Utilisateur:Philippe Giabbanelli/Guide/Brouillon2

Une logique non-monotone est une logique formelle, aussi dite théorie formelle, dont la relation de conséquence logique $\models$ n’est pas monotone.

Terminologie en logique

Un fait s'exprime par une formule et l'ensemble de ces formules se trouve dans une base de connaissance. Si toute formule que l'on peut déduire à partir d'une autre se trouve également dans la base de connaissance, alors on dit que la base est close déductivement et on l'appelle théorie.
Exemple 1 : Titi est un oiseau est un fait, et il sera décrit par la formule oiseau(Titi).
Exemple 2 : Titi est un oiseau, Riri est un oiseau, Pour tout oiseau x alors x vole constitue une base de connaissance. Elle sera décrite par l'ensemble de formules : oiseau(Titi); oiseau(Riri); ∀x[oiseau(x) ⊃ vole(x)].

Limitations de la logique monotone

Définition

L'intuition d'une logique monotone est qu'en ayant de nouvelles connaissances, le nombre de conclusions ne peut que croître et en aucun cas se trouver restreint. Une logique monotone est donc caractérisée par une croissance monotone des conclusions avec l'ajout de nouvelles connaissances, ce qui se trouve formalisé dans la propriété d'inférence (aussi dite de déduction) :

Si x $\models$ y alors x, z $\models$ y

Avant de connaître z on arrivait à la conclusion y, et maintenant que l'on connaît z la conclusion est toujours valide. Cette propriété s'exprime de la façon suivante :

« Si, pour toute formule qui est un théorème dans une théorie formelle, cette formule reste un théorème si la théorie originale est augmentée en y ajoutant des axiomes valides. »

Exemple  : On sait que Titi est un oiseau, et on en déduit que Titi vole. Si, à un stade futur, on apprend que Titi est bleu alors la conclusion n'est pas restreinte : Titi vole toujours.

Nécessite de réviser les conclusions

Dans de nombreuses situations pratiques, les informations que l'on rencontre sont en contradiction avec d'anciennes conclusions. Ainsi, si l'on savait que Titi est un oiseau, on pouvait en déduire qu'il volait; si on apprend par la suite que Titi est un manchot, on en conclura naturellement qu'il ne vole plus : ce type de raisonnement n'est pas possible dans une logique monotone puisqu'il a été conclut que Titi vole et qu'une nouvelle hypothèse (celle du du manchot) ne peut restreindre les conclusions. Ainsi, la logique non-monotone présente une similitude naturelle avec le raisonnement humain, mais permet surtout de gérer les interactions concernant les connaissances dans un système multi-agents où les acteurs (ou agents) ont différent points de vue et doivent fréquemment remettre en cause leurs conclusions. Le champ de recherche le plus actif dans ce domaine est celui de la révision et de la fusion de connaissances.

Permettre le raisonnement sur des généralités

En logique du premier ordre, avoir un raisonnement allant de P(a) à Q(a) n'est possible que si l'une des deux conditions suivantes est satisfaite :

• On a un fait concernant directement a, par exemple oiseau(a).
• On utilise un quantificateur universel pour désigner l'ensemble des a, par exemple ∀x[P(x) ⊃ Q(x)].

L'usage du quantificateur universel fait que la propriété doit s'appliquer à toutes les instances, ou à aucune. Cependant, une propriété réelle n'est pas aussi stricte à cause des nombreuses spécificités qui peuvent s'appliquer. Par exemple, tous les violons jouent de la musique; comment considérer les violons auxquels il manque des cordes ? Il n'est pas possible d'établir une liste de tous les violons auxquels il manque des cordes : en d'autres mots, on ne peut énumérer toutes les exceptions. On recherche donc une notion moins stricte de la propriété, permettant d'en établir la généralité : on peut raisonnable considérer qu'en général un violon produira de la musique, à moins qu'il y ait une raison particulière établissant le contraire. Cette généralité peut s'appliquer à différents cas de figure :

• Typique ou Normal. Un oiseau typique vole, i.e. si c'est un oiseau alors on peut considérer qu'en général il vole.
• Statistique. La plupart des gens dans une salle d'attente sont impatient.

Une autre façon de considérer la généralité est de la voir comme une propriété par défaut : par défaut, un oiseau vole. Cette logique est appliquée naturellement dans le raisonnement humain.
Exemple 1 : convention d'une conversation. Si on demande où se trouve la station à essence et que l'on nous répond "il y en a une à deux kilomètres", la propriété par défaut est que cette station doit être ouverte.
Exemple 2 : persistance d'une propriété. Si l'on pose sa montre à côté du crayon sur une table et que l'on enlève le crayon, il n'y a pas de raison particulière pour laquelle la montre devrait bouger. De même, si on gare sa voiture sur le parking et que l'on revient après avoir fait ses courses, elle devrait avoir la même couleur.

Principales logiques non-monotones

Supposition de monde fermé

En 1978, le canadien Ray Reiter (1939-2002) introduisit un modèle de logique non monotone connu comme la "supposition de monde fermé". Ce modèle considère qu'un ensemble d'axiomes donné est complet : autrement dit, quelque chose est admis parce qu'on ne peut pas prouver le contraire.

Exemple  : On souhaite savoir si Claude est marié. Si la base de connaissances ne nous indique pas que ¬marié(Claude) alors on suppose qu’il est marié.

Raisonnement par défaut

Cette supposition se retrouve dans d'autres logiques non monotones comme la circonscription et la logique des défauts, introduite par Ray Reiter en 1980 et particulièrement utilisée en recherche. Dans celle-ci, des règles sont utilisées pour préciser une inférence (i.e. une conclusion) typique : les oiseaux volent typiquement, soit "par défaut il est vrai qu'un oiseau vole".

(montrer les équations)

Un défaut est normal s’il y a similarité entre justification et conclusion . Bird(x) :fly(x)

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fly(x) Un défaut anormal s’il y a une différence entre justification et conclusions. Un défaut semi-normal est celui dont la conclusion est incluse dans la justification Bird(x) : not pinguin(x), fly(x) Fly(x)

Modèles minimaux (ou circonscription)

On défini l’ensemble des interprétations minimalement anormales. i.e., on réduit le monde au monde des interprétations dans lesquelles Titi va toujours être normal et, donc, va pouvoir voler. Circonscription modèle non monotone versions de John McCarthy en 1980 et 1986, la 2nd version basée sur la logique du 2nd ordre. C’est dans celle-ci qu’on met l’anormalité. Pour tout x, bird(x) ^ not ab(x) |- fly(x)

Révision des connaissances

Une nouvelle connaissance peut entrer en contradiction avec d’anciennes croyances.

Autres modèles

La logique autoespistémique, modèle non monotone, Robert Moore 1985. Le Raisonnement par abduction).