puisque c'est cette notion qui va permettre d'introduire des structures plus riches. Je ne comprends pas les arguments de Peps... Dialogue de sourds ?

Pour le plan, il est a refaire completement (permuter les paragraphes existants, supprimer certains, ...). Voici ma proposition :

1. Introduction
   1. Les cartes
   2. L'exemple de la sphere : on supprime le paragraphe encombrant des exemples introductifs et on ne presente que les projections stereographiques pour la sphere de dimension 2. Pas la peine de donner une formule exacte pour les cartes, on peut determiner l'appication de changement de cartes uniquement par de la trigonometrie elementaire. Possibilite d'introduire un joli dessin.
   3. La dimension et la topologie
   4. Variete abstraite et sous-variete
2. Histoire
   1. Introduction des notions intrinseques
   2. Les travaux de Riemann
   3. L'apport de Weyl
3. Definition des varietes
   1. Les varietes topologiques
   2. Les varietes differentielles (raccourcir si possible, mais les remarques sur la regularite semblent parfaites, mais il faut citer des references - voire des articles. Il faut preciser que cette remarque concerne la classification des vcarietes, car en pratique le degre de regularite a son importance, en particulier, en dynamique sur les varietes par exemple...)
   3. Autres varietes (mais pas d'accord avec le contenu actuel : les groupes de Lie et les varietes riemanniannes demandent d'ajouter des nouvelles structures sur les varietes differentielles, ce qui est HS dans l'article apres reflexion ; ce n'est pas le cas pour les varietes symplectiques ou les varietes localement plates, ou les varietes riemanniennes plates, qui peuvent uniquement definies par des atlas)
4. Construction des varietes
   1. Recollement de varietes et quotient
   2. Definition par fonctions implicites
   3. Produit cartesien (et fibration ? Une fibration generalise les produits cartesiens, et on peut insister que, ici, la definition d'une variete topologique par atlas est plus maniable)
5. Applications des varietes a la physique
   1. Mecanique classique (citer Milnor)
   2. Physique post-newtonnienne

On vire le paragraphe approffondissements, car tout ce qu'il contient peut directement etre insere en remarques dans l'article, ou non indispensable, non ?

J'ai ajoute des demandes de references, car cela me semble indispensable. \

Quand j'y pense, j'ai vire un paragraphe de la premiere section, car non cela me semblait premature a ce niveau, mais en plus, HS, voir mes remarques plus haut...

En tout cas, l'article gagne de plus en plus en qualite de redaction, BRAVO.

Utilisateur:Ektoplastor, 04 octobre 2006, 00:40

Je ne suis pas d'accord, sur pas mal de points : j'ai l'impression que le paragraphe sur les exemples introductifs aura son utilisté pour pas mal de lecteurs ; ne pas le virer avant de l'avoir testé sur des non-matheux. Dans le même ordre d'idée, mettre les applications plus vers le haut semble apprécié de la communauté ; il faut faire attention - même si mon goût personnel rejoint celui d'Ektoplastor sur ce point. Dire que les groupes de Lie et les variétés riemanniennes sont des notions qui se basent sur la notion de variété ne me paraît pas hors-sujet, mais c'est clair qu'il n'y a pas besoin d'en faire des tonnes ; au pire, raccourcir. Pour la section approfondissement, mon goût personnel me porte vers ça, mais si vous êtes plusieurs à vouloir la couper, je ne râlerai pas.Salle 4 octobre 2006 à 10:56 (CEST)

je partage l'avis de Salle ; il faut penser à qui lira cela. Ainsi un exemple explicite, quoique gnangnan, est essentiel pour se faire une première idée concrète. Ce n'est pas un cours.Peps

Sur les applications

la présence simultanée de "applications" et "approfondissements" me gêne un peu ; j'aurais plutôt vu dans applications un volet maths et un volet physiques. Mais bon. Peps 4 octobre 2006 à 15:34 (CEST)

Pourquoi pas ? Et ça permettrait de revoir cette partie Approfondissements qui est bizarre. 1) Je reviens sur un vieux sujet, mais cette liste de sujets connexes est-elle intéressante en l'état ? Le tableau qu'il y a eu à une époque aurait un avantage : les thèmes qu'on a pas eu le temps de vraiment traiter seraient répertoriés - actuellement, on les répertorie, on dit deux mots, mais c'est un peu artificiel : ça nous satisfait nous parce qu'on est contents de les avoir évoqués, mais pour le lecteur ? 2) Le paragraphe sur la classification semble insatisfaisant à tout le monde, sauf éventuellement à son auteur, qui ne sait pas trop ; c'est une occasion de le repasser à la moulinette.Salle 4 octobre 2006 à 18:05 (CEST)

Sur les exemples

Pour Salle et Peps, les exemples tels qu'ils ont ecrit me semblent destines pour les matheux au sens large. Y a trop de formules ! De plus, ils ne sont pas convaincants : ce qu'on essaie de faire n'est pas d'expliciter les cartes (en maths, on s'en fout un peu), mais d'expliciter des changements de cartes pour montrer leur degre de regularite. Voila ce que moi je mettrai a la place :

Par exemple, la sphere euclidienne de dimension 2 peut etre recouvert par un grand nombre de cartes locales. Un premier exemple d'atlas est donne par l'ensemble des projections cartographiques usuelles du globe terrestre. Un atlas peut se contenter de trois cartes :

• La projection de Peters ;
• Les projections de Lambert au pole nord et au pole sud.

Toutefois, ecrire explicitement les applications de changement de cartes dans ce cas s'avere difficile. A ce niveau, on peut seulement affirmer que l'atlas est topologique. Un atlas couramment cite dans les ouvrages classiques de geometrie differentielle est celui des projections stereographiques.

Considerons deux points N et S diametralement opposes (pole nord et pole sud), et le plan mediateur Pi de [NS] (plan equatorial). Pour tout point M de S2 different de N, la droite (NM) est bien definie et intersecte Pi en un unique point $f_{N}(M)$. On obtient ainsi une identification $f_{N}:S^{2}-N\rightarrow \Pi$. En invertissant, on obtient une identification $f_{S}:S^{2}-S\rightarrow \Pi$ (un dessin ?).

Ce sont deux cartes locales dont on essaie de determiner l'application de changement de cartes. Soit A un point de $\Pi$, et $M=f_{N}^{-1}(A)$. Si A=0, alors M est le pole sud S, et $f_{S}(S)$ est non defini. Sinon, posons $B=f_{S}(M)$. Par construction, le point B appartient au plan SNA qui intersecte Pi en la droite OA, en particulier, B appartient a OA.

Le triangle NMS est inscrit dans la sphere $S^{2}$, et les points N et S sont diametralement opposes. Donc, les triangles NMS et N0A sont rectangles en M et 0, et ont un second angle en commun. Ils sont donc semblables. De suite,

$OA/ON=SM/MN=SO/OB$ et donc, $OA.OB=1$.

De fait, l'application de changement de cartes est definie sur $\Pi -0$ ; et la formule precedente en donne une expression explicite :

$f_{N}\circ f_{N}^{-1}(x)=x/\|x\|^{2}$

Expliciter l'application de changement de cartes pour des projections stereographiques de poles non diametralement opposes est plus difficile.

Voila. Un truc de ce genre : un seul exemple bien detaille et convaincant.

Je n'ai rien qu'autre de mettre les applications tot dans l'article. Ma proposition de plan n'etait qu'une proposition ! Seulement, la partie applications parle de tout et de rien ; c'est un discours vide. Je n'ai pas demande de supprimer les info de la partie appronfondissement ; mais ces infos peuvent etre introduites ailleurs dans le texte. Ainsi la question de la classification des varietes peut etre abordee dans la partie definition, ...

Utilisateur:Ektoplastor, meme jour, 04:30 CEST

OK, mais tu peux dire exactement la même chose pour le cercle : projections stéréographiques sur deux pôles ; et c'est ce qui est actuellement dans l'article, présenté comme deuxième atlas. Je ne vois pas en quoi ce serait plus simple de le faire pour la sphère. L'avantage du disque est justement de permettre très facilement d'avoir l'écriture analytique. Quand tu dis Y a trop de formules!, tu n'as qu'à moitié raison : d'une part, les étudiants comprennent en général mieux avec une formule qu'avec un dessin ; d'autre part, les formules ne viennent ici qu'en deuxième rideau, une fois que la description géométrique accompagnée d'un dessin a été donnée. Du coup, j'ai l'impression que ce que tu proposes, et qui est très bien en soi, est au fond une version plus compliquée et moins précise que la version actuelle.Salle 4 octobre 2006 à 17:36 (CEST)

J'ai toujours mieux compris une figure qu'une formule :). Ce que je propose est simplement de raccourcir l'article devenu trop long en enlevant ou reduisant ce qui ne me parait pas consistant ! Utilisateur:Ektoplastor, meme jour, 17:42 (CEST)

Moi, j'ai des périodes figure et des périodes formule. Les deux servent et se complètent. Dans ce cas, on peut laisser tomber l'exemple de la sphère. Déjà, à l'heure actuelle, on dit juste que c'est pareil que pour le cerlce, ce qui ne nous avance pas trop ; ensuite, quitte à faire un exemple, je pense qu'il faut qu'il soit détaillé : parce que sinon, un exemple non détaillé, n'importe quel atlas (un de la vraie vie) en fournit un ; enfin, un exemple détaillé est moins lourd en notations analytiques, et est plus clair en ce qui concerne les figures géométriques, si on choisit le cercle plutôt que la sphère.Salle 4 octobre 2006 à 18:05 (CEST)

OK, va pour le cercle. Mais il faudrait une figure geometrique illustrant les propos ci-dessus. Je trouve que c'est plus clair que la methode analytique qui doit venir en second. Peps, qu'en penses-tu ? Utilisateur:Ektoplastor, 18:11 (CEST)

que j'ai des copies en retard... oups pardon... moi aussi je comprends 100 fois mieux les dessins que les formules, mais force est de constater que pour la majorité de mes auditeurs c'est le contraire ; la formule a un aspect à la fois sécurisant et permet de concrétiser les choses : quand tu dis fonction de X avec X vecteur de R2 ou f(x,y) fonction de 2 variables, pour l'auditeur ce n'est pas du tout le même niveau de difficulté.

la rédaction version Salle me va bien ; il manque peut être une image de l'autre atlas à mettre en vis à vis ; je tente de la mettre Peps 4 octobre 2006 à 22:26 (CEST)

Attention, Peps, si tes eleves te lisent, ils vont pas etre contents : "Oh, mais il est naze not'p'of : il vo po corriger nos copies, il prefer'surfer sur Wikipedia ..."

Plus serieusement, a la relecture, la partie exemples me parait pas si mal, mais c'est le style de redaction, inferieur au reste de l'article qui m'agace. Je vais essayer de faire un truc ! Cependant, ma proposition de refonte du plan tient toujours. Utilisateur:Ektoplastor, 23:40

Euh, et pis non. Reflexion faite, cette partie est lourde et epuisante. Elle donne vraiment une mauvaise image de la geometrie. Que faire ? Je propose de la reecrire. Demain. Et puis vous ferez un revert si pas content ... Utilisateur:Ektoplastor, 23:53

Usez et abusez de shémas. C'est aussi beaucoup plus clair pour moi. On doit avoir des liens de parentés d'autres personnes. A la rigueur, mettre les deux? v_atekor 13 octobre 2006 à 15:48 (CEST)

Ruban de Moebius et autres images

Je viens de tomber sur cette page que je n'avais pas regardé depuis le mois d'octobre. Je n'ai pas eu le temps de la lire mais seulement de regarder les dessins et j'ai trois remarques.

• La légende concernant le ruban de Moebius est, telle qu'écrite actuellement, une erreur. La notion de nombre de face n'a aucun sens pour une variété abstraite, il s'agit d'un artefact du plongement du ruban de Moebius dans R^3. Il est très facile de plonger un ruban de Moebius dans une variété de sorte qu'il ait deux faces, c'est à dire qu'il existe un champ de vecteur normal au ruban. Par contre il est correct de dire que le ruban de Moebius est non-orientable et que son bord est connexe. Bien sûr l'expression ruban de Moebius fait le plus souvent référence au ruban plongé dans R^3 mais cet article devrait faire la distinction. À mon avis la question devrait se régler par la suppression de ce dessin plutôt que par une discussion de la notion de nombre de faces pour une sous-variété.

bien observé, mais il me semble qu'il suffit de supprimer la partie de légende fautive (ou alors il aurait fallu faire une galipette sémantique, puisque la distinction variété - sous-variété ne saurait être faite dès l'intro : c'est cette réalisation (pour plongement) du ruban de Möbius qui n'a qu'une face.) Peps 22 février 2007 à 21:13 (CET)

Toute variété n'a qu'un seul bord. Ici il faut dire que le bord n'a qu'une seule composante ou n'est qu'en un seul tenant. C'est plus juste. Ekto - Plastor 22 février 2007 à 21:16 (CET)

• J'aurais tourné Riemann vers la droite pour l'équilibre ésthétique de la page mais c'est une question de goût.

• La représentation du noeud de trèfle repose sur une convention diagrammatique et je ne suis pas sûr que tous les lecteurs voient le noeud dans l'espace en regardant le diagramme. Il serait facile de se procurer une image du type [[1]].

Pmassot 22 février 2007 à 21:02 (CET)

pour celle là précisément en tout cas, veto : il me semble qu'il y a un copyright Peps 22 février 2007 à 21:13 (CET)

Je précise ma pensée : je suis certain d'obtenir très facilement de l'auteur de cette image une image libre de droit. Mais ce n'est peut-être pas nécessaire si tout le monde est convaincu par le diagramme, il faudrait faire des tests auprès de non-matheux. Pmassot 22 février 2007 à 22:03 (CET)

au contraire, je suis d'accord pour dire que le diagramme est moins bien qu'une figure 3D. Une belle image libre de droits serait vraiment très bienvenue. J'ai trouvé celle-ci mais je trouve que le "câble" est trop épais : ça fait penser à un tore noué plutôt. Peps 22 février 2007 à 22:16 (CET)

Personnellement, je ne trouve aucune des images vraiment claire. A la limite, il faudra inclure un dessin qui visualise le noeud en train de tourner sur lui-même ... Ekto - Plastor 23 février 2007 à 11:11 (CET)

Ça y est, j'ai l'autorisation d'utiliser n'importe quelle image ou video de http://www.ams.org/featurecolumn/archive/lorenz.html. Vous pouvez choisir. Pmassot 26 février 2007 à 09:35 (CET)

pour un tore ...

je dirais plutôt chambre à air que pneu. Qu'en pensez-vous ? pourquoi ne pas en rester au tore ? --Harvestman 21 mars 2007 à 20:38 (CET)

parfaitement vrai ; en cliquant sur tore il y a une image Peps 21 mars 2007 à 20:58 (CET)

Variété?

Il y a un certain mélange entre espace et variétés dans cet article (voir la bibliographie !). Or, la distinction entre les deux est fondamentale (c'est bien parce que la notion d'espace n'est plus spontanée qu'on a besoin de définir les objets géométriques par recollement etc., sans nécessairement les plonger quelque part). --83.202.47.213 19 octobre 2007 à 12:02 (CEST)

Coordonnées locales

Coordonnées locales renvoie vers cet article. Mais le terme n'y est nullement expliqué ! {{User:STyx/Signature}} 10 novembre 2007 à 15:18 (CET)

(petit) attentat contre un AdQ

Je me suis permis de rajouter un exemple au debut de l'article : celui de l'espace projectif de dimension n vu comme ensemble des droites passant par 0 dans l'espace de dimension n+1. Apres quoi, je me suis apercue que l'article etait de qualite. Aïe, aïe, aïe! J'avais donc commis un attentat. En fait, j'ai envie de poursuivre l'attentat et d'expliquer comment les cartes classiques de cet ensemble ont un sens géométrique : on coupe les droites par un hyperplan qui ne passe pas par l'origine, et on peut expliquer geometriquement aussi bien ce qui n'est pas vu par une carte donnee que les changements de carte, et le nombre de carte suffisant pour tout cartographier. D'ailleurs on peut faire une tetrachiee de figures pour le cas de dimension n=1; pour n=2, il faut travailler plus, mais c'est tout aussi possible.

Je suis assez etonnee que sur un sujet aussi geometrique, on donne tant de place aux calculs...

Daqns le fond, l'espace projectif est bien plus facile a comprendre que la bouteille de Klein, et si on aborde plus generalement une grassmanienne comme generalisation evidente de l'espace projectif, on voit bien plus de choses.

Bon, je sais, on enseigne les choses d'une certaine facon et cette certaine facon a tendance a se retrouver partout, par inertie. Mais la consequence est de rendre beaucoup moins comprehensibles les mathematiques. Si j'avais a faire l'eloge d'un mathematicien qui tente de rendre de nouveau les mathematiques comprehensible pour tout un chacun, je penserais d'abord a Etienne Ghys, qui s'est apercu que y'a comme un probleme de communication entre matheux.

Bon, je ne me vexerai pas si quelqu'un supprime mes modifications et retourne a la version anterieure. --Sylvie Martin (d) 28 février 2008 à 00:38 (CET)

Personnellement je ne suis pas fanatique. La métaphore est plaisante certes, elle est de plus justifiée. En revanche, elle fait patchwork. La rupture de style avec le reste de l'article est dommageable à mon gout. L'objectif est louable, et le parti pris systématique des cartes polémique. En revanche, je suis persuadé que la création ou l'enrichissement d'autres articles permettront une meilleure mise en valeur de WP. Attendons la réaction de Peps pour prendre une décision définitive. Jean-Luc W (d) 28 février 2008 à 23:53 (CET)

Pourquoi pas introduire ces infos sur l'espace projectif dans l'article sur 'espace projectif' qui mériterait bien qu'on le rénove. De même, les vidéos sur la bouteille de Klein dans un article là-dessus ; cela éviterait la rupture de style. Cordialement, --Cgolds (d) 29 février 2008 à 01:13 (CET)

je lis "dans le fond, l'espace projectif est bien plus facile a comprendre que la bouteille de Klein". J'ai un avis contraire à Sylvie, ce qui explique quel avait été mon choix. Je me rappelle très bien avoir lu des textes sur les variétés, et sur l'espace projectif dans une encyclopédie (et pas sur la bouteille de Klein) alors que j'étais en Terminale, donc parfaitement innocent. Cette histoire de voir des droites comme des points n'est naturelle que pour des matheux (et encore... pour moi ça reste de l'ordre du coup de force contre ma conscience première des objets), et me semble à des années lumières de la simplicité d'un dessin où il suffit de passer à travers un mur (cf Marcel Aymé). Les représentations du projectif sont soit des immersions moins lisibles que Klein, soit introduites par passage au quotient (je rappelle que la notion de classe d'équivalence n'est même plus au programme des math spé MP - filière math !). Celle que je préférais étant petit c'est la demi-sphère avec téléportation quand on arrive au bord, mais franchement ça me paraît plus compliqué.

deuxième point, les cartes sont la définition première des variétés, le passage au quotient définirait plutôt les espaces homogènes. Même si beaucoup d'exemples classiques en sont, je trouve que l'on tord les idées en mettant cela en avant dès le début (remarque que j'avais -mal- faite à Touriste auparavant).

enfin pour la "place aux calculs" c'est voulu aussi. Je suis personnellement très géomètre dans mon fonctionnement, mais j'ai toujours remarqué que les étudiants sont plus à l'aise quand il y a une écriture explicite donnée en parallèle : "tout faire sur dessin" est beaucoup plus difficile pour eux (même si pour moi, c'est le contraire). L'écriture explicite, d'une certaine façon, sert juste à montrer qu'il en existe une (c'est toute la différence entre "je pourrais écrire une formule" et "voilà le genre de formule qu'on a, même si on ne s'en sert pas").

en revanche, je suis d'accord avec Cgolds pour dire que ce serait bien d'arranger espace projectif : il y a de quoi faire.

Peps (d) 29 février 2008 à 09:31 (CET) pas complètement mort :)

Tout à fait d'accord sur les calculs et la visualisation (un problème de ces 'intuitions' géométriques, pour les étudiants, c'est que ce n'est pas facile de savoir lesquelles marchent et lesquelles non. On développe ce type d'intuition efficiente en travaillant dans un dmaine mais ce n'est pas la même intuition qui peut être utilisée dans un article encyclopédique, où il doit s'agir d'une intuition partagée par tout le monde (Felix Klein a de très jolies lignes là-dessus). Sur le projectif, il me semble que l'abord possible ici est celui du recollement d'hyperplans affines, mais cela demande quand même un paragraphe de développement. Le mieux serait de le faire dans l'article espace projectif lui-même, cela ferait tout à fait sens. Amitiés, --Cgolds (d) 29 février 2008 à 18:10 (CET)

AdQ

Je me demande simplement quelles sont les points qui font de cet article un article de qualité ? Ok, il est long et y'a des images ; mais il y a quinze liens rouges dans l'ensemble de l'article, et il manque énormément de références... NB: c'est un réel questionnement, pas une simple raillerie.

Carlotto ^{[Parlez-moi !]} 7 juillet 2009 à 10:34 (CEST)

Je crois que la réponse est toute simple : le label a été attribué il y a trois ans, et les critères très formels comme l'absence de lien rouge ou le référencement précis de chaque affirmation n'étaient alors pas aussi prééminents qu'aujourd'hui oui, il y a une nuance de regret, et alors ? Salle (d) 4 juillet 2009 à 18:58 (CEST)

Effectivement, ce n'est peut-être pas si grave pour les liens rouges ou les références. Etant donné qu'il s'agit d'un article de maths, somme toute assez peu sensible, une bibliographie détaillée doit pouvoir suffire. Cependant, l'introduction me semble peu claire : elle commence par une phrase très technique et enchaîne sur une comparaison "vulgarisante" dont on ne connait pas le comparé...

Carlotto ^{[Parlez-moi !]} 7 juillet 2009 à 10:34 (CEST)

PS : certes, il ne faut pas être obsédé par la forme (liens rouges et références), mais c'est justement entre autres ce qui permet de distinguer un BA d'un AdQ. Donc en l'état, l'article ne me parait pas vraiment mériter le label.

La dernière opinion est très sûrement défendable : voir la procédure. Voici distinguées la proposition principale et la subordonnée dans la deuxième phrase : Comme les enfants s'amusent à construire avec du papier des tétraèdres, des cubes et autres polyèdres en dessinant la figure d'un patron sur une feuille blanche, en découpant convenablement les bords, en pliant et en recollant, les mathématiciens obtiennent un cercle en repliant un segment sur lui-même, un cylindre ou un cône en repliant une bande plane sur elle-même. Est-ce plus clair ? Dans la première phrase, honnêtement, le seul mot technique est topologique, et j'ai tendance à penser qu'en se privant de ce mot, on deviendra vraiment trop vague (même si on l'est déjà) et que l'accessibilité gagnée ne sera qu'illusoire. Mais ça peut se discuter, et n'hésite pas à tenter autre chose. Salle (d) 8 juillet 2009 à 00:15 (CEST)

Un méchant bandeau "sources à lier" traînait là depuis le 18 juin 2009. Plutôt que de l'enlever (le 1er février 2011) il faudrait p.e. essayer de combler cette lacune ? Anne Bauval (d) 6 mars 2011 à 11:54 (CET)

Reprise de l’article pour remise en forme

Je pense que je vais un peut retravailler la forme de cet article. Pour commencer, il me semble que introduction est un terme inapproprié vu son contenu, ça me semble plutôt être une exposition des notions préalable. L’introduction elle devrait être… en introduction. Et commencer par une présentation bien plus abordable pour le non spécialiste, notamment en donnant des repaires quand aux applications concrètes de la notion, en fournissant une définition un peu plus formelle dans un second paragraphe. Il faut aussi faire un gros effort pour relier les assertions aux sources. Sinon, à première vu l’article m’a l’air assez complet, donc de ce coté là je ne pense pas que je puisse ajouter grand chose sans surcharger de propos qui auraient plus leur place dans un article dédié. Voilà, je préviens quand même, histoire que les gens est un endroit ou protester si mes actions venaient à déplaire. --Psychoslave (d) 21 mars 2013 à 11:57 (CET)

Je suis assez sceptique sur l'abord des variétés par la courbe dans l'espace. Oui c'est un exemple de variété, mais géométriquement cela n'a d'intérêt que comme plongement, ce qui est une notion plus sophistiquée. Le plus simple et le plus classique reste la présentation de surfaces plongées dans l'espace : la sphère, le tore, le ruban de Moebius. La variété de Whitehead n'est vraiment pas lisible pour un débutant.

Restons donc dans la dimension 2 pour aborder les notions de carte, de distance géodésique, de courbure, d'orientation, d'espace tangent, voire de déformation topologique. Ensuite on peut s'attaquer à la notion de dimension, retrouver le cercle, renvoyer le lecteur à la dimension d'un espace vectoriel s'il perd pied, définir les variétés à bord pour jouer avec les boules et les sphères, observer les opérations de produit et de somme connexe. Il faudra aussi commencer à distinguer une variété riemannienne d'une variété topologique et évoquer les différents autres niveaux de structure. La conjecture de Poincaré pourra poindre du nez. Ce sera alors le moment de faire prendre conscience au lecteur que les variétés peuvent être conçues abstraitement et que les questions de plongement sont diverses. On aura seulement effleuré le sujet. Ambigraphe, le 25 mars 2013 à 22:58 (CET)

un petit bug ?

Bonjour,

Il semblerait que dans le chapitre "Premiers résultats de géométrie intrinsèque", le modèle {{nobr|''S – A + F ''= 2 – 2''g'',}}, qui donne {{{1}}} ne fonctionne pas, ou plus, comme prévu. Bref qu'il y ait un bug ou une faute de typo quelque part. Quelqu'un qui connaît ces choses pourrait-il y jeter un oeil? Merci. --Christophe Dioux (discuter) 9 novembre 2014 à 00:00 (CET)

Fait, merci. Anne 9/11/14 0h21

Variété compacte, c'est quoi ?

Au milieu de l'article, il est question de "variété compacte". Il manque peut-être un lien ? Vers https://fr.wiki.x.io/wiki/Compacit%C3%A9_(math%C3%A9matiques) je suppose ? (mais j'y connais rien).

Liens externes modifiés

Bonjour aux contributeurs,

Je viens de modifier 1 lien(s) externe(s) sur Variété (géométrie). Prenez le temps de vérifier ma modification. Si vous avez des questions, ou que vous voulez que le bot ignore le lien ou la page complète, lisez cette FaQ pour de plus amples informations. J'ai fait les changements suivants :

• L'archive https://web.archive.org/web/20100706224804/http://www.numdam.org/numdam-bin/fitem?id=AMPA_1812-1813__3__169_0 a été ajoutée à http://www.numdam.org/numdam-bin/fitem?id=AMPA_1812-1813__3__169_0

SVP, lisez la FaQ pour connaître les erreurs corrigées par le bot.

Cordialement.—InternetArchiveBot (Rapportez une erreur) 8 mai 2018 à 20:24 (CEST)

Intention de contester le label AdQ

Je vois un bandeau tout en haut qui demande de mieux relier les sources aux passages, présent depuis 2013. Je vois 12 sources pour un article qui pèse 61 ko de wikicode, ce qui est insuffisant. Quelques wikiliens rouges. Je doute fortement que des contributeurs puissent l'amener au label BA au minimum, encore moins au label AdQ, en l'espace d'un mois parce qu'il s'agit d'un article mathématique qui exige une bonne maîtrise de la topologie et de la physique (je ne dis pas que ces gens n'existent pas, mais ils sont peu nombreux et ils sont très probablement occupés à travailler dans ces domaines). — Cantons-de-l'Est ^p|d|d [‌sysop] 20 janvier 2022 à 14:50 (CET)

Procédure de contestation lancée. — Cantons-de-l'Est ^p|d|d [‌sysop] 31 janvier 2022 à 16:06 (CET)