Pavage uniforme

En géométrie, un pilage uniforme est un pavage du plan par des faces polygonales régulières avec la restriction d'être transitionnel de sommet.

Des pilons uniformes peuvent exister à la fois dans le plan euclidien et dans le plan hyperbolique. Les pilages uniformes sont liés à la polyèdre uniforme finie; ceux-ci peuvent être considérés comme des pilages homogènes de la sphère.

La plupart des pilons uniformes peuvent être fabriqués à partir d'une construction de Wythoff à partir d'un groupe de symétrie et d'un point de génération singulier à l'intérieur du domaine fondamental. Un groupe de symétrie planaire a un domaine fondamental polygonal et peut être représenté par sa notation de groupe: la séquence des ordres de réflexion des sommets fondamentaux du domaine.

Un triangle de domaine fondamental est noté (p q r), où p, q, r sont des nombres entiers > 1, i.e. ≥ 2; un triangle rectangle fondamental du domaine est noté (p q 2). Le triangle peut exister sous la forme d'un triangle sphérique, d'un triangle de plan euclidienne ou d'un triangle plan hyperbolique, selon les valeurs de p, q, and r.

Il existe plusieurs schémas symboliques pour désigner ces chiffres:

Le symbole de Schläfli modifié pour un domaine de triangle rectangle: (p q 2) → {p, q}.
Le diagramme de Coxeter-Dynkin est un graphe triangulaire avec p, q, r étiqueté sur les bords. Si r = 2, le graphe est linéaire, puisque les noeuds de diagramme de connectivité 2 ne sont pas reliés entre eux par une branche de diagramme (puisque les miroirs de domaine se rencontrant à 90 degrés ne génèrent pas de nouveaux miroirs).
Le symbole de Wythoff prend les trois entiers et les sépare par une barre verticale (|). Si le point générateur est hors du miroir opposé à un sommet de domaine, alors l'ordre de réflexion de ce sommet de domaine est donné avant la barre.
Enfin, un pilage uniforme peut être décrit par sa configuration de sommet: la séquence (identique) des polygones autour de chaque sommet (équivalent).

Tous les pavages uniformes peuvent être construits à partir de diverses opérations appliquées à des pavages réguliers Ces opérations, telles que nommées par Norman Johnson, sont appelées Troncature (coupes de sommets), Rectification (coupes de sommets jusqu'à disparition des bords), et cantellation (tranches de coupe et sommets). L'omnitruncation est une opération qui combine la troncature et la cantellation. Le *snubbing* est une opération de troncature alternée appliquée à la forme omnitroncaturée. (Voir Polyèdre uniforme#Opérateurs de construction de Wythoff pour plus de détails.)

Groupes de Coxeter

Les groupes de Coxeter pour le plan définissent la construction de Wythoff et peuvent être représentés par des diagrammes de Coxeter-Dynkin :

Pour les groupes ayant des ordres de réflexion sur un nombre entier, notamment:

plan euclidéen
Symétrie orbifold	Groupe de Coxeter			Notes
Compacte
*333	(3 3 3)	${\tilde {A}}_{2}$	[3^[3]]	3 formes réfléchissantes, 1 snub
*442	(4 4 2)	${\tilde {B}}_{2}$	[4,4]	5 formes réfléchissantes, 1 snub
*632	(6 3 2)	${\tilde {G}}_{2}$	[6,3]	7 formes réfléchissantes, 1 snub
*2222	(∞ 2 ∞ 2)	${\tilde {I}}_{1}$ × ${\tilde {I}}_{1}$	[∞,2,∞]	3 formes réfléchissantes, 1 snub
Non compacte (Frise)
*∞∞	(∞)	${\tilde {I}}_{1}$	[∞]
*22∞	(2 2 ∞)	${\tilde {I}}_{1}$ × ${\tilde {A}}_{2}$	[∞,2]	2 formes réfléchissantes, 1 snub

Plan hyperbolique
symétrie des orbièdres	Groupe de Coxter		Notes
Compacte
*pq2	(p q 2)	[p,q]	2(p+q) < pq
*pqr	(p q r)	[(p,q,r)]	pq+pr+qr < pqr, i.e. $1 / p$ + $1 / q$ + $1 / r$ < 1
Paracompact
*∞p2	(p ∞ 2)	[p,∞]	p ≥ 3
*∞pq	(p q ∞)	[(p,q,∞)]	p,q ≥ 3; p+q > 6
*∞∞p	(p ∞ ∞)	[(p,∞,∞)]	p ≥ 3
*∞∞∞	(∞ ∞ ∞)	[(∞,∞,∞)]

Pavages uniformes du plan euclidien

Modèle:Further

TLe carrelage triangulaire allongé, seul pilage uniforme convexe non-Wythoffen

Il existe des groupes de symétrie sur le plan euclidien construit à partir de triangles fondamentaux: (4 4 2), (6 3 2) et (3 3 3). Chacune est représentée par un ensemble de lignes de réflexion qui divisent le plan en triangles fondamentaux.

Ces groupes de symétrie créent 3 carreaux réguliers, et 7 dents semi-réguliers. Un certain nombre de carreaux semi-réguliers sont répétés à partir de constructeurs de symétries différents.

Un groupe de symétrie prismatique, (2 2 2 2), est représenté par deux ensembles de miroirs parallèles, qui peuvent en général faire un domaine fondamental rectangulaire. Il ne génère pas de nouvelles carrelages.

Un autre groupe de symétrie prismatique, (∞ 2 2), a un domaine fondamental infini. Il construit deux carreaux uniformes: le prisme apeirogonal et l'antiprisme apeirogonal.

L'empilement des faces finies de ces deux pavages prismatiques génère un pavage uniforme non-Wythoffien du plan. Il est appelé le pavage triangulaire allongé, composé de couches alternées de carrés et de triangles.

Triangles fondamentaux de l'angle droit: (p q 2)

(p q 2)	Fonds. triangles	Parent	Trunés	Rectifié	Bitruncées	Birectified (du dual)	Cantellé	Omnitruncés (Cantitrusion)	Snub
symbole de Wythoff		q \| p 2	2 q \| p	2 \| p q	2 p \| q	p \| q 2	p q \| 2	p q 2 \|	\| p q 2
symbole de Schläfli		{p,q}	t{p,q}	r{p,q}	2t{p,q}=t{q,p}	2r{p,q}={q,p}	rr{p,q}	tr{p,q}	sr{p,q}
Vertex configuration		p^q	q.2p.2p	(p.q)²	p.2q.2q	q^p	p.4.q.4	4.2p.2q	3.3.p.3.q
Pilage carré (4 4 2)	0	{4,4}	4.8.8	4.4.4.4	4.8.8	{4,4}	4.4.4.4	4.8.8	3.3.4.3.4
Pilage hexagonal (6 3 2)	0	{6,3}	3.12.12	3.6.3.6	6.6.6	{3,6}	3.4.6.4	4.6.12	3.3.3.3.6

Triangles fondamentaux généraux: (p q r)

Symbole de Wythoff (p q r)	Fund. triangles	q \| p r	r q \| p	r \| p q	r p \| q	p \| q r	p q \| r	p q r \|	\| p q r
Configuration de vertex		(p.q)^r	r.2p.q.2p	(p.r)^q	q.2r.p.2r	(q.r)^p	q.2r.p.2r	r.2q.p.2q	3.r.3.q.3.p
Triangular (3 3 3)	0	(3.3)³	3.6.3.6	(3.3)³	3.6.3.6	(3.3)³	3.6.3.6	6.6.6	3.3.3.3.3.3

Domaines fondamentaux non-simpliciaux

Le seul domaine fondamental possible dans l'espace euclidien à 2 dimensions qui n'est pas un simplexe est le rectangle (∞ 2 ∞ 2), avec le diagramme de Coxeter. Toutes les formes générées à partir de ce domaine deviennent un pavage carré.

Pavages uniformes du plan hyperbolique

Modèle:Further

Il existe une infinité de carrelages uniformes par des polygones réguliers convexes sur le plan hyperbolique, chacun basé sur un groupe de symétrie réfléchissante différent (p q r).

Un échantillon est présenté ici avec une projection modèle du disque de Poincaré|du disque de Poincaré.

Le diagramme de Coxeter-Dynkin est donné sous une forme linéaire, bien qu'il s'agisse en réalité d'un triangle, avec le segment terminal r se connectant au premier nœud.

D'autres groupes de symétrie existent dans le plan hyperbolique avec des domaines fondamentaux quadrilatéraux — commençant par (2 2 2 3), etc. — qui peuvent générer de nouvelles formes. De plus, il existe des domaines fondamentaux qui placent des sommets à l'infini, comme (∞ 2 3), etc.

Triangles fondamentaux rectangles : (p q 2)

(p q 2)	Fund. triangles	Parent	Truncated	Rectified	Bitruncated	Birectified (dual)	Cantellated	Omnitruncated (Cantitruncated)	Snub
Symbole de Wythoff		q \| p 2	2 q \| p	2 \| p q	2 p \| q	p \| q 2	p q \| 2	p q 2 \|	\| p q 2
Symbole de Schläfli		t{p,q}	t{p,q}	r{p,q}	2t{p,q}=t{q,p}	2r{p,q}={q,p}	rr{p,q}	tr{p,q}	sr{p,q}
Vertex configuration		p^q	q.2p.2p	p.q.p.q	p.2q.2q	q^p	p.4.q.4	4.2p.2q	3.3.p.3.q
(5 4 2)	V4.8.10	{5,4}	4.10.10	4.5.4.5	5.8.8	{4,5}	4.4.5.4	4.8.10	3.3.4.3.5
(5 5 2)	V4.10.10	{5,5}	5.10.10	5.5.5.5	5.10.10	{5,5}	5.4.5.4	4.10.10	3.3.5.3.5
(7 3 2)	V4.6.14	{7,3}	3.14.14	3.7.3.7	7.6.6	{3,7}	3.4.7.4	4.6.14	3.3.3.3.7
(8 3 2)	V4.6.16	{8,3}	3.16.16	3.8.3.8	8.6.6	{3,8}	3.4.8.4	4.6.16	3.3.3.3.8

Triangles fondamentaux généraux :: (p q r)

symbole de Wythoff (p q r)	Fund. triangles	q \| p r	r q \| p	r \| p q	r p \| q	p \| q r	p q \| r	p q r \|	\| p q r
Vertex configuration		(p.r)^q	r.2p.q.2p	(p.q)^r	q.2r.p.2r	(q.r)^p	r.2q.p.2q	2p.2q.2r	3.r.3.q.3.p
(4 3 3)	V6.6.8	(3.4)³	3.8.3.8	(3.4)³	3.6.4.6	(3.3)⁴	3.6.4.6	6.6.8	3.3.3.3.3.4
(4 4 3)	V6.8.8	(3.4)⁴	3.8.4.8	(4.4)³	3.6.4.6	(3.4)⁴	4.6.4.6	6.8.8	3.3.3.4.3.4
(4 4 4)	V8.8.8	(4.4)⁴	4.8.4.8	(4.4)⁴	4.8.4.8	(4.4)⁴	4.8.4.8	8.8.8	3.4.3.4.3.4

Listes élargies de pavages uniformes

The vertex figures for the six tilings with convex regular polygon

and apeirogon faces. (The Wythoff symbol is given in red.)

Vertex figures for 21 uniform tilings.

Il existe plusieurs façons d’étendre la liste des pavages uniformes :

Les figures de sommet peuvent avoir des faces rétrogrades et tourner autour du sommet plus d'une fois.
Les tuiles polygone étoilé peuvent être incluses..
Apeirogones, {∞}, peuvent être utilisés comme faces de pavage.
Zigzags (apeirogones alternant entre deux angles) peuvent également être utilisés.
La restriction selon laquelle les carreaux se rencontrent bord à bord peut être assouplie, permettant des pavages supplémentaires tels que le Pavage pythagoricien.

Les triangles du groupe de symétrie avec rétrogrades comprennent :

(4/3 4/3 2), (6 3/2 2), (6/5 3 2), (6 6/5 3), (6 6 3/2).

Les triangles du groupe de symétrie avec l'infini comprennent :

(4 4/3 ∞), (3/2 3 ∞), (6 6/5 ∞), (3 3/2 ∞).

Branko Grünbaum et G. C. Shephard, dans leur livre de 1987 Tilings and patterns, section 12.3, énumèrent une liste de 25 pavages uniformes, y compris les 11 formes convexes, et ajoutent 14 autres qu'ils appellent pavages creux, en utilisant les deux premières expansions mentionnées ci-dessus : faces en polygones étoilés et figures de sommet généralisées.^[1]

H. S. M. Coxeter, M. S. Longuet-Higgins, et J. C. P. Miller, dans leur article de 1954 'Uniform polyhedra', Table 8: Uniform Tessellations, utilisent les trois premières expansions et énumèrent un total de 38 pavages uniformes. Si un pavage constitué de 2 apeirogones est également compté, le total peut être considéré comme 39 pavages uniformes.

En 1981, Grünbaum, Miller et Shephard, dans leur article Uniform Tilings with Hollow Tiles, listent 25 pavages en utilisant les deux premières expansions et 28 autres lorsque la troisième est ajoutée (soit un total de 53 pavages selon la définition de Coxeter et al.). Lorsqu'on ajoute la quatrième expansion, ils énumèrent 23 pavages uniformes supplémentaires et 10 familles (8 dépendant de paramètres continus et 2 de paramètres discrets).^[2]

Outre les 11 solutions convexes, les 28 pavages étoilés uniformes listés par Coxeter et al., regroupés selon leurs graphes d'arêtes partagés, sont présentés ci-dessous, suivis de 15 autres pavages listés par Grünbaum et al. qui satisfont la définition de Coxeter et al. mais ont été omis par eux.

Cet ensemble n’est pas prouvé comme complet. Par "2.25" on entend le pavage numéro 25 dans le tableau 2 de Grünbaum et al. de 1981.

Les trois pavages suivants sont exceptionnels car il n’y a qu'un nombre fini de types de faces : deux apeirogones dans chacun d’eux. Parfois, le pavage apeirogonal d’ordre 2 n’est pas inclus, car ses deux faces se rencontrent à plus d’un bord.

Frieze group symmetry
McNeill^[3]	Vertex Config.	Wythoff	Symmetry	Notes
I1	∞.∞		p1m1	(Two half-plane tiles, order-2 apeirogonal tiling)
I2	4.4.∞	∞ 2 \| 2	p1m1	Apeirogonal prism
I3	3.3.3.∞	\| 2 2 ∞	p11g	Apeirogonal antiprism

Pour plus de clarté, les pavages ne sont plus colorés à partir de ce point (en raison des chevauchements). Un ensemble de polygones autour d'un sommet est mis en surbrillance. McNeill ne liste que les pavages donnés par Coxeter et al. (1954). Les onze pavages uniformes convexes ont été répétées à titre de référence.

Wallpaper group symmetry
McNeill^[3]	Grünbaum et al., 1981^[2]	Edge diagram	Highlighted	Vertex Config.	Wythoff	Symmetry
Convex	1.9			4.4.4.4	4 \| 2 4	p4m
I4	2.14			4.∞.4/3.∞ 4.∞.-4.∞	4/3 4 \| ∞	p4m
Convex	1.24			6.6.6	3 \| 2 6	p6m
Convex	1.25			3.3.3.3.3.3	6 \| 2 3	p6m
I5	2.26			(3.∞.3.∞.3.∞)/2	3/2 \| 3 ∞	p3m1
Convex	1.23			3.6.3.6	2 \| 3 6	p6m
I6	2.25			6.∞.6/5.∞ 6.∞.-6.∞	6/5 6 \| ∞	p6m
I7	2.24			∞.3.∞.3/2 3.∞.-3.∞	3/2 3 \| ∞	p6m
Convex	1.14			3.4.6.4	3 6 \| 2	p6m
1	1.15			3/2.12.6.12 -3.12.6.12	3/2 6 \| 6	p6m
1	1.16			4.12.4/3.12/11 4.12.-4.-12	2 6 (3/2 6/2) \|	p6m
Convex	1.5			4.8.8	2 4 \| 4	p4m
2	2.7			4.8/3.∞.8/3	4 ∞ \| 4/3	p4m
	1.7			8/3.8.8/5.8/7 8.8/3.-8.-8/3	4/3 4 (4/2 ∞/2) \|	p4m
	2.6			8.4/3.8.∞ -4.8.∞.8	4/3 ∞ \| 4	p4m
Convex	1.20			3.12.12	2 3 \| 6	p6m
3	2.17			6.12/5.∞.12/5	6 ∞ \| 6/5	p6m
	1.21			12/5.12.12/7.12/11 12.12/5.-12.-12/5	6/5 6 (6/2 ∞/2) \|	p6m
	2.16			12.6/5.12.∞ -6.12.∞.12	6/5 ∞ \| 6	p6m
4	1.18			12/5.3.12/5.6/5 3.12/5.-6.12/5	3 6 \| 6/5	p6m
	1.19			12/5.4.12/7.4/3 4.12/5.-4.-12/5	2 6/5 (3/2 6/2) \|	p6m
	1.17			4.3/2.4.6/5 3.-4.6.-4	3/2 6 \| 2	p6m
5	2.5			8.8/3.∞	4/3 4 ∞ \|	p4m
6	2.15			12.12/5.∞	6/5 6 ∞ \|	p6m
7	1.6			8.4/3.8/5 4.-8.8/3	2 4/3 4 \|	p4m
Convex	1.11			4.6.12	2 3 6 \|	p6m
8	1.13			6.4/3.12/7 4.-6.12/5	2 3 6/5 \|	p6m
9	1.12			12.6/5.12/7 6.-12.12/5	3 6/5 6 \|	p6m
10	1.8			4.8/5.8/5 -4.8/3.8/3	2 4 \| 4/3	p4m
11	1.22			12/5.12/5.3/2 -3.12/5.12/5	2 3 \| 6/5	p6m
Convex	1.1			3.3.3.4.4	non-Wythoffian	cmm
12	1.2			4.4.3/2.3/2.3/2 3.3.3.-4.-4	non-Wythoffian	cmm
Convex	1.3			3.3.4.3.4	\| 2 4 4	p4g
13	1.4			4.3/2.4.3/2.3/2 3.3.-4.3.-4	\| 2 4/3 4/3	p4g
14	2.4			3.4.3.4/3.3.∞ 3.4.3.-4.3.∞	\| 4/3 4 ∞	p4
Convex	1.10			3.3.3.3.6	\| 2 3 6	p6
	2.1			3/2.∞.3/2.∞.3/2.4/3.4/3 3.4.4.3.∞.3.∞	non-Wythoffian	cmm
	2.2			3/2.∞.3/2.∞.3/2.4.4 3.-4.-4.3.∞.3.∞	non-Wythoffian	cmm
	2.3			3/2.∞.3/2.4.4.3/2.4/3.4/3 3.4.4.3.-4.-4.3.∞	non-Wythoffian	p3
	2.8			4.∞.4/3.8/3.8 4.8.8/3.-4.∞	non-Wythoffian	p4m
	2.9			4.∞.4.8.8/3 -4.8.8/3.4.∞	non-Wythoffian	p4m
	2.10			4.∞.4/3.8.4/3.8 4.8.-4.8.-4.∞	non-Wythoffian	p4m
	2.11			4.∞.4/3.8.4/3.8 4.8.-4.8.-4.∞	non-Wythoffian	p4g
	2.12			4.∞.4/3.8/3.4.8/3 4.8/3.4.8/3.-4.∞	non-Wythoffian	p4m
	2.13			4.∞.4/3.8/3.4.8/3 4.8/3.4.8/3.-4.∞	non-Wythoffian	p4g
	2.18			3/2.∞.3/2.4/3.4/3.3/2.4/3.4/3 3.4.4.3.4.4.3.∞	non-Wythoffian	p6m
	2.19			3/2.∞.3/2.4.4.3/2.4.4 3.-4.-4.3.-4.-4.3.∞	non-Wythoffian	p6m
	2.20			3/2.∞.3/2.∞.3/2.12/11.6.12/11 3.12.-6.12.3.∞.3.∞	non-Wythoffian	p6m
	2.21			3/2.∞.3/2.∞.3/2.12.6/5.12 3.-12.6.-12.3.∞.3.∞	non-Wythoffian	p6m
	2.22			3/2.∞.3/2.∞.3/2.12/7.6/5.12/7 3.12/5.6.12/5.3.∞.3.∞	non-Wythoffian	p6m
	2.23			3/2.∞.3/2.∞.3/2.12/5.6.12/5 3.-12/5.-6.-12/5.3.∞.3.∞	non-Wythoffian	p6m

Il existe deux pavages uniformes pour la configuration de sommet 4.8.-4.8.-4.∞ (Grünbaum et al., 2.10 et 2.11) ainsi que deux pavages uniformes pour la configuration de sommet 4.8/3.4.8/3.-4.∞ (Grünbaum et al., 2.12 et 2.13), avec des symétries différentes. Il existe également un troisième pavage pour chaque configuration de sommet qui est seulement pseudo-uniforme (les sommets appartiennent à deux orbites de symétrie). Ces pavages utilisent différents ensembles de faces carrées. Par conséquent, pour les pavages euclidiens étoilés, la configuration des sommets ne détermine pas nécessairement le pavage.^[2]

Dans les images ci-dessous, les carrés inclus avec des bords horizontaux et verticaux sont marqués d'un point central. Un seul carré a des bords mis en évidence. ^[2]

Pseudo-uniforme

Les pavages avec des zigzags sont listés ci-dessous. {∞^𝛼} désigne un zigzag avec un angle 0 < 𝛼 < π. L'apeirogone peut être considéré comme le cas spécial 𝛼 = π. Les symétries sont données pour le cas générique, mais il existe parfois des valeurs spéciales de 𝛼 qui augmentent la symétrie. Les pavages 3.1 et 3.12 peuvent même devenir réguliers ; 3.32 l'est déjà (il n'a pas de paramètres libres). Parfois, des valeurs spéciales de 𝛼 provoquent la dégénérescence du pavage.^[2]

Tilings with zigzags
Grünbaum et al., 1981^[2]	Diagram	Vertex Config.	Symmetry
3.1		∞^𝛼.∞^β.∞^γ 𝛼+β+γ=2π	p2
3.2		∞^𝛼.∞^β.-∞^𝛼+β 0<𝛼+β≤π	p2
3.3		3.3.∞^π-𝛼.-3.∞^𝛼+2π/3 0≤𝛼≤π/6	pgg
3.4		3.3.-∞^π-𝛼.-3.∞^{−𝛼+2π/3} 0≤𝛼<π/3	pgg
3.5		4.4.∞^φ.4.4.-∞^φ φ=2 arctan(n/k), nk even, (n,k)=1 drawn for φ=2 arctan 2	pmg
3.6		4.4.∞^φ.-4.-4.∞^φ φ=2 arctan(n/k), nk even, (n,k)=1 drawn for φ=2 arctan 1/2	pmg
3.7		3.4.4.3.-∞^2π/3.-3.-∞^2π/3	cmm
3.8		3.-4.-4.3.-∞^2π/3.-3.-∞^2π/3	cmm
3.9		4.4.∞^π/3.∞.-∞^π/3	p2
3.10		4.4.∞^2π/3.∞.-∞^2π/3	p2
3.11		∞.∞^𝛼.∞.∞^−𝛼 0<𝛼<π	cmm
3.12		∞^𝛼.∞^π-𝛼.∞^𝛼.∞^π-𝛼 0<𝛼≤π/2	cmm
3.13		3.∞^𝛼.-3.-∞^𝛼 π/3<𝛼<π	p31m
3.14		4.4.∞^2π/3.4.4.-∞^2π/3	p31m
3.15		4.4.∞^π/3.-4.-4.-∞^π/3	p31m
3.16		4.∞^𝛼.-4.-∞^𝛼 0<𝛼<π, 𝛼≠π/2	p4g
3.17		4.-8.∞^π/2.∞.-∞^π/2.-8	cmm
3.18		4.-8.∞^π/2.∞.-∞^π/2.-8	p4
3.19		4.8/3.∞^π/2.∞.-∞^π/2.8/3	cmm
3.20		4.8/3.∞^π/2.∞.-∞^π/2.8/3	p4
3.21		6.-12.∞^π/3.∞.-∞^π/3.-12	p6
3.22		6.-12.∞^2π/3.∞.-∞^2π/3.-12	p6
3.23		6.12/5.∞^π/3.∞.-∞^π/3.12/5	p6
3.24		6.12/5.∞^2π/3.∞.-∞^2π/3.12/5	p6
3.25		3.3.3.∞^2π/3.-3.∞^2π/3	p31m
3.26		3.∞.3.-∞^2π/3.-3.-∞^2π/3	cm
3.27		3.∞.-∞^2π/3.∞.-∞^2π/3.∞	p31m
3.28		3.∞^2π/3.∞^2π/3.-3.-∞^2π/3.-∞^2π/3	p31m
3.29		∞.∞^π/3.∞^π/3.∞.-∞^π/3.-∞^π/3	cmm
3.30		∞.∞^π/3.-∞^2π/3.∞.∞^2π/3.-∞^π/3	p2
3.31		∞.∞^2π/3.∞^2π/3.∞.-∞^2π/3.-∞^2π/3	cmm
3.32		∞^π/3.∞^π/3.∞^π/3.∞^π/3.∞^π/3.∞^π/3	p6m
3.33		∞^π/3.-∞^2π/3.-∞^2π/3.∞^π/3.-∞^2π/3.-∞^2π/3	cmm

Des carreaux auto-duals

Le {4,4} carreau carré (noir) avec son dual (rouge).

Un carreau peut aussi être auto-dual. Le carreau carré, avec le symbole de Schläfli {4,4}, est auto-dual ; ici sont montrés deux carreaux carrés (rouge et noir), duals l'un de l'autre.

Pilages uniformes utilisant des polygrammes réguliers ou isotoxaux comme polygones simples isotoxaux non convexes

Cet exemple, 4.8.4.8, est considéré comme non bord-à-bord en raison du grand carré, bien que ce dernier puisse être interprété comme un polygone étoile avec quatre paires de bords collinéaires.

Voir un polygone étoile régulier comme un non convexe isotoxal polygone simple avec deux fois plus de (plus petits) côtés mais alternant les mêmes angles extérieurs et "internes" permet d'utiliser les polygones étoiles réguliers dans un carreau, et voir les isotoxal polygones simples comme "réguliers" permet d'utiliser des polygones étoiles réguliers dans un carreau "uniforme" (mais pas tous peuvent l'être).

De plus, les contours de certains polygones étoilés isotoxaux non réguliers sont des polygones isotoxaux non convexes (simples) avec autant de (plus petits) côtés et alternant les mêmes angles extérieurs et "internes" ; voir ce type de polygones étoilés isotoxaux comme leurs contours permet de les utiliser dans un carreau, et voir les polygones simples isotoxaux comme "réguliers" permet d'utiliser ce type de polygones étoilés isotoxaux dans un carreau "uniforme" (mais pas tous peuvent l'être).

Un polygone simple isotoxal 2n-gon avec un angle interne extérieur 𝛼; ses sommets extérieurs sont étiquetés n}, et les intérieurs comme n}.

Ces extensions à la définition pour un carreau exigent que les coins avec seulement 2 polygones ne soient pas considérés comme des sommets — puisque la configuration de sommet pour les sommets avec au moins 3 polygones suffit à définir un tel carreau "uniforme", et ainsi que ce dernier ait une seule configuration de sommet correcte (sinon il en aurait deux) —. Il existe 4 carreaux uniformes avec des angles 𝛼 ajustables, et 18 carreaux uniformes qui ne fonctionnent qu'avec des angles spécifiques, donnant un total de 22 carreaux uniformes qui utilisent des polygones étoiles.^[4]

Tous ces carreaux, avec les sommets d'ordre 2 ignorés, avec les bords doubles et triples réduits à des bords simples, sont topologiquement liés aux carreaux uniformes ordinaires (utilisant uniquement des polygones réguliers convexes).

4 "carreaux" uniformes utilisant des polygones étoiles avec des angles ajustables 𝛼
3.6.6 Topol. lié à.12.12	4.4.4 Topol. lié à \|4.8.8	6.3.3 Topol. lié à 6.6.6	3.3.3.3 Topol. lié à 3.6.3.6

18 "carreaux" uniformes utilisant des polygones étoiles avec des angles spécifiques
4.6.4.6 Topol. lié à 4.4.4.4	(8.4² Topol. lié à 4.4.4.4	12.12.4 Topol. lié à 4.8.8	{{nowrap\|3.3.8.4} Topol. lié à 4.8.8	{{nowrap\|3.3.8.3.4.3.8} Topol. lié à 4.8.8	3.4.8.3.8 Topol. lié à4.8.8
5.5.4.5.4 Topol. lié à 3.3.4.3.4	4.6{6.6 Topol. lié à 6.6.6	(4.6)³ Topol. lié à 6.6.6	9.9.6 Topol. lié à \|6.6.6	(6.6)² Topol. lié à 3.6.3.6	(12.3)² Topol. lié à 3.6.3.6
3.4.6.3.12 Topol. lié à tronqué4.6.12	{{nowrap\|3.3.3.12.3.3.12} Topol. lié à tronqué\|3.12.12	18.18.3 Topol. lié à 3.12.12	3.6.6.6 Topol. lié à 3.4.6.4	8.3{.8.6 Topol. lié à 3.4.6.4	9.3.9.3 Topol. lié à 3.6.3.6

Carreaux uniformes utilisant des polygones isotoxaux convexes simples

Les polygones isotoxaux non réguliers, qu'ils soient étoiles ou simples 2n-gons, alternent toujours deux angles. Les 2n-gons isotoxaux simples, {n_𝛼}, peuvent être convexes; les plus simples sont les rhombes (2×2-gons), {2_𝛼}. Considérer ces {n_𝛼} convexes comme des polygones "réguliers" permet de considérer davantage de carreaux comme "uniformes".

Exemples de carreaux "uniformes" utilisant des 2n-gons isotoxaux convexes simples
3.2.6.2{ Topol. lié à 3.4.6.4	4.4.4.4 Topol. lié à 4.4.4.4	(2.2)² Topol. lié à 4.4.4.4	2.2.2.2 Topol. lié à 4.4.4.4	4.2.4.2 Topol. lié à 4.4.4.4

Voir aussi

Références

↑ Tiles and Patterns, Table 12.3.1, p. 640
↑ ^{a b c d e et f} (en) Branko Grünbaum, J. C. P. Miller et G. C. Shephard, The Geometric Vein: The Coxeter Festschrift, Springer, 1981, 17–64 p. (ISBN 978-1-4612-5650-2), « Uniform Tilings with Hollow Tiles »
↑ ^{a et b} Jim McNeill
↑ Tilings and Patterns, Branko Gruenbaum, G. C. Shephard, 1987, 2.5 Carreaux utilisant des polygones étoiles, pp. 82–85.

Norman Johnson Uniform Polytopes, Manuscript (1991)
- N. W. Johnson: The Theory of Uniform Polytopes and Honeycombs, Ph. D. Dissertation, University of Toronto, 1966
(en) Branko Grünbaum et G. C. Shephard, Tilings and Patterns, W. H. Freeman and Company, 1987 (ISBN 0-7167-1193-1, lire en ligne) (Star tilings section 12.3)
H. S. M. Coxeter, M. S. Longuet-Higgins, J. C. P. Miller, Uniform polyhedra, Phil. Trans., 1954, 246 A, 401–50 JSTOR:91532 (Table 8)

Liens externes

[1] Tiles and Patterns, Table 12.3.1, p. 640

[Grunbaum1981-2] {a b c d e et f} (en) Branko Grünbaum, J. C. P. Miller et G. C. Shephard, The Geometric Vein: The Coxeter Festschrift, Springer, 1981, 17–64 p. (ISBN 978-1-4612-5650-2), « Uniform Tilings with Hollow Tiles »

[mcneill-3] {a et b} Jim McNeill

[4] Tilings and Patterns, Branko Gruenbaum, G. C. Shephard, 1987, 2.5 Carreaux utilisant des polygones étoiles, pp. 82–85.

[1]

[2]

[3]

[4]

Utilisateur:BOUZID.Rosa/sandbox

Sommaire