Tore d'application
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En mathématiques et plus particulièrement en topologie, le tore d'application, dit aussi mapping torus ou encore tore de suspension, d'un homéomorphisme d'un espace topologique est l'espace produit quotienté par la relation d'équivalence .
![{\displaystyle \scriptstyle X\times [0,1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d7923be576ab642b3294e3c357b857568278f95e)
Propriétés
modifier- Le tore d'un homéomorphisme de X est l'espace total d'un fibré sur S1, de fibre X.
- Les tores de deux homéomorphismes f et g de X sont homéomorphes (et même isomorphes, en tant que fibrés) dès que f et g sont conjugués ou isotopes (dans le groupe topologique des homéomorphismes de X, muni de la topologie compacte-ouverte), ou plus synthétiquement : dès qu'il existe un chemin continu (ht)t∈[0,1] d'homéomorphismes de X tel que h1∘f = g∘h0.
- Le tore d'un homéomorphisme f de X est l'espace des orbites de l'action de ℤ sur X×ℝ donnée par n∙(x, y) = (f n(x), y + n).
Exemples
modifier- Le tore de l'application identité de est le fibré trivial.
- Si , le tore de est le tore T2 ou la bouteille de Klein, selon que conserve ou renverse l'orientation.
- Le ruban de Möbius est le tore de l'homéomorphisme .
![{\displaystyle \scriptstyle [-1,1]\to [-1,1],x\mapsto -x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/15dcd8c6e340fd89e2d12cd0c9ca21bb08e35be1)
Références
modifier- (en) William Thurston, « On the geometry and dynamics of diffeomorphisms of surfaces », Bull. Amer. Math. Soc., vol. 19, , p. 417–431
- François Gautero, Quatre problèmes géométriques, dynamiques ou algébriques autour de la suspension, Habilitation à diriger des recherches, 2006
