Discussion:Flocon de Koch

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Le calcul de l'aire ne serait-il pas complètement faux?

Il me semble correct à la relecture raisonnablement attentive. Touriste ✉ 3 mars 2008 à 17:47 (CET)

Il est correct pour l'aire sous la courbe, pas pour le flocon. Le flocon a une aire qui vaut 1,6 fois l'aire du triangle équilatéral de départ.

exact 8/5 : je pense que c'est cette mesure qu'il faut viser 8/5 * surface du triangle générateur initial (comme dans l'article en anglais).

le calcul de l'aire du flocon est bien 8/5=1.6

Longueur finie

Je ne comprends pas pourquoi l'inscription dans un demi-cercle implique que la longueur de la figure est finie. En réalité, à chaque itération, à la longueur de chaque segment s'ajoute un tiers de sa longueur (puisque les triangles que l'on forme sont équilatéraux). On peut donc noter, avec P(n) la longueur à une itération n, P(n) = 4/3 P(n-1). Et cela s'accroît sans fin, ou bien me trompé-je ? Ululo (d)

Il me semble que l'article précise bien que la longueur est infinie mais que la surface est finie car inscrite dans un demi-cercle. Non ? HB (d) 8 janvier 2010 à 23:08 (CET)

En effet. Je suis désolé.

de Koch->de von Koch

Certains "de Koch" ont été rectifiés en "de von Koch", mais pas tous, loin s'en faut. C'est intentionnel ? (pour louvoyer entre le plus usité et le plus correct, peut-être ?) Anne Bauval (d) 12 janvier 2010 à 03:44 (CET)

dimension du flocon

Serait-il possible d'avoir une démonstration claire de la dimension du flocon ? d'avance merci.

Je ne pense pas que ce soit le lieu ici car cela demanderait de donner une définition claire de ce qu'est une dimension fractale. J'ai failli te suggérer de cliquer sur le lien dimension fractale qui tente une approche didactique de la notion mais je trouve que l'article conserve certaines obscurités (en particulier dans la définition qui nous intéresse, celle d'un objet possédant une homothétie interne) et il me semble que Serge Mehl explique mieux les choses. Regarde son approche de la dimension fractale avec plusieurs exemples dont le flocon de Koch. HB (d) 8 juin 2012 à 08:02 (CEST)

Aire limite du flocon de Von Koch en partant d'un triangle équilatéral d'aire 1

L'aire limite est 8/5 et non 9/5 comme indiqué dans l'article. — Le message qui précède, non signé, a été déposé par Hmalherbe (discuter), le 11 février 2017 à 12:21

??? C'est bien ce que dit notre article : 9/5 du premier triangle pour la courbe, et 8/5 du triangle initial pour le flocon de Koch. HB (discuter) 11 février 2017 à 14:15 (CET)

Oui vous avez raison : désolé, je n'avais pas fait la distinction entre la courbe et le flocon. --Hmalherbe (discuter) 22 février 2017 à 13:26 (CET)

Limite?

J'ai l'impression que la définition de la courbe de von Koch manque de rigueur. Est-ce que la notion de limite d'une suite de courbes est bien définie? Intuitivement, on comprend bien (ou on a l'impression de comprendre), mais en toute rigueur? On connaît bien la limite d'une suite de points, mais il ne me semble que la notion de limite d'une suite de courbes n'en découle pas de façon triviale.

Il me semble encore moins évident que le fait que la longueur de ces courbes successives tend vers l'infini implique que la longueur de la courbe de von Koch est infinie.

David Olivier (discuter) 3 août 2022 à 18:32 (CEST)

Il me semble que WP n'a pas vocation à remplacer un cours qui définirait dans l'article Flocon de Koch la notion de limite de courbe. Mieux vaut p.e. chercher dans un livre ce genre d'info (par exemple Courbe et dimension fractale et laisser l'article de WP flocon de Koch présenter seulement sa génération par similitude.

Juste pour t'éclairer un peu (et sans l'ambition de me substituer à un cours précis): considère une suite de courbes paramétrées $C_{n}$ paramétrées par $\gamma _{n}(t),\,t\in [0,1]$, . Si, pour tout t, $\gamma _{n}(t)$ converge vers un point $\gamma (t)$, la courbe paramétrée par $\gamma (t)$ sera la courbe limite des courbes $C_{n}$. HB (discuter) 3 août 2022 à 19:26 (CEST)

PS D'autre part, la modification pour justifier une longueur infinie me semble un TI dangereux. Mais je laisse les autres contributeurs décider ou non de sa conservation. HB (discuter) 3 août 2022 à 19:34 (CEST)

Comme rappelé dans la réponse précédente, la définition de limite d'une famille de courbes nécessite de disposer pour chacune d'une représentation paramétrique de type:

x = f _n (p)

y = g _n (p)

la courbe limite étant définie pour la valeur p du paramètre par les limites de f _n (p) et g _n (p) lorsque n tend vers l'infini.

Or il n'existe pas de représentation paramétrique simple de la famille des lignes polygonales obtenues à chaque étape de la construction de la courbe de Koch.

Il serait plus simple de définir la courbe de Koch comme la réunion des sommets de toutes les lignes polygonales obtenues par le processus de construction.

La longueur de la courbe étant définie comme la borne supérieure des longueurs des lignes polygonales inscrites dans la courbe, on voit alors que celle-ci est infinie, puisque dans le sous-ensemble de celles-ci constitué par les lignes polygonales du processus de construction, les longueurs ne sont pas bornées. CBerlioz (discuter) 23 juin 2023 à 12:42 (CEST)