Théorème de Gelfond-Schneider

En mathématiques, le théorème de Gelfond-Schneider, démontré indépendamment et presque simultanément en 1934 par Aleksandr Gelfond et Theodor Schneider, s'énonce de la façon suivante :

Théorème — Si α est un nombre algébrique différent de 0 et de 1 et si β est un nombre algébrique irrationnel alors α^β est transcendant.

« Le » nombre α^β est à prendre ici au sens : exp(β log(α)), où log(α) est n'importe quelle détermination du logarithme complexe de α.

Le théorème de Gelfond-Schneider résout le septième problème de Hilbert et permet de construire de multiples exemples de nombres transcendants.

Exemples d'applications

L'application directe du théorème fournit des nombres transcendants comme 2^√2 (la constante de Gelfond-Schneider), √2^√2, ou encore e^πγ pour tout nombre réel algébrique non nul γ (en posant α = e^iπ = –1 et β = –iγ), par exemple e^π = (–1)^–i (la constante de Gelfond) ou e^–π/2 = iⁱ.

Mais par contraposée, on en déduit aussi :

Si β est un nombre irrationnel tel qu'il existe un nombre algébrique α différent de 0 et de 1 pour lequel α^β soit algébrique, alors β est transcendant.

Ainsi, l'irrationnel ln 3 / ln 2 est transcendant (en utilisant α = 2).

Voir aussi

Articles connexes

• Théorème d'Hermite-Lindemann
• Théorème de Baker
• Conjecture de Schanuel

Bibliographie

• Julien Haristoy et Édouard Oudet, « Autour du septième problème de Hilbert : une excursion en transcendance », L'Ouvert (revue de l'IREM de Strasbourg et de l'APMEP d'Alsace), vol. 107,‎ 2002, p. 39-54 (lire en ligne)
• (ru) R. Kuzĭmin, « Об одном новом классе трансцендентных чисел » [« Sur une nouvelle classe de nombres transcendants »], Izv. Akad. Nauk SSSR, ser. VII, n^o 6,‎ 1930, p. 585-597 (lire en ligne) (cas où β est un irrationnel quadratique)
• Michel Waldschmidt, « Initiation aux nombres transcendants », L'Enseignement mathématique, vol. 20,‎ 1974, p. 53-85 (lire en ligne)