Théorème de Riemann-Roch

un résultat de géométrie algébrique

En mathématiques, le théorème de Riemann-Roch est un résultat d'analyse complexe et de géométrie algébrique.

Originellement, il répond au problème de la recherche de l'existence de fonctions méromorphes sur une surface de Riemann donnée, sous la contrainte de pôles de multiplicité imposée en certains points. Par exemple, sous sa forme faible, le théorème énonce que pour points donnés, l'espace (vectoriel) des fonctions méromorphes sur ayant au plus un pôle du premier ordre en ces points et holomorphes ailleurs est de dimension finie sur plus grande que , où est le genre de la surface.

Initialement prouvé par Riemann en 1857 sous le nom d'inégalité de Riemann, le théorème prend sa forme actuelle sur les surfaces de Riemann après les travaux de son étudiant, Gustav Roch en 1865. Il a ensuite été généralisé aux courbes algébriques, aux variétés de dimensions (en) supérieures et au-delà.

Notions préliminaires

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Une surface de Riemann   est un espace topologique qui est localement homéomorphe à un ouvert de  , l'ensemble des nombres complexes, et dont les applications de changement de cartes doivent être biholomorphes. Cette dernière condition permet de traduire les notions de fonction holomorphe et méromorphe de l'analyse complexe en la surface  . Dans le cadre du théorème de Riemann-Roch, la surface est toujours supposée compacte.

 
Exemple de surface de Riemann de genre 3.

Intuitivement, le genre d'une surface de Riemann est le nombre d'anses (ou de « trous », selon le point de vue). Plus précisément, le genre est défini comme la moitié du premier nombre de Betti, i.e. la moitié la  -dimension du premier groupe d'homologie,  . Le genre caractérise les surfaces de Riemann compactes à homéomorphisme près, c'est-à-dire que deux surfaces de ce type sont homéomorphes si et seulement s'ils ont même genre. Le genre est donc un invariant topologique important d'une surface de Riemann. D'autre part, la théorie de Hodge montre que le genre coïncide avec la  -dimension de l'espace des formes holomorphes sur  . Ainsi le genre fournit également des informations du point de vue de l'analyse complexe sur la surface de Riemann[1].

Un diviseur   est un élément du groupe abélien libre sur les points de la surface. De manière équivalente, un diviseur est une combinaison linéaire finie de points de la surface avec des coefficients entiers.

Pour chaque fonction méromorphe, on a un diviseur, noté  , défini comme :

 

  est l'ensemble des zéros et pôles de  , et   est donné par :

 

Comme   est compact et qu'une fonction holomorphe (non nulle) n'a pas de point d'accumulation, l'ensemble   est fini. Ainsi   est bien défini. Chaque diviseur de cette forme est appelé diviseur principal. Deux diviseurs sont appelés linéairement équivalents si leur différence est un diviseur principal. On définit de la même manière le diviseur d'une forme différentielle de degré un. Deux formes méromorphes de degré un quelconques seront linéairement équivalentes, de sorte que le diviseur canonique est déterminé de manière unique à l'équivalence linéaire près (d'où "le" diviseur canonique).

Le symbole   désigne le degré (parfois aussi appelé indice) du diviseur  , c'est-à-dire la somme des coefficients apparaissant dans  . On peut montrer que le diviseur d'une fonction méromorphe quelconque est toujours de degré 0, donc le degré d'un diviseur ne dépend que de sa classe d'équivalence linéaire.

Le nombre   est la quantité qui nous intéresse : la dimension (sur  ) de l'espace vectoriel des fonctions méromorphes   sur la surface, telles que tous les coefficients de   sont positifs ou nuls. Intuitivement, nous pouvons considérer qu'il s'agit de toutes les fonctions méromorphes dont les pôles en chaque point ne sont pas plus mauvais que le coefficient correspondant dans   ; si le coefficient dans   en   est négatif, alors nous exigeons que   ait un zéro d'au moins cette multiplicité en   - si le coefficient dans   est positif,   peut avoir un pôle d'au plus cet ordre. Les espaces vectoriels des diviseurs linéairement équivalents sont naturellement isomorphes par multiplication avec la fonction méromorphe globale (qui est bien définie à un scalaire près).

Énoncé

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Soit   une courbe algébrique projective non singulière sur un corps  . Pour tout point (fermé)   et pour toute fonction rationnelle   sur  , notons   l'ordre de   en   : c'est l'ordre du zéro de   en   si elle est régulière et s'annule en  ; il est nul si   est régulière et inversible en   ; et c'est l'opposé de l'ordre du pôle de   si   est un pôle de  . Soit   un diviseur sur   et soit   un diviseur canonique (c'est-à-dire associé à une forme différentielle). Si l'on appelle   la dimension du  -espace vectoriel formé des fonctions rationnelles sur   telles que   pour tout  , alors on a :

Théorème de Riemann-Roch — 
 

  est le genre de la courbe  , défini comme étant  . Ce théorème peut être interprété comme un calcul de caractéristique d'Euler-Poincaré pour cette situation[2]. Il en existe de nombreuses démonstrations et généralisations.

Applications

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Bibliographie

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  • Armand Borel et Jean-Pierre Serre, « Le théorème de Riemann-Roch », Bulletin de la Société Mathématique de France, vol. 86,‎ , p. 97-136 (DOI 10.24033/bsmf.1500, lire en ligne   [PDF], consulté le )

Notes et références

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  1. Griffith Harris, p. 116, 117
  2. Daniel Perrin, Géométrie algébrique. Une introduction [détail des éditions].

Articles connexes

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