Théorie modèle-complète

En théorie des modèles, une théorie $T$ est dite modèle-complète si tout plongement entre modèle de $T$ est élémentaire. Cela équivaut à ce que toute formule soit équivalente à une formule universelle, c'est à dire que pour toute formule $\phi (x_{1},...,x_{n})$, il existe une formule $\psi (x_{1},...,x_{n},y_{1},...,y_{k})$ sans quantificateur, telle que

$T\vDash \forall x_{1}...\forall x_{n}(\phi (x_{1},...,x_{n})\iff \forall y_{1}...\forall y_{k}\psi (x_{1},...,x_{n},y_{1},...,y_{k}))$

Cette notion a été introduite par Abraham Robinson.

Théories modèles-compagnes

Une théorie compagnon d'une théorie T est une théorie T* telle que tout modèle de T se plonge dans un modèle de T*, et réciproquement.

Une théorie modèle-compagne d'une théorie T est une théorie compagnon modèle-complète. Robinson a prouvé qu’une théorie possède au plus une théorie modèle-compagne. Cependant, toutes les théories n'en admettent pas, comme par exemple la théorie des groupes. On dispose néanmoins du critère suivant : si T est $\aleph _{0}$-catégorique (en) (ses modèles dénombrables sont isomorphes), alors elle possède une théorie modèle-compagne.

Une modèle-complétion d'une théorie T est une théorie modèle-compagne T * tel que pour tout modèle M de T, la théorie de T * augmentée du diagramme de M soient complets. Grossièrement, cela signifie que tout modèle de T peut être plongé dans un modèle de T * d'une unique façon.

Si T * est une théorie modèle-compagnion de T, alors les conditions suivantes sont équivalentes :

• T * est une modèle-complétion de T
• T a la propriété d'amalgamation (en) .

Si T possède également une axiomatisation universelle, les deux propositions ci-dessus sont équivalentes à :

• T * élimine les quantificateurs

Exemples

• Une théorie qui élimine les quantificateurs est modèle-complète. La réciproque n'est pas vraie : un contre-exemple est donné par la théorie des corps réels clos dans le langage des anneaux, sans symbole pour l'ordre.
• La théorie des corps algébriquement clos est la modèle-complétion de la théorie des corps. Elle est modèle-complète, mais pas complète.
• La modèle-complétion de la théorie des relations d'équivalence est la théorie des relations d'équivalence avec une infinité de classes d'équivalence, chaque classe étant infinie.
• La théorie des corps réels clos, dans le langage des anneaux ordonnés, est une modèle-complétion de la théorie des corps ordonnés.

Contre-exemples

• La théorie des ordres linéaires denses avec extrémités est complète mais pas modèle-complète.
• La théorie des groupes (dans un langage avec des symboles pour l'unité, le produit et l'inverse) a la propriété d'amalgamation mais n'a pas de théorie modèle-compagnon.

Bibliographie

• Chen Chung Chang et H. Jerome Keisler, Model Theory, 3rd, coll. « Dover Books on Mathematics », 2012 (1^re éd. 1990), 672 p. (ISBN 978-0-486-48821-9)

• Joram Hirschfeld et William H. Wheeler, Forcing, Arithmetic, Division Rings, vol. 454, Springer, coll. « Lecture Notes in Mathematics », 1975, 44–54 p. (ISBN 978-3-540-07157-0, DOI 10.1007/BFb0064085, MR 0389581), « Model-completions and model-companions »

• David Marker, Model Theory: An Introduction, New York, Springer-Verlag, coll. « Graduate Texts in Mathematics 217 », 2002 (ISBN 0-387-98760-6)

• Daniel Lascar, La théorie des modèles en peu de maux [détail des éditions]

• Saracino, « Model Companions for ℵ₀-Categorical Theories », Proceedings of the American Mathematical Society, vol. 39, n^o 3,‎ août 1973, p. 591–598

• Simmons, « Large and Small Existentially Closed Structures », Journal of Symbolic Logic, vol. 41, n^o 2,‎ 1976, p. 379–390