Théorème de Cauchy (groupes)

En mathématiques, spécifiquement en théorie des groupes, le théorème de Cauchy, nommé en l'honneur du mathématicien Augustin Louis Cauchy, qui l'a découvert en 1845, est un théorème affirmant que si $G$ est un groupe fini dont l'ordre est divisé par un nombre premier p, alors $G$ contient un élément d'ordre $p$. C'est-à-dire qu'il existe un élément $x$ dans $G$ tel que $p$ est le plus petit entier positif satisfaisant $x^{p}=e$, où $e$ désigne l'élément neutre du groupe ; formellement : $\exists x\in G,\ p=\min(\{n\in \mathbb {N} \setminus \{0\}|x^{n}=e\})$.

Ce théorème forme partiellement une réciproque du théorème de Lagrange sur les groupes, qui affirme que l'ordre de tout élément d'un groupe fini divise forcément l'ordre du groupe, mais pour un diviseur donné de l'ordre du groupe, il n'y a pas nécessairement un élément du groupe ayant ce diviseur pour ordre, le théorème de Cauchy implique alors l'existence d'un tel élément quand le diviseur donné est premier.

Proposition et preuve

Théorème de Cauchy — Soit $G$ un groupe fini d'ordre $n$, et $p$ un nombre premier qui divise $n$. Alors il existe (au moins) un élément de $G$ d'ordre $p$

La démonstration de McKay est détaillée sur Wikiversité.

Démonstration

On fait agir le groupe $\mathbb {Z} /p{\mathbb {Z} }$ par permutation circulaire sur l'ensemble

$E={\big \{}(x_{1},\dots ,x_{p})\in G^{p},\quad x_{1}\cdots x_{p}=e{\big \}}$

où e désigne l'élément neutre du groupe G. L'équation aux classes affirme que # E est la somme des cardinaux des orbites pour l'action de $\mathbb {Z} /p{\mathbb {Z} }$.

Or $\#E=(\#G)^{p-1}$ car étant donné $x_{1},\dots ,x_{p-1}$ quelconque $x_{p}$ est totalement déterminé (et vaut $x_{p-1}^{-1}\cdots x_{1}^{-1}$). Ainsi #E est un multiple de p. Le cardinal d'une orbite est égal à l'indice du stabilisateur d'un de ses éléments. Or le groupe $\mathbb {Z} /p{\mathbb {Z} }$ ayant pour cardinal un nombre premier, l'indice d'un stabilisateur vaut soit 1 soit p. L'équation aux classes permet alors de conclure que le nombre de stabilisateur d'indice 1 est un multiple de p. Or ce multiple n'est pas nul puisque le stabilisateur de $(e,\dots ,e)$ est lui-même d'indice 1. On en conclut qu'il existe au moins p-1 éléments de E dont le stabilisateur est d'indice 1 autrement dit qui sont invariants par permutation circulaire. Si $(x,\dots ,x)$ est un tel élément on aura $x^{p}=e$.

Voir aussi

Articles connexes

• Théorème de Lagrange sur les groupes
• Théorèmes de Sylow

Bibliographie

(en) M. Meo, « The mathematical life of Cauchy's group theorem », Historia Mathematica, vol. 31, n^o 2,‎ 2004, p. 196-221 (DOI 10.1016/S0315-0860(03)00003-X)

Liens externes

• (en) Keith Conrad, « Proof of Cauchy's theorem » (récurrence sur l'ordre du groupe)
• (en) Keith Conrad, « Consequences of Cauchy's theorem »