Utilisateur:Georges Gras/Brouillon

Voici les observations que j'ai pu faire sur ces sujets délicats (voir surtout la conclusion) ; elles peuvent être utilisées pour harmoniser plusieurs articles quant aux définitions. Avec mes excuses pour certaines réactions (et pour la rédaction ci-dessous encore approximative quant aux rituels wikipédiens), mais je pense qu'elles avaient certaines justifications. Merci à toutes et tous.

Tout peut être modifié, éliminé etc...Ceci n'est pas à proprement parler un article, mais un commentaire que j'espère utile. Georges Gras (d) 4 février 2013 à 10:12 (CET)

Nombres Entiers et Représentations Numériques -- Définitions de Dix, 10, Système Décimal -- Analyse Critique des Informations Encyclopédiques Existantes

Introduction -- Problèmes linguistiques

De très nombreuses références traitent de ces questions et tentent de donner une définition encyclopédique de ce vocabulaire de base. C'est le cas en particulier de Wikipédia. Toutefois une harmonisation tenant compte de tous les impératifs (rigueur mathématique, accessibilité, usages,...) n'est pas aussi simple qu'il pourait sembler à première vue.

Considérons comme point de départ l'article Système décimal de Wikipédia, qui soulève un certain nombre de questions sur un plan linguistique et mathématique comme on va le voir. Voici le début de l'article de Wikipédia~:

Système décimal. Ne doit pas être confondu avec Nombre décimal Le système décimal est un système de numération utilisant la base dix. Dans ce système, les puissances de dix et leurs multiples bénéficient d'une représentation privilégiée.

La dernière phrase est peu compréhensible par un lecteur dont on peut penser qu'il est au début de l'assimilation des fondements de notre système de numération~; mais ce n'est pas l'objet essentiel de cette analyse.

Si l'on observe que dans la phrase : Le système décimal est un système de numération utilisant la base dix, il peut y avoir une certaine ambiguité sur la définition de dix, on peut dire que écrire dix (mot de la langue française) n'est pas écrire 10 (dont le statut est loin d'être clair à ce stade, sans parler de l'énonciation orale).

Commençons donc par voir quelle est la définition de dix dans différents dictionnaires, encyclopédies, et sites internet. C'est assez édifiant.

Définitions usuelles de dix

Le lecteur en trouvera d'autres et si les meilleures sont omises, c'est tout à fait involontaire, mais il convient de noter que la règle du jeu est que rien n'est a priori défini en ce qui concerne les mots dix, décimal, chiffres, numération, ...

Tout au plus est-on obligé de supposer que la notion de nombre entier (ou cardinal fini) a été définie (de façon assez ensembliste reconnaissons-le, mais ayant un sens universel), ou bien est une notions première si l'on ne veut pas être trop pédant, et que seuls les nombres 0 (cardinal de l'ensemble vide) et l'unité 1 (cardinal de l'ensemble constitué de la partie vide) sont communs à toute approche.

Dans un ordre indéfini (mais en général du pire au meilleur), voici une liste ; les citations (en italique) sont suivies d'un commentaire :

Sur divers sites : dix -- C'est le nombre le plus petit qui s'écrit avec deux chiffres.

Wiktionnaire~: dix -- Adjectif : Adjectif numéral cardinal correspondant au nombre 10. Nom commun~: Le nombre 10.

Sans commentaires pour les deux définitions assez vides.

Nombreux sites internet dont Wikipédia (Pythagore)~: dix -- Dix est le nombre de la Tetraktys pythagoricienne, c'est \`a dire la somme des quatre premiers nombres (1 + 2 + 3 + 4 = 10).

Définition plus symbolique que mathématique, et qui en résume un grand nombre, dont certaines fort ésotériques. Non généralisable.

Le petit Robert : dix -- Nombre (10) ; Dix égale neuf plus un, deux fois cinq.

On a un mélange de tout ce qui est possible, même si la partie Dix égale neuf plus un a un mérite certain comme on le verra plus loin. La partie Nombre (10) est vide de sens (elle postule dix=10 qui pose problème).

Le petit Larousse illustré : dix -- Nombre qui suit neuf dans la suite des entiers naturels.

Le seul dictionnaire qui n'écrit pas 10 dans sa description, ce qui est méritoire, mais il y a toujours confusion entre entier et représentation numérique des entiers.

Dictionnaire de l'Académie Française, 7ème édition (1835) : dix -- Nombre pair qui se compose de deux fois cinq, et qui suit immédiatement le nombre neuf .

Apprécions les commentaires inutiles pour une éventuelle définition (parité et calcul) et le immédiatement.

Dictionnaire Le Littré : dix -- Nombre formé de deux fois cinq. Neuf plus un égale dix.

Remarques analogues aux précédentes.

Dictionnaire Collins : dix -- Nombre cardinal suivant neuf et précédant onze dans le système décimal.

Un comble pour définir dix, alors que onze ne peut être défini que par dix+un ; ici encore il y a confusion entre entier et représentation numérique.

Wikipédia (article intitulé 10 (nombre)) : dix -- 10 (dix), est l'entier naturel suivant 9 et précédant 11. Le nombre 10 occupe une place considérable dans les mathématiques actuelles et la vie quotidienne en raison de l'utilisation du système décimal. Ce nombre correspond généralement au nombre de doigts des mains d'une personne (...) Dix est la base du système de numération décimal, de loin le système le plus commun pour noter les nombres que ce soit dans le langage parlé et écrit, et cela probablement en raison de l'anatomie humaine : chaque être humain a dix doigts (sauf exception).

En voulant être trop complète, cette description (qui stipule dix=10) réunit aussi plusieurs illogismes ; cependant, la définition (non mathématique, faut-il le préciser) dix est le nombre de doigts des mains d'une personne rachète le reste et a au moins l'avantage de constituer une définition accessible. Mais la phrase Le nombre 10 occupe une place considérable dans les mathématiques actuelles confond mathématiques (qui n'en ont pas besoin) et calcul numérique ; mais cette remarque est mineure par rapport au conflit 10 versus dix.

Encyclopedia Universalis 1989 (larges développements au-del\`a de la seule définition de dix dont voici quelques extraits fort intéressants) :

Numération des entiers naturels. L'ensemble des entiers naturels étant construit, la question se pose de nommer ces nombres oralement et par écrit. Il apparait vite qu'il n'est pas possible d'inventer un nom pour chaque nombre indépendamment des précédents ; il est encore moins possible de lui trouver un symbole pour l'écriture (...).

Ceci est bien l'affirmation que (au moins dans un cadre ensembliste abstrait), les nombres sont innomables avant tout procédé de codage (en mathématiques, on peut considérer un nombre entier $n$, mais c'est un autre sujet que celui qui nous occupe). On lit ensuite :

Le système adopté par la civilisation occidentale utilise actuellement les symboles 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,7, 8, 9, qui constituent l'alphabet à partir duquel on écrit les nombres en appliquant le principe dit de numération de position avec une base constante (...).

A part une certaine emphase du style, c'est certainement un copié-collé de la dernière citation que nous allons faire, celle de Bourbaki. En effet l'Encyclopedia Universalis distingue l'aspect mathématique (dont le seul rôle est de justifier), de l'aspect codage.

En effet, l'Encyclopedia Universalis développe correctement, à partir d'un nombre-base $b>1$ abstrait, et par divisions euclidiennes successives par $b$, le principe général de numération qu'elle explicite ensuite comme dans Bourbaki (voir ci-dessous). On lit par ailleurs dans l'Encyclopedia Universalis :

Il faut se garder de dire mile un pour ${\overline {1001}}^{\rm {\,deux}}$ (...). Il serait également maladroit d'écrire la base en chiffres car on ne saurait pas de quel nombre il s'agit.

On ne peut mieux dire. Mais ensuite Encyclopedia Universalis dérape un peu en écrivant :

Le système décimal est le système de numération où la base est dix.

Le plus drôle est que, sauf erreur, ce mot n'est jamais défini (même pas le nombre de doigts), et la première occurence de $dix$ est pour l'égalité (changements de bases) : ${\overline {9}}^{\rm {\,dix}}={\overline {1001}}^{\rm {\,deux}}={\overline {100}}^{\rm {\,trois}}.$ .

Mis à part cet accident final, semblable à celui des dictionnaires, l'approche est digne d'intérêt.

Bourbaki 1963 (Théorie des ensembles, Chap. 3, §§ 6,7) que l'on décrit de façon plus complète :

Ayant défini les cardinaux finis (nombres entiers), ayant démontré l'existence et les propriétés de la relation d'ordre habituelle entre nombres entiers, la notion d'intervalle de $\mathbb {N}$, et celle de division euclidienne, Bourbaki aborde le développement de base $b$ ($b$ comme nombre entier abstrait $>1$) de façon détaillée.

Grosso-modo, Bourbaki raisonne à partir de la division euclidienne qui assure mathématiquement l'existence et l'unicité (second aspect si important, souvent ignoré) de l'écriture de tout nombre entier $N$ sous la forme

$N=\sum _{k\geq 0}r_{k}\,b^{k},\ \ 0\leq r_{k}\leq b-1\ \ ({\rm {ou\ encore}}\ \ r_{k}\in [0,b[\,)$

(écriture polynomiale assez banale, sous la seule condition précédente sur les coefficients $r_{k}$). Bourbaki appelle cette relation polynomiale développement de base $b$ de $N$.

Il est fondamental de noter qu'à ce stade abstrait, Bourbaki ne parle pas de chiffres ; en particulier, on peut écrire (en utilisant la base usuelle pour se faire comprendre, sinon l'illustration est logiquement impossible à ce stade), pour $b=12$, la relation $286=12^{2}+11\times 12+10$. On lit ensuite :

Lorsque l'entier $b$ est assez petit pour que cela soit praticable, on peut représenter chaque entier $a$, $0\leq a<b$, par un symbole distinctif appelé chiffre, les chiffres représentant 0 et 1 étant en général 0 et 1 (...). On obtient les chiffres

$c_{0}=0,c_{1}=1,c_{2},...,c_{b-1}$, où $c_{i}=c_{i-1}+1$.

Ceci est tout à fait cohérent avec la nécessité d'avoir des notations supplémentaire $A,B$, ... , au delà de 9 dans le cadre classique ; la confusion habituelle entre nombre et chiffres pour 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,7, 8, 9 doit être notée, même s'il faut la conserver.

Bourbaki définit ensuite le symbole numérique associé à $N$, qui se détermine en deux temps à partir de la relation $N=\sum _{k\geq 0}r_{k}\,b^{k}$, $0\leq r_{k}\leq b-1$ :

-- concaténation $r_{n}\,\cdots \,r_{1}\,r_{0}$ pour $n$ convenable\footnote{Une notation en liste $(r_{n},\,\ldots \,,\,r_{1},\,r_{0})$ serait sans doute préférable.}

-- remplacement de chaque $r_{i}$ par l'unique chiffre qui lui correspond.

Dans l'exemple précédent, $286=12^{2}+11\times 12+10$, on obtient la concaténation $1\,(11)\,(10)$ , laquelle se code donc $1\,B\,A$.

D'une façon réciproque, la donnée ordonnée de chiffres consécutifs définit la base, ce qui constituera une issue pour la définition de dix. On lit alors un peu plus loin dans Bourbaki :

Dans la pratique du calcul numérique, on utilise les systèmes suivants :

a) Le système de base 2=1+1 ou système dyadique, où les chiffres sont 0 et 1 ;

b) le système décimal, dans lequel les chiffres sont 0, 1, 2=1+1, 3=2+1, 4=3+1, 5=4+1, 6=5+1, 7=6+1, 8=7+1, 9=8+1, et où $b$ est l'entier 9+1 (dont le symbole numérique est donc 10 dans ce système).

C'est manifestement une définition correcte qui évite soigneusement d'écrire que le système décimal est un système de numération utilisant la base dix (ou utilisant la base 10, encore plus incorrect). Certes il y a le mot décimal qui évoque dix, mais la base n'est pas notée dix par Bourbaki.

On notera que même Bourbaki doit écrire où $b$ est l'entier 9+1. A méditer.

Autrement dit, l'ordre logique d'introduction des notions consiste plutôt à donner les chiffres ordonnés (on le fait bien pour les lettres avant les mots), ensuite à dire que cela définit la base $b$ comme ci-dessus, puis à déduire les symboles numériques associés à tous les entiers, celui de la base $b$ étant alors tautologiquement 10 en toutes circonstances.

Quant à dix que personne ne définit facilement, voir dans la section 3, (b), pourquoi l'usage du nombre de doigts peut être utilisé tout en présentant un inconvénient philosophico-mathématique important.

Relativité des définitions

A) Rappelons d'abord le vocabulaire adéquat :

(i) Nombre. Objet relativement abstrait qui n'est au départ identifié que par la donnée d'un cardinal fini, autrement dit d'un ensemble fini $E$ (un tas d'allumettes, un ensemble de doigts,...) ; la difficulté étant alors qu'il est impossible de nommer, par un procédé systématique, un tel nombre (d'ailleurs, le cardinal correspondant est en gros la classe d'équivalence des ensembles équipotents à $E$).

Mais on peut considérer cette notion comme une notion première ; ceci dit, pour deux tas d'allumettes, pour vérifier qu'ils représentent ou non le même nombre (équipotence), il suffit de retirer une par une les allumettes de chaque tas : la fin de l'opération donne le résultat et cette manipulation bourbachique hyper-fondamentale peut être faite dès la maternelle pour le plus grand profit des jeunes cerveaux pour aller plus loin (plus grand, plus petit, égal, un de plus, un de moins, etc...).

(ii) Division euclidienne. Elle conduit au développement de base $b$ (après le choix de $b$, purement abstrait et certainement pas nommable via le processus qu'on n'a pas encore défini !!), lequel est purement algébrique (utilisation des lois $+$ et $\times$ dans $\mathbb {N}$).

(iii) Représentation numérique des nombres. Comme dit plus haut, c'est essentiellement le symbole numérique associé au développement de base $b$ après concaténation et substitution des chiffres.

(iv) Représentation numérique de la base $b$. Ce point, qui vient en dernier, est donc un corollaire du point (iii) donnant immédiatement 10, l'abus d'écriture si courant $b=10$ (ou plus généralement $N=2013$, etc... pour les entiers) étant certainement à l'origine des définitions fantaisistes de la section 2, par confusion de deux notions (nombre et représentation numérique) ; il en résulte alors l'écriture dix = 10, qui n'est ni plus ni moins abusive et qui est une conséquence de tout ce qui précède.

B) Imaginons maintenant que l'espèce humaine ait été conçue avec des mains comportant un doigt de moins (resp. de plus) à chaque main. Ou, si l'on préfère, supposons qu'il en est ainsi des habitants d'une lointaine planète habitée par des êtres intelligents, qui auront les mêmes bases mathématiques, au moins sur ces questions ensemblistes qui sont uniques ; ceci a l'avantage d'une simultanéité d'un usage des mathématiques.

Dans notre cas, l'histoire de l'humanité aurait été identique avec les éléments de la section 2, et en particulier on aurait les phrases ou textes suivants (en traitant les deux cas de figure) :

Wikipédia (article intitulé 10 (nombre))~: 10 (dix), est l'entier naturel suivant 7 (resp. 11) et précédant 9 (resp. 13). \footnote{On ne pourrait pas parler de base octale, car le chiffre 8 n'existerait tout simplement pas ; si ces mathématiciens voulaient utiliser la base plus grande dix + 2 (c'est-à-dire notre base usuelle), ils auraient créé deux chiffres supplémentaires $A,B$, comme nous faisons pour passer du système usuel au système duodécimal.} Le nombre 10 occupe une place considérable dans les mathématiques actuelles et la vie quotidienne en raison de l'utilisation du système décimal. Ce nombre correspond généralement au nombre de doigts des mains d'une personne.

Dix est la base du système de numération décimal, de loin le système le plus commun pour noter les nombres que ce soit dans le langage parlé et écrit, et cela probablement en raison de l'anatomie humaine : chaque être humain a dix doigts.

Oui, mais avec un dix plus petit (resp. plus grand).

Bourbaki aurait alors écrit : Dans la pratique du calcul numérique, on utilise les systèmes suivants :

a) Le système de base 2=1+1 ou système dyadique, où les chiffres sont 0 et 1~;

et (selon le cas) :

b) le système décimal, dans lequel les chiffres sont 0, 1, 2=1+1, 3=2+1, 4=3+1, 5=4+1, 6=5+1, 7=6+1, et où $b$ est l'entier 7+1 (dont le symbole numérique est donc 10 dans ce système).

b') le système décimal, dans lequel les chiffres sont 0, 1, 2=1+1, 3=2+1, 4=3+1, 5=4+1, 6=5+1, 7=6+1, 8=7+1, 9=8+1, $\alpha =9+1$, $\beta =\alpha +1$, et où $b$ est l'entier $\beta +1$ (dont le symbole numérique est donc 10 dans ce système)}.\footnote{Les symboles $\alpha ,\beta$ auraient de fait un aspect scriptural analogue aux précédents qu'il est difficile d'inventer ici. Rien à voir avec les $A,B$, ... que l'on rajoute par nécessité.}

Conclusion -- Synthèse

Cette relativité manifeste pour dix = nombre de doigts doit être considérée comme hors des mathématiques, lesquelles doivent être universelles sur toute planète et pour toute Histoire de l'esprit, le nombre de doigts devant alors être considéré comme une constante de la physique, en exagérant à peine, susceptible de varier en tant que donnée fondamentale, même si notre constante à nous doit avoir un statut privilégié, mais non absolu.

Ces remarques montrent que si l'on veut rester dans un pure cadre mathématique, il faut prendre certaines précautions, être conscient des abus de languages (qui doivent demeurer, il n'est pas question de compliquer ou même de modifier les habitudes)

Il semble alors difficile d'échapper au principe de rédaction issu de Bourbaki qui consiste d'abord à faire la liste des nombres-chiffres consécutifs qui vont définir le nombre-base $b$ utilisé. Il n'est alors pas difficile d'édulcorer Bourbaki pour y arriver. On pourrait peut-être écrire dans un esprit de synthèse :

Le système décimal est le système de numération utilisant comme chiffres les nombres particuliers consécutifs suivants : 0, 1, 2=1+1, 3=2+1, 4=3+1, 5=4+1, 6=5+1, 7=6+1, 8=7+1, 9=8+1. Le nombre entier 9+1 s'appelle la base de numération et coïncide avec le nombre de doigts des deux mains.

L'usage est de nommer dix son écriture dans ce seul cas particulier de base précédent (nombre de doigts), étant entendu que toute autre base de numération est aussi codée 10 qui devrait alors se lire un, zéro et non dix.

Les puissances de cette base dix bénéficient d'une dénomination privilégiée qui constitue le système décimal (dix, cent, mille, etc...), leur codage étant par définition invariable (10, 100, 1000, etc...), de sorte que 2013 se lit (et seulement pour la base dix) deux mile treize (et deux, zero, un, trois, si l'on est dans une autre base).

Ne pas oublier que dans toutes ces questions de numération, on dispose logiquement de la notion de nombre-cardinal, de la relation d'ordre avec écritures à la Peano, de l'arithmétique élémentaire sur les entiers (addition, multiplication, division euclidienne, etc...) si besoin, pour rédiger ou pour justifier existence et unicité.