Théorème de représentation de Skorokhod

En théorie des probabilités, le théorème de représentation de Skorokhod montre qu'une suite de variables aléatoires convergeant en loi peut toujours, en un certain sens, être représentée par une suite de variables aléatoires convergeant presque sûrement. Ce théorème porte le nom du mathématicien ukrainien A.V. Skorokhod.

Énoncé

Illustration du théorème de représentation de Skorokhod

Soit $(X_{n})_{n\geq 1}$ une suite de variables aléatoires à valeurs dans un espace topologique $S$ de Lusin. Supposons que $X_{n}$ converge en loi vers une variable aléatoire $X$ à valeurs dans $S$ quand $n\to +\infty$. Alors il existe un espace probabilisé $(\Omega ,{\mathcal {A}},\mathbb {P} )$ et des variables aléatoires $Y_{n}$, $Y$ définies sur cet espace probabilisé $(\Omega ,{\mathcal {A}},\mathbb {P} )$ telles que :

• pour chaque entier $n$, $Y_{n}$ et $X_{n}$ ont même loi ;
• les variables aléatoires $Y$ et $X$ ont même loi ;

• $Y_{n}$ converge $(\Omega ,{\mathcal {A}},\mathbb {P} )-$presque sûrement vers $Y$.

Démonstration dans le cas réel

Dans cette section, on suppose que $S$ est la droite réelle. On note $F_{n}$ la fonction de répartition de $X_{n}$, et on note $F$ la fonction de répartition de $X$, et on considère les réciproques généralisées de $F$ et $F_{n}$, définies, pour $\omega$ dans $]0,1[$, par

${\begin{aligned}Y(\omega )&=\inf \left\{x\in \mathbb {R} \ |\ F(x)\geq \omega \right\},\\{\textrm {et}}&\quad \\Y_{n}(\omega )&=\inf \left\{x\in \mathbb {R} \ |\ F_{n}(x)\geq \omega \right\}.\end{aligned}}$

De plus, on pose

$Z(\omega )=\inf \left\{x\in \mathbb {R} \ |\ F(x)>\omega \right\}\quad {\textrm {et}}\quad C\ =\ \left\{\omega \in ]0,1[\,|\,Y(\omega )<Z(\omega )\right\}.$

L'idée est que la convergence de $F_{n}$ vers $F$ entraîne la convergence des réciproques généralisées correspondantes :

Lemme — $C$ est au plus dénombrable.

Démonstration

En effet, si $\omega _{1}\in C,$ alors $F$ est constant sur l'intervalle $I(\omega _{1})\ =\ ]Y(\omega _{1}),\,Z(\omega _{1})[,\$ égal à $\omega _{1}$ sur $I(\omega _{1}).$ Si, de plus, $\omega _{2}\in C,$ et $\omega _{2}>\omega _{1},$ alors, par croissance de $F$, $Z(\omega _{1})\leq Y(\omega _{2}),$ de sorte que les intervalles $I(\omega _{1})$ et $I(\omega _{2})$ sont disjoints et non vides. Si on choisit arbitrairement un rationnel $r(\omega )$ dans chaque intervalle $I(\omega )$ non vide, on définit ainsi une application $r$ de $C$ dans $\mathbb {Q} ,$ strictement croissante : $r(\omega _{1})\ <\ r(\omega _{2}),$ donc injective. Ainsi $r$ établit une bijection entre $C$ et une partie de $\mathbb {Q} .$

Lemme — Pour $\omega \notin C,$

$\lim _{n}Y_{n}(\omega )\ =\ Y(\omega ).$

Démonstration

En effet, pour $\omega \notin C,$ on a

$\{Y(\omega )<z\}\Rightarrow \{\omega <F(z)\},$

puisque, pour tout $\omega \in ]0,1[,\$ on a $\{Z(\omega )<z\}\Rightarrow \{\omega <F(z)\}.$ On sait que l'ensemble $D$ des points de discontinuités de $F$ est au plus dénombrable et que, pour $x$ hors de $D$,

$\lim _{n}F_{n}(x)\ =\ F(x).$

Ainsi, pour tout $\varepsilon >0,$ on peut trouver $z\in D^{c}\cap ]Y(\omega ),Y(\omega )+\varepsilon [.\$ Pour ce choix de $z$ $\lim _{n}F_{n}(z)\ =\ F(z),$ donc, à partir d'un certain rang, $\{\omega <F_{n}(z)\},$ et, en conséquence, $\{Y_{n}(\omega )\leq z\}.$ On en déduit que pour tout $\varepsilon >0,$

$\limsup _{n}Y_{n}(\omega )\ <\ Y(\omega )+\varepsilon ,$

ce qui entraîne

$\limsup _{n}Y_{n}(\omega )\ \leq \ Y(\omega ).$

Par ailleurs, pour $\omega \in ]0,1[,$ on a $\{Y(\omega )>y\}\Rightarrow \{\omega >F(y)\}.$ Mais, pour tout $\varepsilon >0,\$ on peut trouver $y\in D^{c}\cap ]Y(\omega )-\varepsilon ,Y(\omega )[.$ Pour ce choix de $y$, $\lim _{n}F_{n}(y)\ =\ F(y),$ donc, à partir d'un certain rang, $\{\omega >F_{n}(y)\},$ et, en conséquence, $\{Y_{n}(\omega )\geq y\}.$ On en déduit que pour tout $\varepsilon >0,$

$\liminf _{n}Y_{n}(\omega )\ >\ Y(\omega )-\varepsilon ,$

ce qui entraîne

$\liminf _{n}Y_{n}(\omega )\ \geq \ Y(\omega ).\quad {\textrm {(CQFD)}}$

On conclut en remarquant, à l'aide du théorème de la réciproque, que $Y_{n}$ et $X_{n}$ ont même loi, mais aussi que $Y$ et $X$ ont même loi.

Voir aussi

• Convergence de variables aléatoires
• Théorème de la réciproque
• Espace de Lusin

Références

• (en) L. C. G. Rogers (en) et David Williams (en), Diffusions, Markov Processes, and Martingales, vol. 1 : Foundations, Cambridge, CUP, coll. « Cambridge Mathematical Library », 1^er mai 2000, 2^e éd., 406 p. (ISBN 0-521-77594-9 et 978-0521775946), chap. 6 (« Probability measures on Lusin spaces, section 86 : The Skorokhod representation of Cb(S) convergence on Pr(S) »), p. 215-216.
• (en) Patrick Billingsley (de), Convergence of Probability Measures, New York, John Wiley & Sons, Inc., 1999, 277 p. (ISBN 0-471-19745-9), p. 70.