Discussion:Anneau ℤ/nℤ

Présentation simplifiée

Suite à une discussion sur la page de discussion de l'article Anneau, je m'aperçois que nulle part n'apparait une présentation des Z/nZ comme ensemble des restes dans la division par n. Certes, il me semble important que la présentation sous forme d'anneau quotienté par une relation d'équivalence fasse le corps principal de l'article mais quelqu'un verrait-il un inconvénient à ce que j'ajoute une section Présentation simplifiée qui présente Z/nZ comme l'ensemble des restes dans la division par n, présente les deux lois addition et multiplication sur cet ensemble d'entiers compris entre 0 et n-1 et amène tout doucement le lecteur vers la notion d'anneau quotienté par la relation de congruence.? HB (d) 29 février 2008 à 10:18 (CET)

Non je n'y vois pas d'inconvénient, mais ils en parlent dans Congruence sur les entiers Oxyde (d) 29 février 2008 à 10:39 (CET).

C'était un peu l'idée : une version simple et didactique Congruence sur les entiers, avec un lien dès l'introduction pour une présentation plus simple et une analyse à l'aide des quotients pour cet article. La fusion des deux articles ne risque-t-elle pas d'être dommageable à la fois pour ceux qui veulent une version simple et les autres ? J'ai essayé, tout au long de l'encyclopédie de donner un accès à la théorie des nombres par l'arithmétique élémentaire (transformation algébrique élémentaire, reste de la division euclidienne et petit théorème de Fermat) et par l'arithmétique modulaire : structure quotient, étude systématique des anneaux euclidiens et des sommes de Gauss et périodes de Gauss, dérivant de l'analyse harmonique des groupes abéliens finis pour la loi de réciprocité quadratique. Les théorèmes classiques Wilson, deux carrés, petit Fermat etc... sont traités par les deux approches. Jean-Luc W (d) 29 février 2008 à 10:57 (CET)

(à Oxyde) on en parle dans l'intro de Congruence sur les entiers mais pas dans le développement (sauf un peu dans l'image de l'horloge) (à Jean-Luc) dans Congruence sur les entiers l'anneau Z/nZ est construit à partir de la notion de relation d'équivalence et fait doublon avec celle-ci. L'idée est peut-être de faire ma proposition dans l'article Congruence sur les entiers et d'y faire une refonte de la section Ensembles quotients Z/nZ pour en faire une présentation simplifiée et un renvoi vers cet article . Vos avis ? HB (d) 29 février 2008 à 11:18 (CET)

Je suis tout à fait en phase avec HB, il est plus simple de voir Z/nZ, comme l'ensemble des restes de la division euclidienne dans N (comme cela, il n'existe qu'un unique reste). On introduit ainsi une idée un peu étrange : dans cette logique on jette à la poubelle le résultat de la division pour ne garder que le reste, attitude opposée à celle de la présentation dans le primaire vis à vis de la même opération. Autant le faire dans Congruence sur les entiers et n'introduire qu'une idée clé par article. Cette idée est finalement très différente de celle des classes d'équivalence, qui débouche sur une analyse des propriétés de groupe et d'anneau de la structure quotient. Jean-Luc W (d) 29 février 2008 à 11:39 (CET)

Titres et texte avec Z gras ou blackboard gras Unicode ou <math>

Pour mémoire, il y a eu une assez longue discussion à propos de cet article sur Wikipédia:Le Bistro/12 mars 2015#Z pour ℤ. — Oliv☮ ^{Éppen hozzám?} 13 mars 2015 à 11:44 (CET)

Sachant que les deux formes sont utilisées et peuvent se justifier, Je pense que par prudence il faut revenir au titre sans caractères spéciaux, car il semble que tout le monde n'y ait pas encore accès, ou pas sur tous les terminaux, voir par exemple cette modification révoquée aujourd'hui probablement de bonne foi Spécial:Diff/121290588/Next. Dans les articles ça peut passer, mais dans les titres ça devient vraiment gênant. Proz (discuter) 13 décembre 2015 à 19:55 (CET)

Groupe des unités ?

Dans les cas de ces anneaux je n'ai pas trop l'habitude de dire "unité" pour "inversible" (contrairement aux anneaux d'entiers algébriques par exemples). Quand on parle de racine primitive de l'unité ça n'aide pas. Dans les références ou lien en français : Daniel Perrin ne le fait pas. Le cours de Perrin-Riou non plus. Il y a bien Madore (dans une présentation). Demazure (Algèbre ...) parle d'inversible et de groupe multiplicatif. Ca me semble quand même largement plus répandu. Proz (discuter) 13 décembre 2015 à 20:13 (CET)

Par ailleurs en: a un article spécialisé en:Multiplicative group of integers modulo n. Ça m'avait d'abord échappé que le groupe multiplicatif était traité dans cet article, qui fait plus ou moins doublon avec congruence sur les entiers. Je me demande s'il ne vaudrait pas mieux faire la même chose. Proz (discuter) 14 décembre 2015 à 03:19 (CET)

Elément de l'ensemble

Excusez-moi de ma question, je ne connais pas la théorie des ensembles.

Quels sont les éléments de l'ensemble ℤ/nℤ : des entiers, des couples d'entiers... ? SARIAN Armen (discuter) 21 décembre 2024 à 04:04 (CET)

Comme le démontre la première discussion de cette page de discussion, et comme le signale le résumé introductif, pour avoir une notion plus simple de Z/nZ, il vaut peut-être mieux aller sur Congruence sur les entiers#Anneau résiduel Z/nZ.

Mais l'article ici, dans Anneau Z/nZ#Anneau quotient, redonne bien la même définition. Un élément de Z/nZ est un sous-ensemble d'entiers : tous ceux qui ont même reste dans la division par n. Ainsi Z/3Z est formé de 3 éléments : l'ensemble des entiers s'écrivant 3k, ceux s'écrivant 3k+1 et ceux s'écrivant 3k+2. Comme c'est illisible même pour ceux familiarisés avec la notion de classe d'équivalence, on représente chaque sous- ensemble par le reste qu'ils ont en commun. Ainsi on écrira que Z/3Z est l'ensemble {0, 1, 2}. Ces élément ressemblent à des nombres mais ne réagisssent pas comme des nombres : par exemple 2 + 2 dans Z/3Z ne donne pas 4 mais 1 (qui est le reste de 4 dans la division par 3).

Je ne vois pas, dans l'article, ce qui pourrait faire penser qu'il s'agirait de couple?

HB (discuter) 21 décembre 2024 à 10:20 (CET)

Merci beaucoup pour ces deux réponses (celle-ci et celle-là).

Le couple que j'avais imaginé est un élément de ℤ et un autre qui est cet élément multiplié par n. SARIAN Armen (discuter) 21 décembre 2024 à 16:56 (CET)