Type binomial

En mathématiques, une suite de polynômes indexés par des entiers positifs ${\textstyle \left\{0,1,2,3,\ldots \right\}}$ dans laquelle l'indice de chaque polynôme est égal à son degré, est dit de type binomial s'il satisfait la suite d'identités

$p_{n}(x+y)=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}\,p_{k}(x)\,p_{n-k}(y).$

De nombreuses suites de ce type existent. L'ensemble de toutes ces suites forme un groupe de Lie sous l'opération de composition ombrale. Chaque suite de type binomial peut être exprimée en termes de polynômes de Bell. Chaque suite de type binomial est une suite de Sheffer (mais la réciproque est généralement fausse : la plupart des suites de Sheffer ne sont pas de type binomial). Les suites polynomiales établissent une base solide au XIX^e siècle pour les notions du calcul ombral.

Exemples

• En conséquence de cette définition, la formule du binôme de Newton peut être énoncée en disant que la suite des monômes {x ⁿ : n = 0, 1, 2, … } est de type binomial.

• La suite des factorielles décroissantes est définie par

$$(x)_{n}=x(x-1)(x-2)\cdot \cdots \cdot (x-n+1).$$ De même les factorielles croissantes $$x^{(n)}=x(x+1)(x+2)\cdot \cdots \cdot (x+n-1)$$

• Les polynômes d'Abel$$p_{n}(x)=x(x-an)^{n-1}$$
• Les polynômes de Touchard$$p_{n}(x)=\sum _{k=1}^{n}S(n,k)x^{k}$$

Caractérisation par les opérateurs delta

On peut montrer qu'une suite polynomiale {p_n(x) : n = 0, 1, 2, … } est de type binomial si et seulement si les trois conditions suivantes sont remplies :

• La transformation linéaire sur l'espace des polynômes en x est caractérisée par$$p_{n}(x)\mapsto np_{n-1}(x)$$
• p₀(x) = 1 pour tout x, et
• p_n(0) = 0 pour n > 0.

(la propriété d'équivariance par décalage de cet opérateur revient à dire que la suite polynomiale est une suite de Sheffer ; l'ensemble des suites de type binomial est proprement inclus dans l'ensemble des suites de Sheffer).

Opérateurs delta

Cette transformation linéaire est clairement un opérateur delta, c'est-à-dire une transformation linéaire équivariante de décalage sur l'espace des polynômes en x qui réduit les degrés des polynômes de 1. Les exemples les plus évidents d'opérateurs delta sont les opérateurs de différence et la différenciation. On peut montrer que chaque opérateur delta peut être écrit comme une série de puissance de la forme

$Q=\sum _{n=1}^{\infty }c_{n}D^{n}$

où D est la différenciation (on note que la borne inférieure de la sommation est 1). Chaque opérateur delta Q a une suite unique de "polynômes de base", c'est-à-dire une suite de polynômes satisfaisant

1. $p_{0}(x)=1,$
2. $p_{n}(0)=0\quad {\rm {pour\ }}n\geq 1,{\rm {\ et}}$
3. $Qp_{n}(x)=np_{n-1}(x).$

Il a été montré en 1973 par Rota, Kahaner et Odlyzko qu'une suite polynomiale est de type binomial si et seulement si c'est la suite de polynômes de base d'un opérateur delta. Ce paragraphe revient donc à une méthode pour générer autant de suites polynomiales de type binomial que l'on souhaite.

Caractérisation par polynômes de Bell

Pour toute suite a₁, a₂, a₃, … de scalaires, soit

$p_{n}(x)=\sum _{k=1}^{n}B_{n,k}(a_{1},\dots ,a_{n-k+1})x^{k}$

où B_{n, k} (a₁, …, a_{n − k +1}) est le polynôme de Bell. Alors cette suite polynomiale est de type binomial. On remarque que pour chaque n ≥ 1,

$p_{n}'(0)=a_{n}.$

Voici le résultat principal de cette section :

Théorème — Toutes les suites polynomiales de type binomial sont de cette forme.

Un résultat dans Mullin et Rota, répété dans Rota, Kahaner et Odlyzko indique que chaque suite polynomiale {p_n(X)}_n de type binomial est déterminé par la suite {p_n′(0)}_n, mais ces sources ne mentionnent pas les polynômes de Bell.

Cette suite de scalaires est également liée à l'opérateur delta. Soit

$P(t)=\sum _{n=1}^{\infty }{a_{n} \over n!}t^{n}.$

Alors

$P^{-1}\left({\mathrm {d} \over \mathrm {d} x}\right)$

est l'opérateur delta de cette suite.

Caractérisation par une identité de convolution

Pour les suites a_n, b_n, n = 0, 1, 2, …, on définit une méthode de convolution par

$(a{\mathbin {\diamondsuit }}b)_{n}=\sum _{j=0}^{n}{n \choose j}a_{j}b_{n-j}.$

Soit $a_{n}^{k\diamondsuit }$ le n^e terme de la suite

$\underbrace {a\mathbin {\diamondsuit } \cdots \mathbin {\diamondsuit } a} _{k{\text{ facteurs}}}.$

Alors pour toute suite a_i, i = 0, 1, 2, ..., avec a₀ = 0, la suite définie par p₀(x) = 1 et

$p_{n}(x)=\sum _{k=1}^{n}{a_{n}^{k\diamondsuit }x^{k} \over k!}\,$

pour n ≥ 1, est de type binomial, et toute suite de type binomial est de cette forme.

Caractérisation par fonctions génératrices

Les suites polynomiales de type binomial sont précisément celles dont les fonctions génératrices sont des séries de puissances formelles (pas nécessairement convergentes) de la forme

$\sum _{n=0}^{\infty }{p_{n}(x) \over n!}t^{n}=\mathrm {e} ^{xf(t)}$

où f(t) est une série formelle de puissances dont le terme constant est nul et dont le terme du premier degré n'est pas nul. Cela peut être démontré par l'utilisation de la version en série de puissance de la formule de Faà di Bruno qui

$f(t)=\sum _{n=1}^{\infty }{p_{n}'(0) \over n!}t^{n}.$

L'opérateur delta de la suite est f ^{− 1}(D), de sorte que

$f^{-1}(D)p_{n}(x)=np_{n-1}(x).$

Une manière de penser ces fonctions génératrices

Les coefficients du produit de deux séries formelles de puissance

$\sum _{n=0}^{\infty }{a_{n} \over n!}t^{n}$

et

$\sum _{n=0}^{\infty }{b_{n} \over n!}t^{n}$

sont

$c_{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}a_{k}b_{n-k}$

(voir aussi produit de Cauchy). Si on considère x comme un paramètre indiçant une famille de telles séries de puissance, alors l'identité binomiale dit en effet que la série de puissance indicée par x + y est le produit de celles indicées par x et par y. Ainsi, le x est l'argument d'une fonction qui projette des sommes sur des produits : une fonction exponentielle

$g(t)^{x}=\mathrm {e} ^{xf(t)}$

où f (t) a la forme donnée ci-dessus.

Composition ombrale de suites polynomiales

L'ensemble de toutes les suites polynomiales de type binomial est un groupe dans lequel l'opération de groupe est la "composition ombrale" de suites polynomiales. Cette opération est définie comme suit. Supposons que {p_n(X) : n = 0, 1, 2, 3, ... } et {q_n(X) : n = 0, 1, 2, 3, ... } sont des suites de polynômes, et

$p_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}a_{n,k}\,x^{k}.$

Alors la composition ombrale p o q est la suite polynomiale dont le n ième terme est

$(p_{n}\circ q)(x)=\sum _{k=0}^{n}a_{n,k}\,q_{k}(x)$

(l'indice n apparaît dans p_n, puisqu'il s'agit du terme n de cette suite, mais pas dans q, puisque cela fait référence à la suite dans son ensemble plutôt qu'à l'un de ses termes).

Avec l'opérateur delta défini par une série de puissance dans D comme ci-dessus, la bijection naturelle entre les opérateurs delta et les suites polynomiales de type binomial, également définies ci-dessus, est un isomorphisme de groupe, dans lequel l'opération de groupe sur la série de puissance est la composition formelle de la puissance formelle série.

Cumulants et moments

La suite κ_n de coefficients des termes du premier degré dans une suite polynomiale de type binomial peut être appelée les cumulants de la suite polynomiale. On peut montrer que toute la suite polynomiale de type binomial est déterminée par ses cumulants. Ainsi

$p_{n}'(0)=\kappa _{n}=$ le n^e cumulant

et

$p_{n}(1)=\mu _{n}'=$ le n^e instant.

Ce sont des cumulants « formels » et des moments « formels », par opposition aux cumulants d'une distribution de probabilité et aux moments d'une distribution de probabilité.

Soit

$f(t)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\kappa _{n}}{n!}}t^{n}$

être la fonction (formelle) génératrice des cumulants. Alors

$f^{-1}(D)$

est l'opérateur delta associé à la suite polynomiale, c'est-à-dire qu'on a

$f^{-1}(D)p_{n}(x)=np_{n-1}(x).$

Applications

Le concept de type binomial a des applications en combinatoire, en probabilité, en statistique et dans une variété d'autres domaines.

Articles connexes

• Filtre à ondelettes de Daubechies

Références

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Binomial type » (voir la liste des auteurs).
• Gian-Carlo Rota, D. Kahaner et Andrew Odlyzko, « Finite Operator Calculus, », Journal of Mathematical Analysis and its Applications, vol. 42, n^o 3,‎ juin 1973. Réimprimé dans le livre du même titre, Academic Press, New York, 1975.
• R. Mullin et Gian-Carlo Rota, Graph Theory and Its Applications : On the Foundations of Combinatorial Theory III: Theory of Binomial Enumeration, New York, Bernard Harris, 1970.

Comme le titre l'indique, la seconde de ce qui précède concerne explicitement les applications à l'énumération combinatoire.

• Alessandro di Bucchianico, Probabilistic and Analytical Aspects of the Umbral Calculus, Amsterdam, CWI, 1997.
• (en) Eric W. Weisstein, « Binomial-Type Sequence », sur MathWorld