Théorème de Liouville (approximation diophantienne)
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En mathématiques, et plus précisément en théorie des nombres, le théorème de Liouville, démontré par Joseph Liouville en 1844[1], concerne l'approximation diophantienne des nombres algébriques par les rationnels. Il montre que les nombres irrationnels algébriques sont « mal » approchés par les rationnels, au sens où les approximations rationnelles exigent des dénominateurs relativement grands. Il s'énonce comme suit :
Théorème[2] — Soit α un nombre réel algébrique de degré d > 1. Alors il existe une constante A > 0 telle que pour tout rationnel p/q (avec q > 0 et p entiers), on ait :
En 1844, Liouville en déduit les premiers nombres transcendants découverts, par exemple la somme des inverses des 10n! ; ces nombres sont connus désormais sous le nom de nombres de Liouville.
Notes et références
modifier- Joseph Liouville, « Sur des classes très-étendues de quantités dont la valeur n'est ni algébrique ni même réductible à des irrationnelles algébriques », J. Math. Pures Appl., 1re série, t. 16, , p. 133-142 (lire en ligne), reproduit et complète ses deux notes de mai 1844, « Communication orale », Compte rendu des séances de l'Académie des sciences, vol. 18, , p. 883-885 et 910-911.
- Pour une démonstration, voir par exemple (en) Daniel Duverney, Number Theory: An Elementary Introduction Through Diophantine Problem, World Scientific, (ISBN 978-9-81430746-8, lire en ligne), p. 139, ou .
