Utilisateur:Ambigraphe/Vitrine

L'évolution du nombre d'articles sur Wikipédia n'est pas linéaire en fonction du temps. Sa courbe représentative semble plus proche d'une fonction racine ou plus largement d'une fonction puissance avec un exposant compris entre 0 et 1.

Afin de proposer une explication mathématique à ce phénomène, on peut assimiler cette évolution à un processus continu dont l'accroissement dépend du nombre total de sujets d'articles potentiellement admissibles (parmi lesquels sont dénombrés les articles effectivement créés), du nombre de contributeurs actifs et d'un coefficient d'efficacité moyenne de ceux-ci.

On pourra enrichir ce modèle en considérant également un taux d'accroissement du nombre total de sujets admissibles ainsi qu'une réactivité des contributeurs face à cet accroissement, ou plus généralement en intégrant une différenciation des coefficients d'efficacité selon des fractions de contributeurs ou des fractions du savoir.

Modèle à contribution aléatoire

On postule que les contributeurs proposent du contenu encyclopédique au hasard sur la totalité du savoir admissible. Le nombre de propositions de contenu par unité de temps est le produit du nombre $C$ de contributeurs par un coefficient $k$ d'efficacité moyenne. Ces propositions se répartissent entre constat de présence du contenu, enrichissement d'articles et créations, la part de ces dernières étant supposée à proportion des articles pas encore créés sur le total $S$ d'articles admissibles. L'évolution du nombre $N$ d'articles créés est alors décrite par l'équation différentielle :

${\frac {\mathrm {d} N}{\mathrm {d} t}}=Ck{\frac {S-N}{S}}.$

Savoir constant

Supposons que sur une période significative, le total $S$ et le produit $Ck$ soient constants. La solution valable de l'équation différentielle convergence de façon exponentielle vers le total de sujets admissibles sous la forme :

$N(t)=S-(S-N_{0})e^{-{\frac {Ckt}{S}}}.$

Ce résultat est plutôt optimiste, puisqu'il affirme que tout sujet sera abordé un jour ou l'autre.

Savoir croissant

Supposons maintenant que le savoir s'enrichit continuellement de nouveaux sujets admissibles, événements, personalités, œuvres, découvertes… On note $a$ le taux d'accroissement de ce savoir par unité de temps. Ce taux est supposé constant, ce qui donne une fonction affine du temps de la forme $S(t)=S_{0}+at$. La résolution de l'équation différentielle peut se faire alors en posant

${\bar {N}}=N-\lambda S$

avec $\lambda$ constante pour obtenir

${\frac {\mathrm {d} {\bar {N}}}{\mathrm {d} t}}=Ck\left(1-{\frac {\bar {N}}{S}}-\lambda \right)-a\lambda .$

Il suffit de choisir $\lambda =Ck/(a+Ck)$ pour éliminer les termes constants et trouver une solution convergeant vers 0 comme une fonction puissance :

${\bar {N}}(t)={\bar {N}}_{0}\left({\frac {S(t)}{S_{0}}}\right)^{-{\frac {Ck}{a}}},$

ce qui mène à une évolution du nombre d'articles créés de la forme :

$N(t)={\frac {Ck}{a+Ck}}S(t)+{\bar {N}}_{0}\left({\frac {S(t)}{S_{0}}}\right)^{-{\frac {Ck}{a}}}.$

Par conséquent, selon ce modèle, même avec la meilleure volonté du monde, Wikipédia ne pourra couvrir asymptotiquement qu'une fraction du total des articles admissibles, fraction croissante avec le rapport $Ck/a$ de la productivité des contributeurs par l'accroissement du savoir. Ce même rapport détermine également la vitesse avec laquelle la courbe d'évolution se rapproche de son asymptote.

Le signe de la constante ${\bar {N}}_{0}$ est a priori négatif, si comme on s'y attend l'évolution du nombre d'articles créés est en dessous de son régime stable (affine). Si cette évolution se retrouvait au dessus de son régime stable, par exemple suite à une chute brutale du nombre de contributeurs ou de leur efficacité, la courbe deviendrait concave et se rapprocherait de son asymptote par valeurs supérieures.

Modèle à contribution différenciée

(à suivre)