Cône (géométrie)

En géométrie, un cône est une surface réglée ou bien un solide.

Surface

Cas général

Un cône est une surface réglée définie par une droite (d), appelée génératrice, passant par un point fixe S appelé sommet et un point variable décrivant une courbe (c), appelée courbe directrice.

On parle aussi dans ce cas de surface conique.

Cône de révolution

Article détaillé : Cône de révolution.

Parmi ces surfaces coniques, la plus étudiée est le cône de révolution dans lequel la courbe directrice est un cercle de centre O situé dans un plan perpendiculaire à (SO). Ce cône est appelé de révolution car il peut être généré simplement par la rotation d'une droite (d) passant par S autour d'un axe (Sz) différent de (d). La génératrice du cône fait alors un angle fixe $\alpha$ avec l'axe de rotation.

C'est à partir de ce cône de révolution que les mathématiciens (dont Apollonius de Perga) ont classifié un ensemble de courbes comme des coniques (intersection du cône et d'un plan) : cercles, ellipses, paraboles, hyperboles.

Dans le repère orthonormal (S, i, j, k), l'équation du cône de révolution d'axe (Sz) et de sommet S est donnée par :

x^{2}+y^{2}=z^{2}(\tan \ \alpha )^{2}

où $\alpha$ est l'angle du cône (ou demi-angle au sommet), formé par l'axe de révolution et une génératrice.

Sections d'un cône de révolution par un plan

Intersection d'un plan et d'un cône de révolution.

Dans les cas où le plan est parallèle ou perpendiculaire à l'axe de révolution du cône on obtient les courbes suivantes :

La section d'un cône de révolution par un plan perpendiculaire à l'axe de révolution est un cercle.
La section d'un cône de révolution par un plan parallèle à l'axe de révolution est
- l'union de deux droites sécantes si le plan contient l'axe de révolution
- une hyperbole dans le cas contraire

Plus généralement, la section d'un cône de révolution par un plan donne une conique. Ainsi on trouve,

une parabole (réduite éventuellement à une génératrice) lorsque le plan est strictement parallèle à une génératrice du cône
une ellipse (éventuellement réduite à un point) quand l'angle que forme le vecteur normal au plan et l'axe de rotation est inférieur à π/2 - α
une hyperbole (éventuellement réduite à deux droites sécantes) quand l'angle que forme le vecteur normal au plan et l'axe de rotation est supérieur à π/2 - α

Solide

Cas général

Cône de révolution et cône quelconque.

On appelle aussi cône le solide délimité par la surface conique, le sommet S et un plan (P) ne contenant pas S et sécant à toutes les génératrices. La section du plan et de la surface s'appelle la base du cône.

Lorsque la section est circulaire de centre O et que la droite (OS) est perpendiculaire à la section, le cône est appelé cône de révolution ou cône circulaire droit. C'est le cône le plus connu (cornet de glace, chapeau de clown). Dans ce cas, la distance séparant le sommet d'un point quelconque du cercle est constante et s'appelle l'apothème du cône.

Lorsque la courbe fermée est un polygone, on obtient une pyramide.

Volume

Articles détaillés : Méthode des indivisibles et Méthode d'exhaustion.

Quelle que soit la forme du cône, son volume est toujours le tiers du volume d'un cylindre de mêmes base et hauteur :

V={\frac {1}{3}}B\times h

où B est l'aire de la base et h la hauteur du cône, c'est-à-dire la distance séparant le sommet S et le plan (P).

Démonstration

Les dimensions d'une section plane parallèle à la base augmentent de façon linéaire à partir du sommet S vers la base. La section plane, à une distance quelconque y de S, est la base mise à l'échelle par un facteur de y/h, où h est la distance entre S et la base. Puisque l'aire d'une forme quelconque est multipliée par le carré de la forme mise à l'échelle^[pas clair], l'aire de la section plane à une distance y de S est By²/h².

Le volume est donné par l'intégrale

${\frac {B}{h^{2}}}\int _{0}^{h}y^{2}{\rm {d}}y={\frac {B}{h^{2}}}\left[{\frac {y^{3}}{3}}\right]_{0}^{h}={\frac {Bh}{3}}.$

Cône tronqué

Quand on coupe le cône par un plan parallèle à sa base, on obtient deux solides. Celui qui contient le sommet est une réduction du cône original, le second solide est un cône tronqué. Son volume s'exprime, en fonction de ses deux bases B₁ et B₂ et de sa hauteur h (la distance séparant les deux bases) selon la formule : $V={\frac {h}{3}}\times (B_{1}+{\sqrt {B_{1}B_{2}}}+B_{2})$

Cas du cône de révolution

Cône de révolution.

Dans le cas particulier du cône de révolution, les formules du volume V et de l'aire A (aire de la surface enfermant le cône: aire latérale + base circulaire) sont

V={\frac {1}{3}}\pi r^{2}\times h

A=\pi r(r+a)\,

,

où r est le rayon du cercle de base, h la hauteur du cône et

a={\sqrt {r^{2}+h^{2}}}

l'apothème du cône.

Aire latérale

L'aire latérale A_l (sans la base) vaut

A_{l}=\pi r{\sqrt {r^{2}+h^{2}}}=\pi r^{2}{\sqrt {1+{\frac {h^{2}}{r^{2}}}}}

or, d'après les relations trigonométriques dans le triangle rectangle, on a

1+{\frac {h^{2}}{r^{2}}}={\frac {1}{\sin ^{2}\alpha }}

où α est le demi-angle au sommet. Si A₀ est l'aire de la base π⋅r ², on a alors

A_{l}={\frac {A_{0}}{\sin \alpha }}

Cette formule sert par exemple à calculer l'aire du front de flamme dans le cas d'une flamme conique, donc la consommation de gaz et la puissance de cette flamme.

Section du cône de révolution par un plan

Quand on coupe un solide, cône de révolution, par un plan parallèle à la base, on obtient un cercle. Le rayon r₁ de ce cercle s'obtient en fonction du rayon r de la base, de la hauteur h du cône et de la distance h₁ entre le plan et le sommet du cône en utilisant le théorème de Thalès :