Théorème de factorisation

En mathématiques, le théorème de factorisation est un principe général qui permet de construire un morphisme d'une structure quotient dans un autre espace à partir d'un morphisme de vers , de façon à factoriser ce dernier par la surjection canonique de passage au quotient.

Diagramme commutatif représentant les morphismes du théorème de factorisation
Diagramme commutatif représentant les morphismes du théorème de factorisation



Le cas des ensembles

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Soit   un ensemble muni d'une relation d'équivalence   et   la surjection canonique.

Théorème —  Soit   une application telle que (pour toute paire d'éléments x, x' dans X)

 .

Alors, il existe une unique application

 .

De plus :

  •   est injective si et seulement si, réciproquement,   (et donc si  ) ;
  •   est surjective si et seulement si   est surjective ;
  •   est bijective si   est surjective et si  .

(La réciproque est moins utile mais immédiate : pour toute application g : X/RY, la composée f = gs vérifie x R x'f(x) = f(x').)

Ce théorème peut se spécialiser à un certain nombre de structures algébriques ou topologiques.

Le cas des groupes

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Sur un groupe  , on considère la relation d'équivalence définie par un sous-groupe normal   de   :   si  . Alors, la surjection canonique   est un morphisme de groupes et le théorème de factorisation s'énonce

Théorème —  Soit   un morphisme de groupes. Si   est contenu dans le noyau de  , alors il existe un unique morphisme de groupes   tel que  . De plus :

  •   est surjectif si   est surjectif ;
  •   est injectif si on a   ;
  •   est un isomorphisme si   est surjectif et  .

Le cas des espaces vectoriels

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On considère un espace vectoriel   et la relation d'équivalence définie par un sous-espace vectoriel   :   si  . Alors, la surjection canonique   est linéaire.

Théorème —  Soit   une application linéaire. Si   est contenu dans le noyau de  , alors il existe une unique application linéaire   telle que  . De plus :

  •   est surjective si   est surjective ;
  •   est injective si on a   ;
  •   est un isomorphisme si   est surjective et  .

Le cas des anneaux

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On considère un anneau   et la relation d'équivalence définie par un idéal bilatère   de   :   si  . Alors, la surjection canonique   est un morphisme d'anneaux.

Théorème —  Soit   un morphisme d'anneaux. Si   est contenu dans le noyau de  , alors il existe un unique morphisme d'anneaux   tel que  . De plus :

  •   est surjectif si   est surjectif ;
  •   est injectif si on a   ;
  •   est un isomorphisme si   est surjectif et  .

Le cas des espaces topologiques

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Soit   un espace topologique muni d'une relation d'équivalence   et   la surjection canonique. On munit   de la topologie quotient. Soit   une application continue.

Théorème —  Si pour tout couple   dans  , on a  , alors il existe une unique application continue   telle que  . De plus :

  •   est surjective si   est surjective ;
  •   est injective si on a   équivalent à   ;
  •   est ouverte (resp. fermée) si   est ouverte (resp. fermée) ;
  •   est un homéomorphisme si   est surjective et ouverte ou fermée, et si  .

Références

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Article connexe

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Magma quotient