Théorème fondamental des fonctions symétriques

En mathématiques, et plus particulièrement en algèbre commutative, le théorème fondamental des fonctions symétriques, souvent appelé « théorème fondamental des polynômes symétriques » ou « théorème de Newton », stipule que tout polynôme symétrique en n indéterminées à coefficients dans un anneau (commutatif) A s'exprime de façon unique par une fonction polynomiale des n polynômes symétriques élémentaires. Autrement dit, les n polynômes symétriques élémentaires forment une partie génératrice de l'algèbre des polynômes symétriques en n indéterminées sur A et sont algébriquement indépendants sur A.

Définitions et remarques préliminaires

• Soit A un anneau, et B = A[X₁, …, X_n] l'algèbre des polynômes en n indéterminées à coefficients dans A. On dénote par S_n le groupe des permutations de 1, 2, …, n. Si P(X₁, …, X_n) est un élément de B, et σ un élément de S_n, on note P^σ le polynôme P(X_σ(1), …, X_σ(n)). Un polynôme de B est dit symétrique s'il est invariant sous l'action de S_n, c'est-à-dire s'il reste identique à lui-même lorsqu'on permute entre elles de n'importe quelle façon les variables qui le composent.
• Cette action de S_n sur B respecte la structure de A-algèbre de B (lemme 2, section « Démonstrations du théorème »), si bien que les polynômes symétriques forment une sous-algèbre. En d'autres termes, la somme et le produit de polynômes symétriques, et le produit d'un polynôme symétrique par un élément de A, sont symétriques.
• De même, si K est un corps, une fraction rationnelle à n variables est dite symétrique si elle est invariante sous l'action du groupe S_n (celle-ci étant définie comme pour les polynômes), et les fractions rationnelles symétriques forment un sous-corps du corps des fractions rationnelles en n indéterminées sur K.
• Les polynômes symétriques élémentaires s_n,k, pour n et k entiers naturels, sont les polynômes symétriques en n indéterminées définis par$s_{n,k}(X_{1},\ldots ,X_{n})=\sum _{1\leq j_{1}<j_{2}<\ldots <j_{k}\leq n}X_{j_{1}}\dotsm X_{j_{k}}$,ou encore par$(X-X_{1})(X-X_{2})\dotsm (X-X_{n})=\sum _{k\in \mathbb {N} }(-1)^{k}X^{n-k}s_{n,k}(X_{1},\dots ,X_{n})$.On ne s'intéresse qu'aux s_n,k pour 1 ≤ k ≤ n, car s_n,k est nul si k > n, et est constant (égal à 1) si k = 0.

Le théorème fondamental des fonctions symétriques

Théorème : Soit A un anneau commutatif. Si P est un polynôme symétrique en n indéterminées à coefficients dans A, alors il existe un unique polynôme T, à coefficients dans A, tel que

P(X₁, …, X_n) = T(s_n,1, …, s_n,n),

les s_n,i étant les polynômes symétriques élémentaires en les indéterminées X₁, …, X_n.

Le corollaire suivant justifie l'appellation usuelle du théorème :

Si f est une fraction rationnelle symétrique en n indéterminées sur un corps K, alors il existe une unique fraction rationnelle Φ sur K telle que

f(X₁, …, X_n) = Φ(s_n,1, …, s_n,n).

En effet, toute fraction rationnelle symétrique est un quotient de deux polynômes symétriques.

Remarque

L'unicité de la représentation est équivalente au fait qu'il n'existe pas de polynôme T non nul vérifiant T(s_n,1, …, s_n,n) = 0. Si l'anneau A est un corps, cela signifie, dans le langage de la théorie des corps, que les polynômes symétriques élémentaires sont algébriquement indépendants. Ils forment donc une base de transcendance des fractions rationnelles symétriques en n indéterminées sur K.

Démonstrations du théorème

Il existe beaucoup de démonstrations du théorème des fonctions symétriques. Les plus courtes se servent de l'ordre lexicographique sur les monômes unitaires, puis d'une astuce pour abaisser le « degré lexicographique » d'un polynôme symétrique, ce qui fournit l'étape nécessaire à une démonstration par induction sur ce bon ordre. L'idée de cet algorithme remonte à Edward Waring en 1700. La démonstration a été formalisée par Gauss en 1815 et « c'est la même qu'on trouve dans les manuels modernes ».

Démonstration par induction utilisant l'ordre lexicographique

L'ensemble des multi-degrés (α₁, …, α_n) des monômes unitaires X₁^α₁…X_n^α_n est égal à Nⁿ, qu'on peut ordonner par l'ordre lexicographique : par définition,

X₁^α₁…X_n^α_n > X₁^β₁…X_n^β_n

si, arrivé au premier i tel que α_i ≠ β_i, on a α_i > β_i.

Existence

Soient P un polynôme symétrique non nul et X₁^α₁…X_n^α_n son monôme unitaire maximum. Supposons inductivement que tout polynôme symétrique non nul de monôme unitaire maximum strictement inférieur à celui de P soit exprimable en fonction polynomiale des polynômes symétriques élémentaires, et montrons qu'il en est de même pour P.

Puisque P est symétrique, il contient, affectés d'un même coefficient non nul a ∈ A, tous les monômes obtenus en permutant les exposants dans le monôme X₁^α₁…X_n^α_n. Par maximalité de ce dernier, on a donc α₁ ≥ α₂ ≥ … ≥ α_n.

Posons t_i = α_i – α_i+1 pour 1 ≤ i < n, et t_n = α_n. Les t_i sont donc tous positifs ou nuls. Considérons le polynôme symétriqueQ = a s_n,1^t₁ s_n,2^t₂ … s_n,n^t_n.Son monôme unitaire maximum est le même que celui de P :X₁^t₁ (X₁X₂)^t₂ (X₁X₂X₃)^t₃ … (X₁…X_n)^t_n = X₁^α₁ X₂^α₂ … X_n^α_ndonc le polynôme symétrique P – Q est nul ou a un monôme unitaire maximum strictement inférieur à celui de P. Par hypothèse d'induction, il existe donc un polynôme W tel que P – Q = W(s_n,1, …, s_n,n). Par suite,P = P – Q + Q = T(s_n,1, …, s_n,n),    où    T(S₁, …, S_n) = W(S₁, …, S_n) + a S₁^t₁ S₂^t₂ … S_n^t_n.

Unicité

Soit T(S₁, …, S_n) un polynôme non nul. Considérons dans T le monôme a S₁^t₁ S₂^t₂ … S_n^t_n pour lequel le monôme unitaire X₁^{t₁+t₂+…+t_n} X₂^t₂+…+t_n … X_n^t_n est maximum pour l'ordre lexicographique ci-dessus. Alors, ce monôme unitaire est le plus grand qui apparaît (affecté du coefficient a ≠ 0) dans le polynôme P = T(s_n,1, …, s_n,n), donc ce polynôme P est non nul.

Remarque^{[réf. souhaitée]}

Cette preuve montre de plus que le degré total de T est au plus égal au maximum des degrés de P en chaque variable.

La démonstration suivante, à peine plus longue, peut sembler plus naturelle, et fournit des instruments théoriques qui préludent à la théorie de Galois.

Avec les notations précisées dans la section « Définition et remarques préliminaires », elle repose sur trois lemmes :

Lemme 1 — Si A' est un anneau contenant A comme sous-anneau et (a₁, …, a _n) un n-uplet d'éléments de A', alors l'application d'évaluation,

φ : B → A',  P(X₁, …, X_n) ↦ P(a₁, …, a_n),

est un morphisme d'anneaux et même de A-algèbres, appelé « morphisme de substitution ».

C'est un cas particulier de la propriété universelle des anneaux de polynômes.

Lemme 2 — Soit σ une permutation de S_n. Alors l'application  ( )^σ : B → B,  P ↦ P^σ  est un automorphisme de B.

Puisque A est un sous anneau de B, c'est une simple application du lemme 1, avec (a₁, …, a_n) = (X_σ(1), …, X_σ(n)). L'application inverse de ( )^σ est évidemment ( )^σ−1.

Lemme 3 — Si i est différent de j₁, j₂, …, j_k et si X_i divise le produit d'un polynôme P de B par le monôme X_j1…X_jk, alors X_i divise P.

C'est encore une simple application du lemme 1, avec (a₁, …, a_n) = (X₁, …, X_i–1, 0, X_i+1, …, X_n).

Démonstration par récurrence sur le nombre d'indéterminées et sur le degré total

Pour faire jouer la récurrence, on a besoin d'affiner l'énoncé du théorème, en précisant que dans celui-ci, le polynôme T(S₁, …, S_n) tel que P(X₁, …, X_n) = T(s_n,1, …, s_n,n) est de « poids » inférieur ou égal au degré total de P, le « poids » d'un polynôme étant défini à partir de celui des monômes de la même façon que le degré total, mais en pondérant par les indices des indéterminées : le poids du monôme S₁^t₁…S_n^t_n est par définition t₁ + 2t₂ + … + nt_n.

Le théorème (dans sa version précisée) est évident dans le cas des polynômes en 0 indéterminée et dans celui des polynômes en n indéterminées de degré total inférieur ou égal à 0 (dans les deux cas, ce sont les polynômes constants). Supposons donc le théorème vérifié inductivement pour tout polynôme en n – 1 indéterminées et pour tout polynôme en n indéterminées de degré total strictement inférieur à m (n, m ∈ N*), et considérons dans B un polynôme symétrique P, de degré total égal à m.

Soit A' = A[X₁, …, X_n–1], et φ : B → A' le morphisme de substitution (cf. lemme 1) qui fixe X₁, …, X_n–1 et envoie X_n sur 0.

Puisque φ(P) est symétrique et de degré total inférieur ou égal à m, il existe (par hypothèse de récurrence) un polynôme V(S₁, …, S_n–1) de poids inférieur ou égal à m tel que (dans A' )

φ(P) = V(s_n–1,1, …, s_n–1,n–1).

Posons (dans B)

P ' = V(s_n,1, …, s_n,n–1).

Alors, φ(P ' ) = φ(P) — puisque le morphisme φ envoie s_n,i sur s_n–1,i pour tout i < n — et le degré total de P '  est inférieur ou égal au poids de V donc à m.

Le polynôme P ' est symétrique et vérifie φ(P – P ' ) = 0, c.-à-d. que le polynôme P – P '  est symétrique et multiple de X_n, donc multiple de X_i pour tout i, et par conséquent multiple de X₁…X_n = s_n,n (lemme 3). On peut donc écrire

P – P ' = Q s_n,n,

où Q est un élément de B, symétrique et de degré total inférieur ou égal à m – n < m. L'hypothèse de récurrence implique alors qu'il existe un unique polynôme W tel que Q = W(s_n,1, …, s_n,n), et que ce polynôme W est de poids inférieur ou égal à m – n. Ainsi,

P = P ' + Q s_n,n = T(s_n,1, …, s_n,n),     où     T = V + W X_n, de poids inférieur ou égal à m,

ce qui montre l'existence de la représentation souhaitée.

Si T '  est un autre polynôme tel que T ' (s_n,1, …, s_n,n) = P, alors (T ' – V) / X_n = W, puisque la représentation par W de Q = (P – P ' ) / s_n,n est unique (hypothèse de récurrence). Donc T ' = V + WX_n = T, et l'unicité de la représentation est assurée.

On peut aussi utiliser la théorie de Galois pour démontrer directement la partie « existence » du corollaire du théorème, c'est-à-dire montrer que toute fraction rationnelle symétrique sur un corps K est une fonction rationnelle des polynômes symétriques élémentaires.

Démonstration de la partie « existence » du corollaire par la théorie de Galois

Considérons la suite d'extensions C ⊂ M ⊂ L, où L = K(X₁, …, X_n), M = L^S_n (le sous-corps des fractions rationnelles symétriques) et C = K(s_n,1, …, s_n,n). Il s'agit de démontrer que l'inclusion de C dans M est en fait une égalité.

L'extension L/C est finie et galoisienne car L est un corps de décomposition du polynôme séparable P(X) = (X – X₁)…(X – X_n), dont les coefficients (–1)ⁱs_n,i appartiennent à C.

Le sous-groupe Gal(L/M) est égal au groupe Gal(L/C) tout entier, car tout C-automorphisme de L fixe les coefficients de P, donc permute ses racines X₁, …, X_n, donc est égal à un ( )^σ (lemme 2 étendu aux fractions), qui fixe tous les éléments de M par définition.

D'après le théorème fondamental de la théorie de Galois, on a donc : M ⊂ L^Gal(L/M) = L^Gal(L/C) = C.

On en déduit alors la partie « existence » du théorème (tout polynôme symétrique sur A est une fonction polynomiale des polynômes symétriques élémentaires) pour A = Z puis, par généricité, pour tout anneau commutatif A.

La partie « existence » du théorème se déduit de celle du corollaire

Il s'agit de démontrer que l'anneau A[X₁, …, X_n]^S_n, qui est entier sur le sous-anneau A[s_n,1, …, s_n,n], lui est en fait égal.

• Supposons d'abord A = Z. On sait alors (partie « existence » du corollaire) que ces deux anneaux ont même corps des fractions, puisque Q(X₁, …, X_n)^S_n = Q(s_n,1, …, s_n,n). On conclut en utilisant que le sous-anneau Z[s_n,1, …, s_n,n] est intégralement clos (car — en admettant la partie « unicité » du théorème — c'est un anneau de polynômes à coefficients dans Z).
• Soit maintenant A un anneau commutatif quelconque. Tout élément P de A[X₁, …, X_n]^S_n est combinaison linéaire (à coefficients dans A) de polynômes symétriques à coefficients égaux à 1 (sommes de tous les monômes d'une orbite sous S_n). Ces derniers étant eux-mêmes (d'après le premier point) combinaisons linéaires des s_n,i, P l'est aussi.

Procédures de calcul

Avant d'appliquer toute procédure de calcul, puis éventuellement à chaque étape, il est parfois préférable, pour alléger les calculs, de séparer le polynôme symétrique P en somme de polynômes égaux aux orbites des monômes a X₁^α₁ … X_n^α_n apparaissant dans P sous l'action de S_n. L'expression de P en termes des polynômes symétriques élémentaires sera alors la somme des expressions des polynômes orbites respectifs.

Il existe ensuite différentes méthodes pour le calcul effectif de l'expression du polynôme T apparaissant dans le théorème fondamental ci-dessus. On peut par exemple baser une procédure récursive de calcul de T sur l'une des deux démonstrations précédentes :

• utilisation de l'ordre lexicographique :
  • on repère dans P le monôme a X₁^α₁ … X_n^α_n pour lequel (α₁, …, α_n) est maximum,
  • on pose t_i = α_i – α_i+1 pour 1 ≤ i < n, et t_n = α_n,
  • on forme le polynôme symétrique Q = a s_n,1^t₁ … s_n,n^t_n,
  • l'expression de P – Q par les polynômes symétriques élémentaires est donnée par la procédure récursive : P – Q = W(s_n,1, …, s_n,n),
  • l'expression de P par les polynômes symétriques élémentaires s'ensuit : T = W + a S₁^t₁ … S_n^t_n ;
• double récurrence, sur le nombre de variables et le degré :
  • on forme le polynôme symétrique φ(P) à partir du polynôme P en annihilant les monômes multiples de X_n dans P,
  • le polynôme V, qui exprime φ(P) au moyen des polynômes symétriques élémentaires s_n–1,i est donné par la procédure récursive :φ(P) = V(s_n–1,1, …, s_n–1,n–1),
  • le polynôme P – V(s_n,1, …, s_n,n–1) est divisible par s_n,n, et son quotient Q par s_n,n est symétrique,
  • l'expression de Q par les polynômes symétriques élémentaires est donnée par la procédure récursive : Q = W(s_n,1, …, s_n,n),
  • l'expression de P par les polynômes symétriques élémentaires s'ensuit : T = V + W S_n.

Exemple

On se propose d'illustrer les deux procédures précédentes en déterminant la représentation en termes des polynômes symétriques élémentaires de la troisième somme de Newton en trois variables, constituée d'une seule orbite :

P = p₃(X₁, X₂, X₃) = X₁³ + X₂³ + X₃³.

• Utilisation de l'ordre lexicographique :
  • (α₁, α₂ , α₃) = (3, 0, 0) donc (t₁, t₂ , t₃) = (3, 0, 0) et Q = s_3,1³, que l'on retranche de P :P₀ := P – s_3,1³ = –6X₁X₂X₃ – 3(X₁²X₂ + X₁²X₃ + X₂²X₃) ;
  • on cherche la représentation du polynôme P₀ :
    • (α'₁, α'₂ , α'₃) = (2, 1, 0) donc (t'₁, t'₂ , t'₃) = (1, 1, 0) et Q₀ = –3s_3,1s_3,2, que l'on retranche de P₀ :
    • P₀ – Q₀ = 3X₁X₂X₃, dont la représentation est immédiate : P₀ – Q₀ = 3s_3,3 ,
    • doncP₀ = 3s_3,3 – 3s_3,1s_3,2 ;
  • doncP = 3s_3,3 – 3s_3,1s_3,2 + s_3,1³.
• Double récurrence, sur le nombre de variables et le degré :
  • On élimine les monômes contenant la variable X₃ dans P et l'on détermine la représentation du polynômeP₁ := X₁³ + X₂³ :
    • on élimine les monômes multiples de la variable X₂ dans P₁, et l'on détermine la représentation du polynôme P₂ = X₁³. Cette représentation est immédiate : P₂ = s_1,1³ ;
    • on substitue s_2,1 à la place de s_1,1 dans P₂, ce qui donne s_2,1³ = (X₁ + X₂)³, et l'on retranche de P₁ ; le résultat doit être un multiple de s_2,2 : P₁ – s_2,1³ = –3X₁² X₂ – 3X₁X₂² = –3X₁X₂(X₁ + X₂) = –3s_2,2s_2,1 ;
    • doncP₁ = s_2,1³ – 3s_2,2s_2,1 ;
  • on substitue s_3,i à la place de s_2,i dans P₁, et l'on retranche de P ; le résultat doit être un multiple de s_3,3 : P – (s_3,1³ – 3s_3,2 s_3,1) = X₁³ + X₂³ + X₃³ – [(X₁ + X₂ + X₃)³ – 3(X₁X₂ + X₁X₃ + X₂X₃) (X₁ + X₂ + X₃)] = 3X₁X₂X₃ = 3s_3,3 ;
  • donc (comme précédemment)P = s_3,1³ – 3s_3,2s_3,1 + 3s_3,3.

Usage et applications du théorème fondamental des fonctions symétriques

Le but de cette section est d'illustrer, par un certain nombre d'applications et d'exemples, l'usage du théorème fondamental des fonctions symétriques. Il se trouve qu'il est principalement utilisé par l'intermédiaire d'un corollaire, qu'on invoque d'ailleurs souvent par le même nom. Ce corollaire ne fait que dire qu'une expression algébrique polynomiale à coefficients dans un anneau commutatif intègre A, mettant en jeu les racines d'un certain nombre de polynômes unitaires à coefficients dans A, et symétrique en chaque groupe de racines, appartient en fait à A. Il s'applique en particulier si A est un corps K (dans ce cas, tous les éléments algébriques sur K sont entiers sur K).

On rappelle que pour tout anneau commutatif A, un élément d'une A-algèbre est entier sur A s'il est racine d'un polynôme unitaire à coefficients dans A. Un tel élément α est racine d'une infinité de polynômes unitaires ; nous supposerons donc un tel polynôme P_α fixé pour chaque élément entier α.

Notons que si A est intègre, les coefficients du polynôme P_α sont (au signe près) les fonctions symétriques élémentaires des racines de P_α, dans une clôture algébrique du corps Fr(A) des fractions de A. En effet, P_α étant unitaire, on a

P_α = (X – α)(X – α' )(X – α" )…

où α, α', α" sont toutes les racines de P_α, et cette expression est l'image de (X – X₁)(X – X₂)(X – X₃)… par le morphisme de substitution (lemme 2 de la section précédente) qui envoie X₁, X₂, … sur α, α', ….

Corollaire — Soient A un anneau commutatif, B une A-algèbre commutative, et α_i^(j) (1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n_i) des éléments de B (non nécessairement distincts) tels que pour tout i, le polynôme P_i := (X – α_i⁽¹⁾)…(X – α_i^(n_i)) soit à coefficients dans A.

Si P est un polynôme de n₁n₂ … n_m variables

X₁, X'₁, …, X₁^(n₁), X₂, X'₂, …, X₂^(n₂), …, X_m, X'_m, …, X_m^(n_m) à coefficients dans A, et si P est symétrique intérieurement en chacun des groupes de variables X_i, X'_i, …, X_i^(n_i), alors l'élément E = P (α₁, α'₁, …, α₂, α'₂, …, α_m, α'_m, …)

appartient à A.

Démonstration

On raisonne par récurrence sur le nombre m de groupes de variables. Si m = 0, l'assertion est triviale. Supposons m > 0 et l'assertion vraie pour m – 1 variables et considérons le polynôme

Q(X, X', …, X^(n_m)) := P(α₁, …, α₁^(n₁), …, α_m–1, …, α_m–1^(n_m–1), X, X', …, X^(n_m)).

Il est symétrique et (par hypothèse de récurrence) à coefficients dans A. D'après le théorème des fonctions symétriques, il est donc égal à une expression polynomiale T(s₁, s₂, … ) à coefficients dans A des polynômes symétriques élémentaires s_i(X, X', … ). Comme les s_i(α_m⁽¹⁾, α_m⁽²⁾, … ) appartiennent à A (car ce sont, au signe près, les coefficients du polynôme P_m), on en déduit que E = Q(α_m, α_m', … ) appartient à A.

Note

L'anneau A peut être lui-même un anneau de polynômes en un certain nombre de variables « statiques » Y_k, par opposition aux « variables actives » X_i^(j).

Applications historiques du théorème fondamental des fonctions symétriques

Jusqu'à l'avènement de la théorie de Galois, le théorème des fonctions symétriques était le seul outil qui permettait de pénétrer dans la structure des équations algébriques. Il fut utilisé par la plupart des grands algébristes tel que Newton, Lagrange, Abel, Kummer ou Galois et même plus tard, il n'est pas jusqu'à Hilbert qui n'en ait usé. Le corollaire cité dans la section précédente autorise en effet une attitude active face aux problèmes ; plutôt que d'attendre que la solution s'impose d'elle même, on peut former a priori des expressions symétriques et en déduire les propriétés désirées.

Toute l'œuvre algébrique d'Abel est remplie de ces expressions « symétrisées », et c'est aussi par ce moyen que Galois a établi sa théorie, à travers le théorème de l'élément primitif. De nos jours, la théorie de Galois, établie de façon indépendante, a très largement supplanté l'usage du théorème des fonctions symétriques. Néanmoins, il possède quelques avantages sur la théorie de Galois qui en font encore un instrument utile : il est d'abord insensible à la nature de l'anneau des coefficients, qui peut même ne pas être intègre. La théorie de Galois, elle, ne s'applique (classiquement) que dans les corps. Mais même dans les corps, la théorie de Galois ne s'applique que pour les extensions séparables (il est vrai que la mécanique galoisienne a été étendue au-delà des extensions de corps galoisiennes. Néanmoins, dans de nombreuses circonstances, utiliser ces théories reviendrait à écraser une mouche avec un gros pavé). C'est dans ces cas que le théorème des fonctions symétriques reprend ses droits.

Aussi retrouve-t-on ce théorème çà et là dans l'algèbre commutative moderne. Citons par exemple la démonstration des théorèmes de « going up » et « going down » de Cohen-Seidenberg (en).

Exemples

Une partie des exemples suivants reprennent la démonstration de résultats bien connus. Ce genre de démonstrations ont généralement été abandonnées au profit de démonstrations plus théoriques (c'est une tendance constante des mathématiques modernes que celle de rechercher les concepts intrinsèques, plutôt que d'utiliser des arguments astucieux mais artificiels). Néanmoins, ces démonstrations « à l'ancienne » ont un certain charme, et illustrent le parti qu'on peut tirer du théorème fondamental des fonctions symétriques.

Exemple 1

Soient B une A-algèbre commutative et α, β₁, …, β_n ∈ B.

Si α est racine d'un polynôme unitaire à coefficients dans A[β₁, …, β_n] et si β₁, …, β_n sont entiers sur A, alors α est entier sur A.

Ainsi, en notant C la fermeture intégrale de A dans B, c.-à-d. l'ensemble des éléments de B entiers sur A :

• C est une sous-algèbre de B ;
• si α est entier sur C alors α ∈ C.

Démonstration : On se ramène sans peine par récurrence au cas n = 1 (on peut même supposer que chaque β_k n'est entier que sur A[β₁, …, β_k–1]).

Soient donc P ∈ A[X, Y], unitaire par rapport à X, tel que P(α, β) = 0, et Q ∈ A[Y], unitaire, tel que Q(β) = 0.

Écrivons Q sous la forme Q(a₁, …, a_m, Y) où a₁, …, a_m ∈ A et Q est le polynôme unitaire de degré m en Y universel :

Q = Y^m – S₁Y^m–1 + … + (–1)^mS_m ∈ Z[S₁, …, S_m, Y].

Le morphisme de substitution, de Z[S₁, …, S_m] dans Z[X₁, …, X_m], qui envoie (S₁, …, S_m) sur (s_m,1, …, s_m,m), étant injectif, on peut l'assimiler à une inclusion et considérer les S_k comme égaux aux polynômes symétriques élémentaires en les X_k. Via cette identification, on a :

Q = (Y – X₁)…(Y – X_m).

Notons R ∈ A[X, S₁, …, S_m] le produit des P(X, X_k), puis R ∈ A[X] le polynôme R(X, a₁, …, a_m), unitaire par construction.

Le produit des P(X, X_k) – P est à la fois de la forme Q U et de la forme R + P V, avec U, V ∈ A[X, Y, S₁, …, S_m]. Par substitution, on en déduit :

R(α) = Q(β) U(α, β, a₁, …, a_m) – P(α, β) V(α, β, a₁, …, a_m) = 0,

ce qui prouve que α est entier sur A.

Exemple 2

Tout corps de décomposition est une extension normale, c'est-à-dire que si K est un corps et L un corps de décomposition d'un polynôme à coefficients dans K alors, pour tout α ∈ L, le polynôme minimal sur K de α est scindé sur L.

Démonstration : Par hypothèse, L = K(β₁, …, β_n), où les β_i sont les racines d'un polynôme Q ∈ K[X].

Si α ∈ L, il existe donc une fraction rationnelle f telle que α = f(β₁, β₂, … ). Soit Π ∈ L[X] le produit de tous les monômes X – f(β_σ(1), β_σ(2), … ), le produit s'étendant à l'ensemble des permutations σ de S_n.

Le polynôme Π est symétrique en les β_i, donc ses coefficients appartiennent en fait à K. Comme Π(α) = 0, le polynôme minimal P de α sur K divise Π. Mais Π est scindé sur L par construction, donc P aussi.

Exemple 3

En utilisant le théorème des fonctions symétriques dans la construction de van der Waerden d'un élément primitif, on peut facilement démontrer que toute extension L d'un corps K engendré par une famille finie d'éléments séparables sur K admet un élément primitif séparable. Par ce moyen, on obtient facilement qu'une telle extension L/K est séparable (voyez « Construction de van der Waerden », démonstration et remarque).

Exemple 4

Quel est le polynôme minimal de √2 + 3⁵√7 ? Plus généralement, on peut se poser le problème de déterminer le polynôme minimal d'une fonction rationnelle quelconque d'éléments algébriques α₁, …, α_n sur un corps K, dont on connaît les polynômes minimaux P_αi (ou même seulement des polynômes annulateurs).

Lorsque les degrés des équations en jeu sont suffisamment petits pour permettre des calculs de tailles raisonnables, on peut envisager l'algorithme suivant, autrement beaucoup trop lourd. Il devient vite impraticable, même pour des degrés relativement faibles, mais a le mérite d'exister.

Soit α = f(α₁, …, α_n) l'élément dont on recherche le polynôme minimal. On forme le polynôme Π(X), en multipliant formellement de toutes les façons possibles les monômes X – f(α'₁, …, α'_n), où α'_i désigne un conjugué quelconque de α_i.

Puisque l'expression formelle obtenue est symétrique en chacun des groupes de conjugués, elle est fonction des fonctions symétriques élémentaires de ces conjugués, et peut être effectivement déterminée par un algorithme de décomposition en termes des fonctions symétriques élémentaires.

En remplaçant les fonctions symétriques des conjugués de α_i par le coefficient correspondant du polynôme minimal de α_i (affecté du signe convenable), on obtient un polynôme de K[X] qui s'annule nécessairement en α, et qu'on note encore Π.

Il s'agit ensuite de réduire Π en facteurs irréductibles sur K, ce qui nécessite un algorithme de factorisation.

Enfin, il faut déterminer lequel des facteurs irréductibles est le polynôme minimal de α ; dans le cas où K est un corps de nombres, cela peut se faire à l'aide d'approximations numériques des racines de Π.