Complémentaire (triangle)

En géométrie du triangle, on appelle point complémentaire d'un point par rapport à un triangle ABC, l'image du point par homothétie de centre, le centre de gravité de ABC et de rapport -1/2. Par extension, toute figure image par une telle homothétie sera appelée complémentaire.

Historique

Construction du point complémentaire par la méthode d'Ocagne : pour un point P, on construit les symétriques par rapport aux milieux des trois côtés du triangle P_A, P_B, P_C, puis on trace P' à l'intersection des droites (AP_A), (BP_B) et (CP_C).

Dans le développement de la géométrie moderne du triangle, Nagel remarque l'existence de plusieurs triplets de centres du triangle alignés avec le centre de gravité et dans un rapport de distance de 2:1, travaux repris et étendus par Reuschle (en).

En 1882, Maurice d'Ocagne découvre une construction des couples de points en considérant un point et son symétrique par rapport aux sommets du triangle médian du triangle de référence. En 1884, Émile Hain, revisitant la relation de conjugaison en prenant pour exemple un sommet d'un triangle et le milieu du côté opposé, observe que celui-ci est le sommet correspondant du triangle médian. En conséquence, il préfère envisager cette relation de conjugaison sous l'aspect de la complémentarité. Ainsi, ce centre devient le point complémentaire du sommet correspondant et par extension, P', le complémentaire de P. En 1886, Gaston Albert Gohierre de Longchamps considère la relation réciproque, qu'on appelle donc anticomplémentaire. L'année suivante, Émile Vigarié, un géomètre aveyronnais, est apparemment le premier à formuler cette complémentarité dans le langage vectoriel. Plus tard, Adolphe Mineur, un professeur de l'université de Bruxelles, écrit en 1924 un livre sur les cubiques du triangle, où il expose une extension du concept de complémentarité algébriquement en recourant aux coordonnées barycentriques et trilinéaires.

Exemples

Points

Centre du triangle	Point complémentaire
Centre du cercle inscrit	Centre de Spieker
Centre de gravité	Centre de gravité
Centre du cercle circonscrit	Centre du cercle d'Euler
Orthocentre	Centre du cercle circonscrit
Point de Gergonne	Mittenpunkt
Point de Nagel	Centre du cercle inscrit
Point de Longchamps	Orthocentre
Coordonnées trilinéaires α : β : γ	Coordonnées trilinéaires bβ + cγ/a : aα + cγ/b : aα + bβ/c

Droites

• la droite complémentaire de la droite de Longchamps est l'axe orthique
• toute droite passant par le centre de gravité est sa propre complémentaire, comme la droite d'Euler ou la droite de Nagel, mais aussi la droite à l'infini

Cercles

• le complémentaire du cercle circonscrit est le cercle d'Euler
• le complémentaire du cercle polaire est le cercle de de Longchamps

Autres

• Le triangle complémentaire du triangle de base est son triangle médian
• Le complémentaire de l'ellipse circonscrite de Steiner est son ellipse inscrite de Steiner

Anticomplémentaire

À l'inverse, on peut définir comme anticomplémentaire par rapport à un triangle ABC, l'image par homothétie de centre le centre de gravité de ABC et de rapport -2.

Pour un triangle donné, on appelle cercle anticomplémentaire l'anticomplémentaire du cercle circonscrit au triangle, et triangle anticomplémentaire l'anticomplémentaire du triangle de base. Par construction, le triangle anticomplémentaire est donc formé par les parallèles aux côtés du triangle et passant par le troisième sommet, et le cercle anticomplémentaire est le cercle circonscrit à ce triangle.

Liens externes

• (en) Eric W. Weisstein, « Complement », sur MathWorld
• (en) Eric W. Weisstein, « Anticomplement », sur MathWorld