Star-produit

En physique mathématique, le star-produit est un opérateur mathématique sur une variété de Poisson pour déformer la multiplication de l'algèbre des fonctions lisses à valeurs complexes en une algèbre associative non commutative.

L'opérateur est une quantification de déformation, une formalisation mathématique de la quantification issue de la physique.

Définitions

Déformation formelle

Soit $R$ un anneau commutatif et ${\mathcal {A}}$ une algèbre sur un anneau. Soit $R[[\lambda ]]$ l'anneau des séries formelles et ${\mathcal {A}}[[\lambda ]]$ l'algèbre des séries formelles sur $R[[\lambda ]]$ avec les coefficients dans ${\mathcal {A}}$.

La déformation formelle $\star$ de l'opérateur de multiplication $\cdot$ de l'algèbre ${\mathcal {A}}$ est une application $R[[\lambda ]]$-bilinéaire

$\star :{\mathcal {A}}[[\lambda ]]\times {\mathcal {A}}[[\lambda ]]\to {\mathcal {A}}[[\lambda ]]$

tel que pour tout $u,v\in {\mathcal {A}}[[\lambda ]]$

$u\star v=uv\quad \operatorname {mod} \lambda ,$

et $uv$ est la multiplication des séries formelles :

$uv:=\sum \limits _{n=0}^{\infty }\lambda ^{n}\sum \limits _{k=0}^{n}u_{k}v_{n-k},\quad u_{k},v_{k}\in {\mathcal {A}}$

Star-produit

Soit $(M,\pi )$ une variété de Poisson, où $\pi$ est un tenseur de Poisson.

Le star-produit $\star$ est une déformation formelle sur $C^{\infty }(M)[[\lambda ]]$, c'est-à-dire une multiplication $\mathbb {C} [[\lambda ]]$-bilinéaire

$\star :C^{\infty }(M)[[\lambda ]]\times C^{\infty }(M)[[\lambda ]]\to C^{\infty }(M)[[\lambda ]]$

de la forme

$f\star g=\sum \limits _{r=0}^{\infty }\lambda ^{r}C_{r}(f,g)$

et $C_{r}$ sont des applications $\mathbb {C}$-bilinéaire

$C_{r}:C^{\infty }(M)\times C^{\infty }(M)\to C^{\infty }(M)$

vérifiant les axiomes:

1. $\star$ est associative: $(f\star g)\star h=f\star (g\star h)$ pour tout $f,g,h\in C^{\infty }(M)$.
2. $C_{0}(f,g)=fg$.
3. $C_{1}(f,g)-C_{1}(g,f)=\mathrm {i} \{f,g\}\quad$ (où $\{,\}$ est le crochet de Poisson).
4. $1\star f=f=f\star 1$ pour tout $f\in C^{\infty }(M)$.

Propriétés

Si les $C_{r}$ sont des opérateurs bidifférentiels, $\star$ est appelé un star-produit différentiel.

Si les $C_{r}$ sont des opérateurs bidifférentiels d'ordre $r$ est dans chaque argument, $\star$ est appelé un star-produit naturel.

On appelle un $\star$ du type Weyl, si $C_{r}(f,g)=(-1)^{r}C_{r}(g,f)$ et $\star$ est hermitien, c'est-à-dire ${\overline {f\star g}}={\bar {f}}\star {\bar {g}}$ (avec la convention ${\bar {\lambda }}=\lambda$).

Exemple

• Le produit de Moyal (en) $\star$ défini comme

$f\star g:=f(q,p)\exp \left({\frac {\mathrm {i} \hbar }{2}}\left({\overset {\leftarrow }{\partial _{q}}}{\overset {\rightarrow }{\partial _{p}}}-{\overset {\leftarrow }{\partial _{p}}}{\overset {\rightarrow }{\partial _{q}}}\right)\right)g(q,p)$

pour $f,g\in C^{\infty }(\mathbb {R^{2n}} )$ est un star-produit sur $M:=\mathbb {R} ^{2n}$ avec une forme symplectique canonique $\pi :=\omega$ et la constante de Planck $\lambda :=\hbar$.

Existence

Sur les variétés symplectiques

De Wilde et Lecomte ont prouvé qu'un star-produit différentiel existe sur chaque variété symplectique.

Sur les variétés de Poisson

Maxime Kontsevitch a prouvé que toute variété de Poisson de dimension finie peut être quantifiée, ce qui implique l'existence de star-produits différentiels sur des variétés de Poisson arbitraires.

Littérature

• (en) Chiara Esposito, Formality Theory, Springer Verlag, 2015 (ISBN 978-3-319-09289-8)
• (de) Stefan Waldmann, Poisson-Geometrie und Deformationsquantisierung, Springer Verlag, 2001 (ISBN 978-3-540-72517-6)