Discussion:Théorème de Cauchy-Lipschitz

Question

Pourquoi utiliser le nom de Kovalevskaïa alors que

1. il ne peut tout au plus s'agir que d'une transcription du cyrillique.
2. Elle signait en français et en allemand "Sophie Kowalevski".

Claudeh5 (d) 24 février 2009 à 16:41 (CET) Tout le paragraphe "équation différentielle du premier ordre" est à revoir: d'abord le titre semble faux, d'autre part les explications sont impossibles à comprendre.Claudeh5 (d) 25 février 2009 à 10:14 (CET)

La première remarque est traitée. Pour la deuxième, je ne crois pas qu'il faille plus le développer. Ce n'est pas le sujet de l'article et ce thème mérite un article à part entière. Jean-Luc W (d) 27 février 2009 à 01:13 (CET)

BA ?

Juste un étonnement : tu es l'auteur du paragraphe court sur ce théorème dans théorème des fonctions implicites où tu mentionnes les preuves de Pugh (je connaissais pas) et Robbin... et aucune trace de celles-ci ici. C'est un peu bizarre non des éléments qui figurent dans un résumé en quinze lignes (certes "partisan" puisque destiné à un article précis) et non dans l'article généraliste ? Touriste (d) 8 avril 2009 à 13:24 (CEST)

Remarque plus négative : ton article me semble trop tirer du côté de la pédagogie et pas assez du côté de la "référence". Des tas de bouquins donnent des versions à bornes explicites du théorème : pour telles majorations sur les hypothèses, on obtient un rectangle explicite où la solution existe. (Je remonte de la bibliothèque mais n'ai pas noté de référence et d'exemple de telle version du théorème, mais je suppose que tu vois ce que je veux dire - au hasard j'ouvre la copie sur Google Books du Demailly et y voit une condtion sur T page 140 si tu veux un exemple). Un tel article me semble devoir contenir non seulement l'énoncé facile à expliquer avec des dessins mais aussi les versions peu amusantes avec des constantes explicitées ; c'est ennuyeux comme la pluie mais c'est ce que rechercheront une partie des utilisateurs. Touriste (d) 8 avril 2009 à 13:31 (CEST)

Je trouve trois occurrences du mot « paramètre » dans l'article, dont une en résumé introductif... puis une indication pas très précise selon laquelle le théorème a une forme à paramètre, puis pas d'énoncé précis de cette forme. Sur le même prolongement que la remarque précédente, je trouve que l'article manque un peu de versions alternatives peu lisibles mais utiles du théorème (ici la forme à paramètre). Touriste (d) 8 avril 2009 à 13:37 (CEST)

Pour la première remarque, elles sont dans l'article flot (mathématiques). J'ai estimé que l'article devenait un peu lourd, je l'ai donc scindé. La solution de renommer le paragraphe du théorème des fonctions implicite en flot te semble-t-elle acceptable ? La troisième remarque est du même ordre, l'énoncé précis est dans l'article flot. Un renvoi plus précis vers le bon article te semble-t-il la bonne solution ?

La deuxième remarque est imparable. Je ne vois rien à dire sauf que je vais le faire. Jean-Luc W (d) 8 avril 2009 à 13:41 (CEST)

OK sur ton choix de "double niveau de lecture" qui est en effet assez judicieux à mon sens. Simplement il faut alors peut-être améliorer la navigabilité, notamment inviter à aller chercher les énoncés plus techniques dans Flot (mathématiques) par un lien figurant dès la section « Énoncés » plutôt que d'envoyer à « Généralisations » et son parti pris de théorèmes pas auto-suffisants (mention de f sans rappeler les hypothèses sur f j'aime pas trop sur le principe, il faut prévoir les lecteurs qui ne lisent pas tout dans l'ordre, mais ça reste acceptable si c'est clair que ce sont des versions vulgarisées de théorèmes dont l'énoncé précis est ailleurs avec bon lien vers le "ailleurs"). Touriste (d) 8 avril 2009 à 14:05 (CEST)

Taille des images

Il existe une tradition de réduire la taille des images de manière à rendre les figures mathématiques illisible, ce qui rend par exemple la version papier inutilisable.

En mathématiques, les figures ne sont pas des éléments décoratifs pour une mise en page plus aérée mais un élément constitutif du texte, beaucoup moins compréhensible sans ce support. Il est donc important qu'un lecteur puisse avoir la figure sous les yeux et puisse lire les légendes. Certaines sont légendées dans le textes et, comme pour les bons textes de mathématiques, n'ont pas besoin d'une légende supplémentaire. Le choix d'une solution ou d'une autre n'est pas le fruit du hasard.

Je sais qu'il existe des articles ayant pour vocation d'être aussi lus sur un portable, tel n'est pas le cas d'un article de mathématiques difficiles pour la majorité des lecteurs. Je crois déraisonnable de rendre la version papier inutilisable au nom d'une idée peu pertinente dans ce cas particulier. Jean-Luc W (d) 24 avril 2009 à 17:08 (CEST)

question stupide

une équation différentielle est toujours résoluble en sa dérivée d'ordre supérieure (ce que semble admettre l'article) ou ne s'agit-il que d'un énoncé particulier pour une classe d'équations différentielles résolubles en leur dérivée d'odre maximale ? N'y a-t-il aucun énoncé de la forme f(x,y,y')=0 qui ne suppose pas la résolubilité en y' ?Claudeh5 (d) 4 mai 2009 à 17:21 (CEST)

Les sources indiquent que cette question ne fait pas l'objet du théorème de l'article mais d'un autre résultat, dit des fonctions implicites. Jean-Luc W (d) 4 mai 2009 à 20:52 (CEST)

Salut, dans la section 5.2 sur le théorème de Cauchy-Peano-Arzela je trouve un peu gênant le fait que le système différentiel avec ${\frac {dx}{dt}}\propto {\sqrt {x}}$ corresponde au cas du toit de pente constante (d'ailleurs j'ai rajouté "de pente constante" ds l'article) plutôt qu'au cas du demi-cylindre qui fait l'objet de l'illustration. Perso j'ai passé un moment à essayer de le retrouver, alors que pour le demi-cylindre ca donne plutôt ${\frac {dx}{dt}}\propto {\sqrt {1-{\sqrt {1-x^{2}}}}}$ si je ne m'abuse, qui est moins facile à intégrer et qui pour le coup vérifie les hypothèses de Cauchy-Lipschitz puisque si $f(x)={\sqrt {1-{\sqrt {1-x^{2}}}}}$ on a $f\,'(0)=1$ (dérivée à gauche) si je ne me trompe. Ca vaudrait le coup à mon avis de mettre une autre illustration si on peut, ou alors de préciser bien plus clairement que le système différentiel correspond au cas du toit de pente constante.--Fabino (d) 11 juin 2009 à 00:21 (CEST)

étourderies

Cette modif a introduit pas mal de coquilles (au demeurant, cette préférence typo ne fait pas consensus) Anne 19 /4/2010 à 00:54

Je n'ai vu que quatre lettres inexactes. Était-ce cela les pas mal d'étourderies ? (au demeurant, choisir la convention de ne transformer qu'une petite fraction des formules et symboles mathématiques en Latex ne fait pas non plus consensus). Jean-Luc W (d) 19 avril 2010 à 01:16 (CEST)

Eh oui ! le sempiternel verre moitié plein moitié vide. Il est donc inconvenant de modifier les articles pour imposer ses préférences personnelles, c'est pourquoi

1. j'estimais cette modif déplacée, mais
2. je m'étais abstenue de la reverter, ce qui aurait été plus simple pour supprimer les erreurs qu'elle introduisait.

C'est vrai qu'il n'y en avait que 5, donc pardon pour le "pas mal de" dû au fait que

1. je n'avais pas compté
2. 4 d'entre elles n'étaient pas anodines
3. je me faisais une montagne d'avoir à les rechercher dans le source pour faire les rectifications moi-même. Tu l'as fait vite et bien.

Anne 19/4/2010 à 15:01

Cauchy-Péano-Arzelà

Je reviens à la charge sur la section Cauchy-Péano (5.2) : l'illustration est mauvaise (version de l'article au 28/4/2010). En effet dans le cas donné par l'illustration (un toit cylindrique), cauchy-lipschitz s'applique ; alors que le bon exemple devrait etre un toit en V inversé (pente constante). Intuitivement si le profil de la surface est continu alors les forces (gravité et réaction du support) sont continues, donc la vitesse est $C^{1}$ donc C.L s'applique. Plus précisément, si Ox est l'axe de la largeur du toit, Oy l'axe de la longueur (pour retrouver les notations de l'article), et Oz la verticale ascendante, alors pas de force suivant y -> conservation de la quantité de mouvement -> dy/dt=cste. Ensuite conservation de l'énergie -> $(dx/dt)^{2}+(dy/dt)^{2}+(dz/dt)^{2}=-2*g*z+cste$, avec z(x) donné par l'équation de la surface du toit et la cste donnée par l'énergie initiale et l'origine des altitudes.

1. Pour un toit cylindrique avec origine au centre du cercle de rayon 1 $z={\sqrt {1-x^{2}}}$ d'où $(dx/dt)^{2}+(dz/dt)^{2}={\frac {1}{1-x^{2}}}(dx/dt)^{2}$ donc ${\frac {1}{1-x^{2}}}(dx/dt)^{2}=-2g(z(x)-1)$ soit $dx/dt\propto {\sqrt {(1-{\sqrt {1-x^{2}}})(1-x^{2})}}$ (petite erreur dans mon précédent post). Si $f(x):={\sqrt {(1-{\sqrt {1-x^{2}}})(1-x^{2})}}$, alors f est $C^{1}$ sur ]0,1[ et dérivable en 0 avec dérivée $1/{\sqrt {2}}$ par théorème de limite de la dérivée. Donc cauchy-lipschitz s'applique.
2. Pour un toit en V inversé avec origine en haut du V on a z=-x donc $(dx/dt)^{2}=g*x$ soit $dx/dt\propto {\sqrt {x}}$, ce qui est l'équation de l'article et cauchy-lipschitz ne s'y applique pas en x=0, ca releve de cauchy-peano.

Bref, tout ca pour dire que l'image n'illustre pas le cas d'application de cauchy-péano et induit le lecteur en erreur, de même que la phrase "Une situation physique correspondant à cette configuration est une bille roulant sur l'arête d'un demi-cylindre, à l'image de la figure de droite". A mon avis il faut enlever l'illustration et cette phrase, et mieux expliciter la bonne forme du toit. Comme je suis débutant sur wikipédia, je vais laisser qques jours avant de faire cette modif pour voir s'il n'y a pas d'opposition. Fabino (d) 28 avril 2010 à 13:34 (CEST)

C'est indéniable, merci de la remarque. Il faut que je refasse l'image. Jean-Luc W (d) 28 avril 2010 à 15:52 (CEST)

A propos de la démonstration des solutions maximales

Il me semble qu'il faudrait marquer dans la première partie que les intervalles de définition des fonctions s1 et s2 sont ouverts, sinon, ça semble faux. (en effet, pour appliquer le résultat précédent en t1 appartenant à l'ensemble où {s1(t)=s2(t)}, il faut que t soit dans l'intérieur de l'intersection des deux ensembles. Non?

Loïc de Triskell 19 novembre 2010--89.81.155.178 (d) 19 novembre 2010 à 20:17 (CET)

En effet, et tu as donc rectifié ce lemme en l'affaiblissant, mais du coup la preuve (juste après) que « l'intervalle de définition d'une solution maximale est ouvert » ne pouvait plus l'utiliser sans cercle vicieux. J'ai préféré rectifier la preuve du lemme sans affaiblir son énoncé. J'ai aussi rectifié la (définition et) preuve d'unicité d'une solution maximale, et j'ai supprimé son "le fait que J1 et J2 soient ouverts est indispensable pour arriver à cette conclusion" (faux). Anne 10/11/2012

Preuve d'existence de solutions maximales

Bonjour,

il me semble que dans la preuve de l'existence et l'unicité d'une solution maximale, on ne prouve que l'unicité. Ne faudrait-il pas rajouter une ligne pour dire qu'on construit la solution maximale? Par exemple en faisant la réunion de tous les intevalles contenant t0 (le temps de la condition initiale) et sur lesquels l'équadiff admet une solution. On construit une fonction telle que la valeur en un point t de cet intervalle soit la valeur en t de n'importe quelle solution de l'équadiff sur [tO,t]. Par construction c'est alors une solution maximale car c'est un prolongement de tout autre solution. De plus l'unicité est alors évidente d'après le lemme prouvé dans la démonstration de l'article. En effet, en choisissant "la valeur en t de n'importe quelle solution de l'équadiff sur [tO,t]" il n'y a qu'un seul choix possible d'après le lemme, puisque toutes les solutions sur [tO,t] coincidants en t0 sont égales sur [t0,t]...

--Legueotta (d) 11 novembre 2012 à 17:57 (CET)

Adopté. L'existence était acquise par le lemme de Zorn récemment ajouté, mais je me disais justement qu'il y avait peut-être quand même des choses à récupérer dans la version antérieure (dont je suis ahurie qu'elle ait pu être promue BA en 2009 et survivre quasi telle quelle, avec une « définition » commode en l'occurrence mais confondant ordre et préordre, et fausse en général, de la notion centrale de l'article : celle de solution maximale). Anne 11/11/2012 à 21 h 49

Je reste perplexe. Y'a vraiment besoin du lemme de Zorn alors qu'on parle uniquement d'intervalles de R (ayant un point commun, qui plus est) ? Ou est-ce que je raterais quelque chose ?--Dfeldmann (d) 11 novembre 2012 à 23:43 (CET)

Ah bin non, tiens Anne 12/11/2012 à 0 h 58

Quoi que... ce serait rigolo de trouver une publication prouvant que sans l'axiome du choix dépendant, il existe des solutions d'équa diff sans prolongement maximal – voire même prouvant que c'est équivalent. Anne 12/11/2012 à 14 h 21

Je comprends pas. On est bien dans le cadre suivant : s_1<s_2 si s_1 et s_2 sont solutions de l'équation avec même conditions initiales, si domaine (s_1) inclus dans domaine(s_2) (ces deux domaines étant des intervalles de R), et si pour tout x du domaine de s_1, s_2(x)=s_1(x), non? Parce que dfans ce cas là, l'existence d'une solution maximale pour cet ordre, je peux grantir qu'il y a pas besoin du choix (même d'une forme faivble) pour la démontrer... Où est-ce que je me goure?--Dfeldmann (d) 12 novembre 2012 à 15:28 (CET)

Oui, c'est bien ça la définition, usuelle, que j'ai mise pour rectifier ce « BA » (mais sans de parler de conditions initiales car c'est redondant). Dans le cas général, i.e. sans unicité locale, je ne sais pas comment tu démontres l'existence d'un prolongement maximal pour toute solution donc je ne sais pas où tu te goures. Anne 12/11/2012 à 15 h 42

Bon, j'ai vu mon erreur. Effectivement, le choix dépendant est nécessaire dans mon raisonnement. Mais du coup, cela devient une vraie question ; je la pose de ce pas sur MathOverflow.--Dfeldmann (d) 12 novembre 2012 à 18:19 (CET)

Et voici la réponse (due à Pietro Majer,Université de Pise)  :

At least for scalar equations x˙(t)=f(t,x(t)), that is with a nonlinearity f∈C0(Ω,R), defined on an open set Ω⊂R2, the Zorn's lemma is not necessary: the order structure of R allows to select a preferred solution (actually, two)

Any IVP admits an upper and a lower solution, whose domains are maximal intervals. For (t0,x0)∈Ω, define, for t∈R

x∗(t):=sup{x(t) :x∈C1(co(t0,t), R), graph(x)⊂Ω,x(t0)=x0,x˙(s)=f(s,x(s))} ,

(where of course sup∅=−∞). Define dom(x∗) to be the connected component of t0 in the set {t:x∗(t)>−∞}. Then, x∗ is a solution of the ODE with IVC x(t0)=x0, maximally defined on the interval dom(x∗).

Il est trop tard pour moi ; à suivre --Dfeldmann (d) 12 novembre 2012 à 23:16 (CET)

Cette réponse sur MathOverflow a été complétée le 23/1/2013. Anne 28/4/2017

Intervalles non nécessairement ouverts

L'unicité locale n'est pas démontrée : on démontre seulement l'unicité des solutions à valeurs dans B.

Il serait bon aussi d'expliciter que cette unicité est bien locale (pour l'instant c'est caché dans la façon dont b est choisi).

Pourquoi tout d'un coup écrire un intervalle ouvert dans l'énoncé du théorème ? Partout ailleurs on parle de solutions définies sur un intervalle quelconque (ce qui est obligatoire pour donner un sens à « l'intervalle de définition de toute solution maximale est ouvert ») et je n'y vois aucun problème, grâce au théorème qui dit que si g est continue à droite en a et si g'(x)→c quand x→a à droite, alors la dérivée à droite de g en a existe et vaut c. C'est vrai en général (en dimension infinie).

Anne 13/11/2012, retouché le 28/4/2017

Référence ?

J'ai essayé de lire Kepler, mais j'ai un latin trop rudimentaire. À l'aide de http://mathdl.maa.org/mathDL/46/?pa=content&sa=viewDocument&nodeId=3499&pf=1 j'ai compris qu'il y résout, entre autres, le calcul du volume d'un cylindre en fonction de deux paramètres (dont un peu habituel). Cela serait un problème de calcul intégral, en trouvant une primitive d'une fonction donnée (qui correspond aux volumes infinitésimaux), et non une équation différentielle x' = f(x) comme suggère l'article. Est-ce possible d'indiquer plus précisément quel problème résolu par Kepler relève d'une équation différentielle ? Bernardofpc (d) 27 avril 2013 à 01:34 (CEST)

Bonjour, je ne peux pas répondre à ta question car je ne lis pas non plus le latin dans le texte. Cette attribution à Kepler d'un des premiers travaux sur les équations différentielles de la forme v'=f(v) m'étonne également. Je sais que Kepler a été précurseur en calcul infinitésimal (voyant dans un cercle la limite d'un polygone, travaillant sur des problèmes de maxima) mais de là à travailler sur la forme v'=f(v)... Cela mérite effectivement une explication et une référence provenant d'un article d'histoire des sciences. D'autre part, pour satisfaire ta curiosité personnelle, tu peux lire une version traduite et commentée de l'ouvrage de Kepler - version qui semble exister http://www.sudoc.fr/002821680 . HB (d) 27 avril 2013 à 19:39 (CEST)

Il serait peut-être le cas de mettre un [réf. néc.], non ? Bernardofpc (d) 14 mai 2013 à 21:34 (CEST)

Le § « Équation différentielle non autonome »

Je compte bientôt remplacer toutes les preuves de ce « B.A. » par un simple lien vers v:Calcul différentiel/Équations différentielles, où les preuves sont faites directement dans le cas non autonome, sans la moindre complication supplémentaire. Je m'interroge donc sur le style de ce §, et l'opportunité de le conserver.

• Le passage « Dans un premier temps, il apparaît nécessaire que l'image par g de la boule B soit majorée », suivi d'arguments relativement finauds, est-il encore un TI ? Pourquoi faire si compliqué ? Puisque f est continue au point y₀ = (t₀, x₀), on peut évidemment, sans invoquer Lipschitz ni la compacité, choisir une boule centrée en ce point sur laquelle f (donc g) est bornée. « Ou est-ce que je raterais quelque chose ? »
• « Le deuxième endroit de la démonstration où le caractère lipschitzien apparait […] » est, lui, complètement trivial donc ne méritait pas 4 lignes dont une grosse formule.

Anne, 28/4/17

Pour le premier point, j'ai l'impression que l'auteur voulait montrer que la fonction était majorée sur le même B que dans le cas autonome (donc n'importe lequel inclus dans Ω), sans dire « on peut restreindre B tel que... »

Pour autant, je suis d'accord qu'il est plus indiqué de faire la démonstration directement dans le cas non-autonome. Peut-être la distinction était faite pour des raisons historiques ? Cf la phrase nuancée par cette note (qui mériterait une référence).

D'ailleurs je trouve que la démonstration est à la fois historique et porte des idées fécondes (se ramener à un problème de point fixe, restreindre l'intervalle de temps pour que l'application soit contractante, continuer la solution jusqu'à un intervalle de temps maximal), et que même si la preuve est renvoyée vers wikiversity, ces idées mériteraient de rester sur la page wikipedia.

--Vybduchene (discuter) 29 avril 2017 à 09:01 (CEST)

Pour le premier point, « l'auteur voulait montrer que » me confirme dans l'idée que c'était un TI (dont je viens d'ailleurs de corriger une erreur — le b qu'il mentionnait ne sera défini qu'après avoir exhibé un majorant — et une maladresse — soustraction et addition inutiles), et il ne s'agit pas du « même B que dans le cas autonome », et ce n'est pas « n'importe lequel inclus dans Ω » : puisqu'il faut de toutes façons se restreindre à un voisinage de y₀ sur lequel f est lipschitzienne par rapport à sa 2^e variable, ça ne coûte rien de demander qu'« en plus » elle soit bornée sur ce voisinage. Montrer que ce « en plus » est en fait déjà acquis relève plus d'un exercice pour wikiversité que d'un fait éclairant (peut-être l'auteur a-t-il simplement voulu adapter une méthode lue dans ses sources mais dans laquelle les hypothèses sur f étaient plus fortes).

Pour le fait de laisser l'explication des idées (sans la technicité des démonstrations), entièrement d'accord. Anne, 29/4/17, 14 h 34

Tenseur et Espace vectoriel réel normé

Bonjour,

Je trouve le vocable Tenseur plus efficace et plus précis que la sémantique mathématique : Espace vectoriel réel normé

Il s'agit de deux manières différentes de faire correspondre la théorie de champ matriciel et la théorie de véctorisation et de flux d'élement simple.

https://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~faure/enseignement/M1_math_pour_physique/cours_chap2_espaces_vectoriels.pdf 20pages

https://cel.archives-ouvertes.fr/cel-00679923v1 100pages

La théorie est complexe, le sujet pointu mais somme nous dans un cas ou les deux conceptions mathématiques sont suffisament proche pour pouvoir considéré un principe booléan d'inclusion, ou un principe de remplacement du terme.

J'ai quelque difficulté a retrouver précisément les axiomes de définition de Tenseur et d'Espace vectoriel réel normé pour être sur.

Pouvez-vous m'aidez a précisé ma percetion de ses deux considération théorique et mathématique de l'Ether ? — Le message qui précède, non signé, a été déposé par G.castelain (discuter), le 15 décembre 2017 à 13:58‎.